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随着强场物理[1-3]的兴起与发展，人们对超强激光脉冲与电子相互作用的认知不断加深[4-8]，其应用场景也在不断扩充[9-14]。鉴于该相互作用是一个复杂的非线性过程[15]，原有对平面波激光脉冲等的研究方法由于自身局限性而无法适用于该情形[16-17]，目前诸多学者已投身于相对论情形下的非线性汤姆逊散射特性的分析。ZHENG等人理论推导后模拟分析了辐射脉冲的时空特性受电子初始状态的影响[15]。WU等人以束腰半径为变量，研究了高能电子与圆偏振激光对撞后的运动轨迹[18]。LI等人则分析了圆偏振激光的激光强度对高能电子运动规律的影响[19]。LV等人以线偏振紧聚焦激光驱动下初始速度为0单电子为研究对象[20]，分析得出了电子辐射在时间上的非对称特性[20]。
本文中研究了初始动能为0的高能电子受不同偏振参数设置下的超强激光场作用的运动轨迹及辐射空间分布情况。以Maxwell方程等基本电磁学物理方程为出发点，推导高能电子在超强啁啾激光场中的全时间运动、能量方程以及全空间的辐射表达式，建立相对论情形下的单电子加速模型，并基于粒子模拟思想构建了无近似的数值模拟仿真方案：将激光-电子作用矢量方程沿x, y, z轴进行3维分解，并添加初始约束条件构建差分方程组，再基于MATLAB中的常微分方程(ordinary differential equation，ODE)函数将时间离散化处理，在飞秒量级的时间区间中对差分方程组进行高精度数值求解。在此基础上可视化了不同偏振参数数值的激光脉冲作用下电子的运动轨迹，并研究了高能电子与不同偏振状态的激光相作用时电子的辐射功率空间分布规律。
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设定一静止于坐标原点的单电子以及一束与该单电子相互作用的、沿+z轴方向传播的紧聚焦高斯激光脉冲，如图 1所示。该脉冲可由归一化矢势[17]表示，归一化系数为mc2/e(其中m为单电子的质量，e表示单电子所带的电荷数，即1.6×10-19，c表示光速，其值为3×108 m/s2)，具体形式为：
Figure 1. Schematic diagram of static electron interaction with laser pulse
式中，A0表示被mc2/e归一化后的激光脉冲振幅值，该值可由激光波长及峰值激光强度确定；$h=\sqrt{x^2+y^2}$，x, y, z为电子的空间坐标；w表示激光在z处的束腰半径值；w0则对应激光最小的焦点束腰半径，二者关系为w=w0(1+z2/zR2)1/2(zR=w02/2，对应于此光束的瑞利长度)；k=z－t，为前面(1)式的A(k)的自变量，t表示时间坐标；L表示激光的脉冲宽度。
高斯激光脉冲的相位φ满足具体关系式：
式中，c0是激光脉冲的啁啾参数; φ0表示在激光脉冲与单电子相互作用的初始时刻位相值; φR与波阵面曲率相关，有：
式中, R(z)值可表示为R(z)=z(1+φG2); φG=z/zR表示古依位相，其值与高斯光束的瑞利长度相关; δ则是激光偏振参数，即本文中着重研究的激光参数。对于偏振参数值，δ=0时对应激光线偏振态，δ=1时对应激光圆偏振态，当δ数值在0到1间变化时，则对应不同状态的椭圆偏振激光。此外，电子的3维空间坐标系及时间坐标系分别被k0－1和ω0－1归一化，k0和ω0分别是激光的波数和频率。
当把光场归一化矢势在3维笛卡尔坐标系的x，y，z坐标轴方向上分解时，矢势的分量可表示为以下形式：
式中，系数A1=exp(－k2/L2－h2/r2)(w0/w)，角度θ=π-arctan(z/zR)。
模型已设定一初始动量p0=0的单电子被置于笛卡尔坐标系原点处，一高斯激光脉冲沿+z轴方向发射，二者相遇瞬间单电子开始一边振荡一边前进，并向各个方向发出谐波辐射，图 1中n即表示电子辐射方向，与图中标示出的θ和ϕ的取值有关。该单电子受激运动、辐射可分别用下式来描述：
式中，p=γu是用mc归一化的电子动量，u是用光速c归一化的电子速度，A则是(1)式中定义的聚焦高斯激光脉冲的归一化矢势，相对论因子γ代表用mc2归一化的电子能量，γ=(1-u2)－1/2。
把矢势在坐标轴上的分解形式即(4)式代入(5)式和(6)式中进行计算，可得到电子在激光场中的坐标、速度、加速度以及能量随时间的变化过程如下：
式中，ux，uy，uz是电子在笛卡尔坐标系中三坐标轴方向上分解的速度分量的大小；ax，ay，az是电子在笛卡尔坐标系中三坐标轴方向上分解的加速度分量的大小。在此式基础上，运用数学工具MATLAB迭代求解即可对电子相对论运动状态进行分析研究。
由电动力学知识可知，做相对论加速运动的电子会在向外放出电荷辐射能量的同时产生X射线，并且其相关特征与电子轨迹直接相关。根据李纳-维谢尔势(Lienard-Wiechert potential)，单位立体角内电子的辐射功率可以表示为[20]：
式中，辐射功率$\frac{\mathrm{d} P(t)}{\mathrm{d} {\mathit{\Omega}}} \text { 被 } \frac{e^2 \omega_0^2}{4 {\rm{ \mathsf{π} }} c}$归一化，n为辐射方向的单位向量。
此时认为观测点距离电子与激光脉冲作用点足够远，则由于相对论效应，观测点时间和电子与激光脉冲实际相互作用的时间会产生差异。令t'为电子与激光脉冲相互作用的时间，t为观测的时间，则二者之间满足关系式：t－t'=d0－n·r(t), 其中d0表示观测点与电子间的距离，r(t)是在t时刻的电子位置矢量。
电子与激光脉冲相互作用的过程中，其单位立体角、单位频率间隔的以沿运动轨迹的位置、速度和加速度为自变量的辐射能表达式为:
式中，$\frac{\mathrm{d}^2 I}{\mathrm{~d} \omega \mathrm{d} {\mathit{\Omega}}} \text { 被 } \frac{e^2}{4 {\rm{ \mathsf{π} }}^2 c} \text { 归一化, } s=\frac{\omega_{\mathrm{s}}}{\omega_0}, \omega_{\mathrm{s}}$是谐波辐射的频率，ω0是基波辐射的频率，u'是此时被光速c归一化后的电子速度，a'=du'/dt是电子的加速度。通过求解上述(8)式和(9)式两个方程，就可以对进行全时间、全空间和全频谱的高能电子谐波辐射研究。可以看到，当电子的加速度a'=0时，辐射能表达式数值为0，这意味着具有加速度是电子发射电磁波的原因，且电子沿瞬时速度的方向进行辐射。
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设置激光脉冲工作参数：归一化激光强度A0=7，激光脉宽L=4λ0，激光束腰半径w=3λ0(3 μm), 其中λ0表示激光脉冲的初始作用波长，此处λ0=1 μm。编写MATLAB程序迭代计算，并得到偏振参数为δ=0，δ=0.5，δ=0.93，δ=1的激光脉冲作用下单电子在3维笛卡尔坐标系中的运动轨迹图，如图 2所示。
Figure 2. Single electron trajectories when polarization parameters are 0, 0.5, 0.93 and 1, respectively
图 2中激光脉冲的偏振参数设置对应于能量辐射3维图，分别为0(虚线)，0.5(实线)，0.93(点划线)与1(点线)。从图 2中可以看出，当激光处于线偏振状态即δ=0时，单电子在一固定2维平面(图中为xOz平面)内呈现“Z”字形前进运动，运动振幅先急剧增大再缓慢减小，最大振幅约为1.993λ0，在800λ0处逐渐趋于平缓。而当激光偏振参数δ处于非0状态，即激光为椭圆偏振和圆偏振时，电子运动轨迹在3维空间内呈现“螺旋状”前进。当δ=0.5时，从yOz平面观察，电子轨迹呈椭圆状且沿z轴方向振幅更大，绕旋半径最大值约为2.159λ0，到达峰值后半径逐渐减小，运动轨迹在1420λ0处趋于平缓。当δ=0.93时，从yOz平面观察，电子轨迹近似为圆，绕旋半径最大值约为2.627λ0，在3600λ0处趋于平缓。当δ=1时，激光脉冲处于圆偏振状态，此时单电子运动轨迹几乎是一个正圆状的螺旋线，绕旋半径最大值约为2.826λ0，在3900λ0处趋于平缓，但此时收敛的渐近线与线偏振时不同，为一条不平行于x轴的斜线。
故由上述分析可知，不同偏振参数激光作用下，单电子的运动振幅(或绕旋半径)都是先急剧增大，再缓慢减小，且在xOz平面观察时，振幅峰值出现的位置基本重合，但随着δ值的增大，运动时螺旋的幅度越来越大同时轨迹越来越趋向于正圆，峰值后绕旋半径减小的速度也随之减缓，并且收敛渐近线与y轴的夹角逐渐增大。
设置相同的激光脉冲工作参数并利用MATLAB软件，通过对激光的偏振参数δ进行从0~1的21组连续梯度数值模拟和图形绘制，并对结果进行分析、归类，探究激光的偏振参数δ对电子辐射特性的影响规律，如图 3所示。
Figure 3. Influence of laser with different polarization parameters on the spatial distribution of single electron radiation power
通过对辐射功率空间分布图的分析可以发现：随着激光脉冲偏振参数的增大，电子从线偏振激光脉冲加速状态逐渐向圆偏振激光脉冲加速状态过渡，电子的功率辐射空间分布3维图形从平面线性逐渐变为螺旋状，且电子的辐射功率空间分布状态可大致划分为4个阶段，现以对应于δ=0(见图 3a)，δ=0.5(见图 3b)，δ=0.93(见图 3c)和δ=1(见图 3d)4种情况代表电子辐射功率空间分布状态随激光脉冲偏振参数δ改变而变化的过程中的4个阶段。其中色库条表示经过e2ω02/(4πc)(即7.68π×10－18 C2/(m·s))归一化后，不同空间处的单电子辐射功率数值，其对应的功率真实值单位为W/m2。
当δ=0，电子处于线偏振的超强激光脉冲场中，此时为第一阶段。从原点开始，电子在xOz平面上沿+z方向向x>0和x < 0的区域分别发出辐射，形成上下两束针状分叉，且辐射分布处在xOz 2维平面内，无y方向上的辐射。增大δ使其处于0~1之间，电子开始处于椭圆偏振的激光脉冲场中。当δ处于0(不包含0)~0.6区间内，此时为第二阶段。以δ=0.5为例，电子在xOz平面上的辐射功率与线偏振时相近似，但电子能量束在y方向上开始分散，即电子开始有y方向上的辐射，沿－z方向观察，其辐射分布状似一纺锤形。继续增大偏振参数，当δ处于0.6~0.99区间内，为第三阶段。以δ=0.93为例，能量空间分布图形的上下两束由分离状态逐渐变为圆滑连接。此时电子在x方向和y方向上的辐射特征已经比较接近，沿－z方向可以观察到一个螺旋状的椭圆形，整体呈现为双叶分布。当偏振参数δ增大到1时，电子处于圆偏振的激光脉冲场中，此时为第四阶段, 能量3维图形的上下两部分完全圆滑连接，空间分布图形构成一个涡旋态圆锥面，沿－z方向可以观察到一个螺旋状的规则圆形。无论与何种偏振状态的激光脉冲相作用，电子的辐射功率都随z坐标的增大而增大，这是因为电子受超强激光驱动而获得了能量，导致电子辐射功率的增大。
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综上所述，由相对论性单电子加速模型的建立以及无近似的数值模拟仿真程序的迭代计算，针对偏振参数δ梯度变化的强激光与单电子作用产生的运动辐射特性进行分析与讨论。研究结果表明，随着偏振参数δ的增大，电子运动时螺旋的幅度越来越大同时轨迹越来越趋向于正圆，峰值后绕旋半径减小的速度也随之减缓，并且收敛渐近线与x轴的夹角逐渐增大。电子的能量辐射空间分布3维图形从平面线性逐渐变为螺旋状，且电子的辐射功率空间分布状态可大致划分为4个阶段，为实验上进行全时间、全空间高能电子辐射研究提供相关理论和数值模拟依据。
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