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半导体激光器(semiconductor laser，SL)是目前应用比较广泛的光学器件之一，其电学和光学特性一直倍受关注[1-3]。SL在外部光反馈的作用下可展示出单周期、倍周期、多周期以及混沌等丰富的非线性动力学态[4]，这些动力学态可用于光子微波信号的产生[5]、混沌加密[6]、混沌保密通信[7-8]以及快速随机比特的产生[9]。
半导体环形激光器(semiconductor ring laser，SRL)是一种特殊结构的SL，它的显著特征是具有圆形几何的谐振腔，可以支持两种相反方向的模式：顺时针(clockwise，CW)模式和逆时针(counter clockwise，CCW)模式[10-11]。目前关于SRL的非线性动力学的基础研究和实际应用研究已经有大量报道。例如，PÉREZ等人理论研究了SRL的双稳态及全光开关特性，发现双稳态是由两种反向传播模式的交叉增益饱和强于自饱和引起的，此特性可用于光脉冲寻址时的数据存储[12]。BERI等人从拓扑角度研究半导体环形激光器非Arrhenius模式跳跃的特性，提出了一种基于2维动力系统的拓扑方法，解释了半导体环形激光器两种反向传播激光模式之间的随机开关现象[13]。COOMANS等人理论上研究了利用光触发脉冲在可激发SRL(非对称)中产生脉冲的可能性，提出了一种利用单脉冲触发的脉冲激励多个连续脉冲的机制，发现注入光与SRL内电场的相位差决定了相位空间中扰动的方向[14]。KHANDELWAL等人研究发现可利用集成的SRL实现高性能的光学陀螺仪[15]。BUTLER等人提出了一种基于SRL输出的混沌光产生高速随机比特数的方法，通过简单的后处理过程对混沌光波形进行多比特采样，可产生速率超过1Tbit/s的随机比特数[16]。此外关于SRL的光反馈动力学的研究也有相关报道。LI等人利用SRL延迟反向互耦光反馈实现了时间和线宽可调的方波开关[17]。MASHAL等人理论和实验研究了SRL在单向光反馈情况下的低频波动效应，通过改变抽运电流或者反馈强度可调节低频波动的周期和强度[18]。KHODER等人利用SRL的滤波光反馈实现了数字可调谐双波长发射光源[19]。
由于SRL存在两个反向传播模式，因此该激光器可存在两种不同的反馈结构，即自反馈和交叉光反馈。目前关于SRL的光反馈动力学的研究主要集中在自反馈结构上面，对于双向交叉光反馈动力学的研究还未见报道。由于SRL的两个模式共用载流子，因此双向交叉光学反馈会引起两个传播模式的相互扰动，也将会产生一系列非线性动力学现象。
为了深入了解SRL在交叉光反馈下的动力学特性，本文中将利用SRL的速率方程，通过仿真计算来讨论SRL在对称光反馈、反馈时间不对称和反馈强度不对称3种不同馈情况下可能出现的非线性动力学态，计算各种情况下产生的混沌的标准带宽，并利用自相关函数计算混沌信号的时延特性。该研究结果可为SRL的实践应用提供一定的理论参考。
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图 1是半导体环形激光器交叉光反馈示意图，CW为顺时针方向，CCW为逆时针方向。如图 1所示，左边的两个反馈环路将光反馈回了激光器，其中CW方向的光反馈到CCW方向，而CCW方向的光反馈到CW方向，此时的光反馈结构为交叉光反馈。结合参考文献[13]中提出的SRL模型，考虑顺时针传播的模式ECW，逆时针传播的模式ECCW和载流子数N，并引入交叉反馈项，半导体环形激光器光反馈下的速率方程表示为：
Figure 1. Optical feedback diagram of a semiconductor ring laser
式中, κ为电场衰减率，γ为载流子衰减率, (kd+ikc)为反向散射系数，kd和kc为耗散系数和保守系数, ηCW与ηCCW为两个方向的反馈系数，TCW与TCCW代表两个方向的反馈延迟时间，ECW(t-TCW)与ECCW(t-TCCW)为两个方向反馈回激光器的电场复振幅, α为线宽增强因子，φ为耦合相位，ω为激光器自由运行角频率，ωTCW与ωTCCW为时间延迟引起的两个方向的相位差, gCW与gCCW为两个方向的增益系数，s和m分别代表增益自饱和互饱和系数, μ为归一化的偏置电流，μ=1为阈值电流。根据参考文献[13]，本文中仿真所使用的参量取值为：κ=100ns-1，α=3.5，γ=0.2ns-1，s=0.005，m=0.01，kd=0.033ns-1，kc=0.44ns-1，μ=2.4。
半导体激光器在外腔光反馈下，存在由外腔长度确定的与外腔模式周期性有关的时延特征，而抑制时延特征是混沌安全通信中的关键。通常研究混沌信号时延特征的方法是计算时间序列在各个时刻的自相关值，自相关函数的数学定义式为：
式中，x(t)为任一时间序列，Δt为时间延迟，〈·〉表示时间平均。xs(t)=x(t+Δt)为时间移动Δt后时间序列的值，C(Δt)是时间延迟为Δt时的自相关系数的值，自相关系数无量纲，绝对值小于等于1。
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研究了SRL在对称的交叉反馈下的非线性动力学特性，图 2中给出了反馈时间TCW=TCCW=5ns固定时，在不同反馈强度下的时间序列和相应的功率谱。由于在对称光反馈情况下，CW与CCW方向输出的电场完全相同，因此本文只给出了一个方向的图。当ηCW=ηCCW=0.5ns-1时(见图 2a和图 2b)，时间序列显示出规则的周期振荡，功率谱中最大的峰值对应的频率为f=1.20GHz，最大峰值后面对应的小的峰值为高次谐波，可判断此时SRL处于单周期振荡态，振荡频率f与激光器的弛豫振荡(relaxation oscillation，RO)频率$f_{\mathrm{RO}}=\sqrt{2(\mu-1) \gamma \kappa} $/(2π)=1.20GHz相同。参考文献[20]中指出, 半导体激光器在光反馈下能够产生丰富的动力学态是由于外腔振荡与弛豫振荡竞争的结果，对于SRL的对称反馈结构，由于反馈光的持续扰动，使得激光器脱离了平衡态工作，在反馈光较弱的情况下弛豫振荡强于外腔振荡，使得激光器振荡频率f与fRO相同。当ηCW=ηCCW=0.6ns-1时(见图 2c和图 2d)，从时间序列图中可以看出，输出光强的峰值出现了小的波动，功率谱中基频f的前面出现了多个峰值，这些峰值对应的频率为低次谐波，此时SRL处于多周期振荡状态。当ηCW=ηCCW=0.8ns-1时(见图 2e和图 2f)，时间序列的峰值强度波动明显加强，同样功率谱中的次谐波峰值明显增大，此时SRL还是处于多周期振荡状态。当ηCW=ηCCW=2.0ns-1时(见图 2g和图 2h)，时间序列出现了不规则随机振荡，功率谱明显展宽并且无明显峰值，此时SRL处于混沌振荡态。
Figure 2. Time series (the first column) and the corresponding power spectrum (the second column) with different feedback coefficients
研究了SRL在对称光反馈下产生混沌的特性，图 3中给出了反馈时间TCW=TCCW=5ns固定时，混沌带宽随注入系数的分布以及当ηCW=ηCCW=2.0ns-1时的自相关系数随延迟时间的分布。其中混沌信号的带宽被定义为从直流分量到总功率的80%包含在其功率谱中的频率跨度[21]。如图 3a所示，随着反馈系数的增加，混沌带宽逐渐增加，当ηCW=17.0ns-1时，带宽出现了一个极值3.5GHz，进一步增加反馈系数，带宽下降后又逐渐上升，在ηCW=22.0ns-1时，带宽出现了极大值3.7GHz，随后带宽迅速降低，降低的原因是由于当反馈系数超过22.0ns-1时，反馈回腔内的光子数太多而使得SRL的外腔振荡变强，使得SRL的动力学状态由混沌态变为了多周期态，最后在较强的反馈强度时出现了自注入锁定，使得带宽迅速降低。图 3b中给出了自相关系数随时间的分布情况。如图中两条黑色竖虚线所示，在±5ns的处出现了自相关极大值C=0.4，此时为中等相关，这是反馈延时TCW和TCCW引起的。自相关系数在延时处的值较大，说明此时的混沌的时延特征明显。
Figure 3. a—bandwidth with different feedback coefficients b—self-correlation coefficients C under ηCW=ηCCW=2.0ns-1
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图 4中给出了时间不对称反馈时的时间序列及功率谱。反馈时间固定为TCW=5ns，TCCW=8ns。当ηCW=ηCCW=0.5ns-1时(见图 4a和图 4c), 实线代表CW方向，虚线代表CCW方向。从时间序列图中可以看出，CW和CCW方向输出的光强出现了低频波动现象，振动的周期为22ns，同时在每个大的周期内光强还出现了小振幅的脉冲振荡。随着小的脉冲振荡，光强逐渐恢复到大的值，然后再降低，如此周期往复。此类低频波动现象在边沿发射激光器和垂直腔面表面发射激光器在经受光反馈时曾被观察到，其产生的物理机制主要有以下两种解释：MORK等人认为低频波动是由于外腔模的双稳态与低强度状态的竞争引起的[22]；SACHER等人认为低频波动发生在混沌吸引子上，低频波动系统是一个具有最大增益的外腔模的确定性混沌巡回过程，其中输出功率的降低是由反向模与混沌吸引子之间的竞争引起的[23]。从图 4a中还可以发现，CW和CCW两个方向的输出光强是反向振动的，当一个方向输出功率较大时，另外一个的输出光强变小，出现此类现象的原因是由于两个方向的模式共用载流子造成的，当偏置电流一定时，总的输出光强恒定，一个方向的光强的增加必然伴随着另一个的减小。图 4b和图 4c中给出了两个方向的功率谱。功率谱的峰值对应的是低频(low frequency，LF)振荡的频率fLF=0.08GHz，此频率远小于fRO，说明在反馈延时不对称光反馈的情况下，在较小的反馈强度下，外腔振荡已经强于弛豫振荡，fLF与两个反馈时间和的倒数近似相等。当ηCW=ηCCW=0.6ns-1(见图 4d~图 4f)，此时低频波动的周期变小，同时高强度部分的振荡加剧，功率谱中的频率成分明显增加，说明此时SRL已经处于混沌振荡的边缘。当ηCW=ηCCW=2.0ns-1(见图 4g~图 4j)，此时CW和CCW方向已经处于混沌振荡，功率谱明显展宽并无明显峰值。但是通过时间序列仍然可以看出，此时的两个方向的混沌振荡依然是反向的。
Figure 4. Time series (the first column) and the corresponding power spectrum (the second column) with different feedback coefficients
研究了时间不对称光反馈混沌带宽和时延特性，图 5中给出了时间不对称光反馈时(TCW=5ns, TCCW=8ns)，混沌带宽随注入系数的分布以及当ηCW=ηCCW=2.0ns-1时的自相关系数。如图 5a所示，随着反馈系数的增加，混沌带宽逐渐增加，但在增加过程中伴随着小的波动，当ηCW=28.0ns-1时，带宽出现了极大3.4GHz，然后随着反馈系数的增加迅速减小。与对称情况相比，时间不对称光反馈由混沌态转换为多周期态需要的反馈系数要更大一些，但最大混沌带宽略小与对称情况。如图 5b所示，自相关系数在TCW，TCCW，以及TCW+TCCW出现了极值，说明除了由于两路不同时间的反馈引起的相关系数增加以外，在两路的时间和的地方也出现了强相关，但是在5ns处的相关的最大值减小到了0.25，此时为弱相关，说明利用时间不对称光反馈较好地抑制了混沌时间序列的时延特征，此时产生的混沌信号可作为保密通信的信号源。
Figure 5. a—bandwidth with different feedback coefficients b—self-correlation coefficient C under ηCW=ηCCW=2.0ns-1
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图 6中给出了反馈强度不对称光反馈时的时间序列及对应的功率谱。固定反馈时间TCW=TCCW=5ns，当ηCW=0.6ns-1，ηCCW=0.5ns-1时(见图 6a~图 6c)，时间序列显示为低频反相位振荡，振荡周期为8ns，功率谱的最大峰值对应的为相应的低频振荡频率0.125GHz，当ηCW=0.7ns-1，ηCCW=0.6ns-1时(见图 6d~图 6f)，此时高强度部分的脉冲振荡变得无规律，功率谱中的频率成分变多，此时已经处于混沌振荡的边缘。当ηCW=2.0ns-1，ηCCW=1.9ns-1时(见图 6g~图 6j)，此时SRL处于混沌振荡态，功率谱明显展宽并无明显峰值。可以看出此时的动力学演化路径与时间不对称光反馈相类似。
Figure 6. Time series (the first column) and the corresponding power spectrum (the second column) with different feedback coefficients
图 7中给出了当SRL处于强度不对称光反馈、混沌带宽随注入系数的分布以及当ηCW=2.0ns-1和ηCCW=1.9ns-1时的自相关系数。反馈时间固定为TCW=TCCW=5ns。为了便于作图，图中的横坐标为反馈系数ηCW，而相应的ηCCW的值总是比ηCW小0.1ns-1。如图 7a所示，随着反馈系数的增加，混沌带宽逐渐增加，当ηCW=25.0ns-1时，带宽出现了极大值3.0GHz，然后随着反馈系数的增加迅速减小。可以看出，3种不同反馈情况下产生混沌的最大带宽差别不是很大，这是因为影响混沌带宽的主要因素是激光器的弛豫振荡频率，而存在较小的差别是由于反馈结构不同造成的。同时3种情况下带宽的变化趋势相类似，都是随着反馈系数的增大而慢慢增大，当反馈系数高于某个值时，由于动力学态的变化而使得带宽迅速降低。由于受SRL的弛豫振荡频率的限制，3种反馈情况下产生的最大混沌带宽不是很大，但能够满足混沌保密通信的基本需要。如图 7b所示，自相关系数在TCW的整数倍处出现了极值，在5ns处的相关的最大值为0.41，与对称光反馈相似，此时为中度相关，说明时延特征没有被很好抑制。
Figure 7. a—bandwidth with different feedback coefficients b—self-correlation coefficient C under ηCW=2.0ns-1 and ηCCW=1.9ns-1
2.1. 对称光反馈
2.2. 反馈延时不对称光反馈
2.3. 反馈强度不对称光反馈
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理论研究了半导体环形激光器在外部交叉光反馈情况下的非线性动力学特性。在对称光反馈下SRL出现了单周期、多周期和混沌的等非线性动力学态，在时间不对称和强度不对称光反馈情况下SRL出现了低频反相波动和混沌态。同时也研究了反馈系数对混沌带宽及时间延迟特性的影响，发现在对称光反馈时，得到的最大混沌带宽为3.7GHz，在时间不对称和强度不对称光反馈时，最大带宽分别为3.4GHz和3.0GHz。此外，在时间不对称光反馈时，产生的混沌信号的时延特征被很好地抑制，而对于反馈时间相同的光反馈在反馈延时的整数倍处时延特征较为明显。研究发现，时间不对称光反馈产生的混沌信号时延抑制的更好，带宽也能满足通信要求。本文中的研究结果可为SRL的实际应用提供一定的理论参考。
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