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啁啾脉冲放大[1-2](chirped pulse amplification，CPA)自问世以来就成为了激光物理研究领域中的一项重要创新技术。CPA产生的超短超强脉冲激光有明显优势，现已达到阿秒[3]量级，有不少人对激光加速电子的过程、电子如何获得较高的能量增益等方面[4]做了众多研究。基于超短超强脉冲激光加速粒子的模型，在研究相对论电子动力学[5-6]时，会出现Thomson散射等多种非线性效应，还包括电子与等离子体的碰撞中，谐波辐射的辐射频谱出现红移、展宽现象[7]。
现有不少理论和实验的研究，讨论了激光脉冲与电子相互作用的空间辐射特性[8-15]。ESAREY等人[16]介绍了强激光场与电子束的非线性Thomson散射理论；POPA[17]利用傅里叶级数展开给出了Thomson散射高次谐波的精确计算，并将适用范围拓展到了极端相对论领域；LEE等人[18]从空间和时间上分析了电子与20fs半峰全宽激光场作用下的散射特点，并表明线偏振比圆偏振具有更好的能谱特征。
但在讨论电子辐射问题时，大多利用平面波激光或多周期激光脉冲，而现今脉冲更短的激光已经可以被利用。作者在POPA[17]研究的基础上，利用线偏振紧聚焦激光脉冲来重点研究非线性辐射特性, 采用单电子模型，求解激光场中的电子关于坐标、速度以及能量的偏微分方程，模拟单电子与线偏振紧聚焦激光脉冲作用时的运动轨迹和辐射功率与能量的分布，发现其与平面波激光脉冲线偏振条件下电子的辐射有着明显的区别。
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紧聚焦高斯脉冲激光电场的归一化矢势为：
式中，a1=(r0/r)exp[－ζ2/B2－(x2+y2)/r2]，ζ=z-t，t是观测时间，r和B分别为激光的束腰半径和脉宽，r=${r_0}\sqrt {1 + {z^2}/{z_{\rm{R}}}^2} $，r0为脉冲的最小半径，zR=r02/2为脉冲激光的瑞利长度，δ=0时为线偏振。
(1) 式中由mc2/e归一化的激光振幅表示为：
式中，m, e分别为电子静止时的质量和电量，I，λ分别为激光强度的峰值和激光波长，c为光速，A0为激光场矢势的振幅。
(1) 式中激光脉冲相位φ表示为：
式中，c0为激光脉冲的啁啾参数，φWC=(x2+y2)/[2R(z)]是与波前曲率有关的相位，R(z)=z(1+zR2/z2)为脉冲激光波前曲率半径，φG=z/zR，φ0为脉冲激光的初始相位，线偏振激光下δ=0。空间坐标被k0-1归一化，k0为激光频率。
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沿+z轴方向传播的线偏振紧聚焦脉冲激光与电子作用的示意图如图 1所示，处于静止状态的电子初始位置为坐标原点。
Figure 1. Schematic diagram of the interaction between electron and laser pulse
该激光场矢势分量的大小表示为：
式中，θ=π-arctan(z/zR)是观测极角。
在电子的运动整个过程中，电子向各个方向发出谐波辐射，辐射方向n为：
电子在电磁场中的运动状态和能量方程分别为：
式中，▽a仅作用在a上，σ=[1-(v/c)2]－1/2为相对论公式因子，v是电子运动速率，γ=v/c, p=σγ分别为归一化后的电子速度和动量。
通过联立方程组(4)式以及(6)式和(7)式，可以得到：
式中，γx，γy，γz分别为电子沿x，y，z这3个坐标正方向上的速度分量大小。
当电子做相对论加速运动时，辐射功率为P(t)，单位立体角Ω内的电磁辐射功率表示为：
式中，dP(t)/dΩ被e2ω02/(4πc)归一化处理。
辐射能量为W(t)，则单位立体角内的辐射能量表示为：
观测时间t与电子的延迟时间t′二者的关系为：
式中，D0为探测器观测点与电子和激光的作用点之间的距离，同时可认为探测点与作用点之间的距离足够大，d为电子所处位置矢量。
单位立体角与单位频率间隔内的辐射能量为：
式中，d2W/(dωdΩ)被e2/(4πc2)归一化处理；s=ωh/ω0，ωh为谐波辐射频率。
通过求解(9)式~(12)式，最终得到电子和激光作用的整个过程中能量和功率随观测角的变化的情况，从而确定使得电子辐射能量最大的运动方向，进而得到沿该方向运动的电子的辐射能量随频率变化的具体情况。
1.1. 聚焦高斯脉冲激光电场方程
1.2. 电子运动方程
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基于上述基本方程的推导，考虑沿+z轴方向传播的紧聚焦激光，其强度a0=15，紧聚焦状态下束腰半径r=3λ0[19](λ0为被k0-1归一化后的波长)，脉冲宽度B=3λ0(10fs)。
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通过对紧聚焦激光与电子作用的全空间模拟，电子运动状态如图 2所示。初始位置为径向有质动力[20]为零的电子，先绕激光传播的中心轴，不断作加速、减速的“Z”字形运动，且在+z方向上，电子在相邻两个偏转点间速度大小的变化越来越大，偏离传播轴的最大径向距离为3.29λ0，之后逐渐偏离激光传播中心轴，向-x轴方向传播，最终以0.048c的速度远离，且电子从不向后运动[21]。由于紧聚焦激光中心的能量强度远远大于外侧，故其能量梯度会产生较大影响，电子运动到激光的最大传播振幅时，径向离开并获得能量增益，而满足上述过程的高强度激光是由最大振幅和束腰半径共同决定的。
Figure 2. Electronic motion state
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首先讨论同步辐射在观测极角θ∈[0, 30°]，观测方位角ϕ∈[0, 360°]的空间特性，如图 3a所示。当观测极角θ=6.8°，观测方位角ϕ为0°或360°时，单位立体角的辐射能量达到最大值，为3.8249×109。随后电子离开激光脉冲的峰值，激光脉冲的强度急剧下降，电子的辐射能量也随之下降。图 3a所示的3维图在θ平面的投影所得到的峰值，如图 3b所示。由于在ϕ为0°或360°时所投影的峰值重合，所以从图中看到共有2个主要的辐射能峰值，并伴随有较小的次峰值。作者还仿真了单位立体角的辐射功率分布，如图 3c所示。当观测极角θ=11.1°、观测方位角ϕ=180°时，单位立体角的辐射功率达到最大值，为2.6991×108，同样地，图 3c所示的在θ平面的投影所得到的峰值，如图 3d所示，可以发现共有3个辐射功率峰值。
Figure 3. a—spatial distribution of radiant energy b—peak of radiant energy c—spatial distribution of radiated power d—peak of radiant power
在该作用模型中，电子的辐射主要是前向辐射，且方位角的分布关于电场和磁场方向对称。而对于任意初始相位的激光脉冲，电子辐射的方位角分布关于激光电场方向对称，这是由于在任意初始相位下线偏振均关于偏振方向对称。如图 3a、图 3c所示，相邻峰值间距均为180°，且在观测方位角ϕ方向上关于ϕ=180°平面对称分布，辐射能量和辐射功率峰值分布均主要沿θ方向延伸，而辐射能量达到最大值对应的方位角与辐射功率达到最大值的方位角有着明显的差别。
在观测极角θ=6.8°、观测方位角ϕ为0°或360°的方向上，单位立体角的辐射能量达最大值，二者作用时产生的能量最集中，而该方向上辐射功率随时间的变化如图 4a所示。可以看出，在40fs~50fs之间有一个主峰。为了进一步观察该峰值，放大区间至47.21fs~47.25fs，如图 4b所示。在47.2234fs和47.2362fs处辐射功率达到极大值，其值分别为1.297×108和3.542×107，脉宽分别为0.008fs和0.121fs。与平面波激光脉冲[18]相比，在利用紧聚焦激光脉冲模型得到的单位角功率随时间的变化关系曲线中同样出现了双峰结构。但不同的是，该双峰不再具有对称性，其峰值和脉宽均不相同。
Figure 4. Electron harmonic radiation power & radiation time
造成这一差别的主要原因是平面波激光脉冲并不能实现对电子的加速。电子在平面波激光脉冲上升沿的作用下加速运动，在下降沿做减速运动，减速与加速过程互相抵消，使得电子的速度未获得提升。而电子在紧聚焦激光冲的上升沿和下降沿做加减速运动，但电子很快能从激光脉冲中逃脱出来，能保持一定速度的同时获得了能量增益，所以电子在紧聚焦激光脉冲的作用下，单位立体角功率随时间的变化曲线中不再有对称双峰结构。
最后，讨论在观测极角θ=6.8°、观测方位角ϕ为0°或360°的方向上辐射能量随谐波辐射频率的变化情况，如图 5a所示。电子谐波辐射能量随着谐波辐射频率的增加基本呈现出先迅速增大，再减小，随后逐渐稳定并趋于平缓的特征。由于电子的相对论运动，在ω/ω0处于200~600的区间中时，在极短的时间内产生了大量的高能光子，当ω/ω0超过600后，能量已经非常微弱，并逐渐趋近于0。当ω/ω0=132.1时，电子的谐波辐射能量达最大值，其最大值为1.898×104。
Figure 5. Electronic harmonic radiation energy & harmonic radiation frequency
同样地，为了更好地观察其变化规律，放大区间至0~50，如图 5b所示。其升降趋势[17]仍是一致的，但在该被放大区间内，能量随频率曲线呈现出密集震荡的特性。与平面波激光脉冲[18]缓慢波动并趋向于零的情况不同，在紧聚焦激光脉冲情况下，电子谐波的辐射能量变化规律发生了改变，而且震荡现象在全频谱图像中都有所体现。这是由于在紧聚焦激光脉冲作用的情况下，电子在加速过程中获得了大量的能量增益，特别是当谐波辐射频率较小时，辐射能量会随着谐波辐射频率的变化而迅速变化，从而体现出紧密振荡的特点。
2.1. 电子运动状态
2.2. 辐射能量与功率分布
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针对归一化强度为15、束腰半径为3λ0的紧聚焦激光脉冲与电子作用产生的辐射特性进行分析与讨论。结果表明，在紧聚焦线偏振激光作用下的电子辐射功率在时间上出现两个不对称的脉冲结构；电子辐射能量先紧密振荡，后陡然增加，随着谐波频率的增加，总体呈现出先快速增大后逐渐减小趋于平缓的特点，并通过激光特性与电子运动来解释该现象。该辐射特性与平面波激光脉冲作用下的现象明显不同。而对于不同束腰半径、最大振幅的线偏振紧聚焦激光下获得最大辐射能的时间仍有待进一步研究。
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