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在过去的几年中，超高斯脉冲引起了广泛的关注。超高斯脉冲[1-4]是由直接调制的半导体激光器发射的，具有较陡峭的前后沿的高斯脉冲。AGRAWAL等人对超高斯脉冲在单模光纤中传输进行了一些研究。在单模光纤中传输光信号时，会产生较大的色散、衰减和非线性，这些因素限制了光信号传输的距离和准确性。为提高超高斯脉冲的传输特性，作者将超高斯脉冲在色散渐减光纤[1, 5](dispersion-decreasing fiber, DDF)中传输。DDF是光学纤维的一种，它的色散系数沿着传播方向逐渐减小，这种特性会维持色散效应和非线性效应之间的平衡，减小脉冲在传输时的展开和畸变[6-10]。作者研究了超高斯脉冲在超高斯型DDF的陡峭程度m为2, 3, 4时的传输特性，并分析出最适合超高斯脉冲传输的超高斯型DDF。
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光脉冲在光纤中传输时满足非线性薛定谔方程[2]，使用分步傅里叶变换的方法推导下列方程:
$ {\rm{i}}\frac{{\partial A}}{{\partial Z}} = - \frac{{\rm{i}}}{2}\alpha A + \frac{1}{2}{\beta _2}\frac{{{\partial ^2}A}}{{\partial {T^2}}} - \gamma |A{|^2}A $
(1) 式中, A为脉冲包络的慢变振幅; T为随脉冲以群速度移动的时间; Z为传输距离; β2为光纤2阶色散系数; α为损耗系数; γ为非线性系数。通过(1)式对光纤传输进行了分析研究。利用分步傅里叶变换的方法研究了超高斯脉冲在色散渐减光纤中传输特性。
$ \frac{{\partial A}}{{\partial Z}} = (D + N)A $
(2) 式中, D为差分算子，表示线性介质的色散和吸收; N是非线性算子，决定脉冲在传输过程中光纤非线性效应的影响。(2)式是对(1)式进行了改写, 是为了进一步进行傅里叶变换。
$ {D = \frac{{\rm{i}}}{2}{\beta _2}\frac{{{\partial ^2}A}}{{\partial {T^2}}}} $
(3) $ {N = {\rm{i}}\gamma |A{|^2}} $
(4) 在DDF中，β2是沿着传输方向减小的量。
$ {\beta _2} = {\beta _2}(0)P(Z) $
(5) 式中, P(Z)为色散函数，决定色散系数的变化。本文中所采用的是超高斯型色散函数，为了研究超高斯脉冲的传输特性，对超高斯脉冲进行了分析，超高斯脉冲的推广为下面的形式[11]：
$ A(0, T) = {\rm{exp}}\left[ {\frac{{1 + {\rm{i}}C}}{2}{{\left( {\frac{T}{{{T_0}}}} \right)}^{2m}}} \right] $
(6) 式中, C为啁啾参量, T0为输入脉冲, m为脉冲的陡峭程度。超高斯脉冲是具有陡峭前后沿的高斯脉冲，而陡峭程度是由m决定的。将(6)式进行傅里叶变化:
$ A(0, \omega ) = {\left( {\frac{{2\pi {T_0}^{2m}}}{{1 + {\rm{i}}C}}} \right)^{\frac{1}{{2m}}}}{\rm{exp}}\left[ { - \frac{{{\omega ^2}{T_0}^{2m}}}{{2(1 + {\rm{i}}C)}}} \right] $
(7) 式中, ω为角速度。在DDF中，当色散随超高斯形式变化时，色散函数[12-13]为:
$ P(Z) = {\rm{exp}}[ - ({Z^{2m}}/{L^{2m}}){\rm{ln}}k] $
(8) 式中，L为光纤长度，k为光纤起始端与末端的2阶色散系数的比值。色散函数可以决定色散渐减光纤的色散变化趋势，为了探究超高斯型DDF的色散特性，对m为2, 3, 4时的色散函数进行仿真，图 1展示的是超高斯型DDF在m为2, 3, 4时色散函数的传输特性。
Figure 1. Transmission curve of dispersion function with m=2, 3, 4
如图 1所示，具有不同陡峭程度的色散函数具有不同的传输特性。m的值决定传输曲线的变化趋势。m的值越大，曲线开始变化的越缓慢。随着传输距离的增加，函数的色散因子会趋于0。
超高斯脉冲的陡峭程度m越大，脉冲的波形展宽就越大，信号畸变就越大。所以本文中将使用m=2时的超高斯脉冲作为理想输入脉冲。
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本文中主要研究不同初始啁啾的超高斯脉冲在超高斯型DDF中的传输特性。将m=2时的超高斯脉冲作为输入脉冲，色散系数β2=-20ps2/km、非线性系数γ=3.33W-1/km-1、λ=1550μm、初始脉宽T0=1ps、峰值功率P0=1W作为本实验的脉冲参量和光纤参量。接下来分析初始啁啾变化以及超高斯型DDF中陡峭程度m的变化对脉冲传输的影响。
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脉冲展宽的程度取决于初始啁啾和超高斯脉冲的陡峭程度，超高斯脉冲的传输特性是由群速度色散和自相位调制效应共同决定的。在时域中传输特性主要取决于初始啁啾和群速度色散效应，图 2是C=0时，超高斯脉冲在超高斯型DDF陡峭程度m为2, 3, 4时的时域特性。
Figure 2. Time domain characteristics when C=0, steepness m=2, 3, 4
由图 2a可知，当脉冲传输约0.11km时出现了多峰结构，能量主要集中在中央峰中。产生多峰结构的原因主要是因为在反常色散区会因为色散和非线性效应之间的相互作用导致的调制不稳定性。随着传输距离的增加，脉冲展宽变大，脉冲畸变，最终脉冲信号被噪声所取代。脉冲展宽的速度主要取决于群速度色散效应对传输特性的影响。图 2b中所示，当脉冲传输约0.185km时出现了多峰结构，随着传输距离的增大，脉冲逐渐展宽最终被噪声替代，相对于图 2a，图 2b中的传输距离变大，脉冲展宽速度减弱。图 2c中所示，当脉冲传输约0.41km时出现了多峰结构，随着传输距离的增大，脉冲逐渐展宽最终被噪声替代，相对于图 2a和图 2b，图 2c中的传输距离变大，脉冲展宽速度减弱。由此从时域角度分析，超高斯型DDF中陡峭程度m的值越大，对色散束缚的能力就越强，群速度色散和自相位调制之间的平衡时的时间就越久，脉冲展宽的速度就越慢，传输距离就越远，信号畸变就越小。得出结论：在时域分析中，无初始啁啾时，m的值越大，超高斯型DDF的传输特性越好。
频谱的特性主要取决于初始啁啾与自相位调制的互相作用，图 3是无初始啁啾时、超高斯脉冲在超高斯型DDF陡峭程度m为2，3，4时的频谱特性。
Figure 3. Spectral characteristics of the super-Gaussian pulse with no initial chirp at the dispersion function m=2, 3, 4
由图 3a可知，当脉冲传输约0.07km时频谱出现了明显的多峰结构，能量主要集中在中央峰中。产生多峰结构的原因主要是因为频谱特性受自相位调制所影响，同样大小的啁啾出现在两个不同的点上，这两个点具有相同的瞬时频率。这两个点代表频率相同但是相位不同的两个波，根据它们的相对相位差会发生相加或相消干涉，形成脉冲频谱的多峰结构。当脉冲传输约0.11km时, 频谱出现明显的展宽，而频谱展宽会导致脉冲的展宽。这是因为自相位调制感应的频率啁啾随传输距离的增加而增大，当脉冲沿光纤传输时，新的频率分量不断产生，从而展宽了频谱，导致脉冲展宽。在传输过程中，脉冲的形状发生了畸变，这是因为群速度色散引起的脉冲整形。图 3b中所示，当脉冲传输约0.07km时出现明显的多峰结构，当脉冲传输约0.225km时频谱出现明显展宽。图 3c中所示，当脉冲传输约0.07km时出现明显的多峰结构，当脉冲传输约0.26km时频谱出现明显展宽。由此从频谱角度分析，色散会引起频域中脉冲的整形，超高斯型DDF中陡峭程度m的值越大，脉冲的畸变就越小，频谱展宽就越小，频谱特性就越好。
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图 4是初始啁啾C=2、超高斯脉冲在超高斯型DDF陡峭程度m=2, 3, 4时的时域特性。图 4与图 2的传输特性基本相同，只是脉冲的形状和展宽程度有所不同。因为初始啁啾与群速度色散产生的正啁啾叠加，净啁啾增大。
Figure 4. Time domain characteristics of super-Gaussian pulse with initial chirp of 2 when dispersion function m=2, 3, 4
图 5是初始啁啾C=2、超高斯脉冲在超高斯型DDF陡峭程度m为2, 3, 4时的频谱特性。由图 5a可知, 脉冲传输约0.11km时频谱出现明显的多峰结构，与图 3相比频谱展宽程度更加剧烈，频谱畸变变小。图 5b中所示，脉冲传输约0.225km时出现明显展宽现象，频谱展宽程度变大，频谱畸变变小。图 5c中所示，脉冲传输约0.225km时频谱出现展宽，展宽程度较小，频谱畸变较小。由此从频谱角度分析，超高斯型DDF中陡峭程度m的值越大，脉冲展宽程度就越小，波形的畸变越小。初始啁啾可以改变脉冲的展宽程度，由图 5和图 3的对比可知，图 5中的脉冲展宽程度变大，频谱畸变变小。
Figure 5. Spectral characteristics of super-Gaussian pulse with initial chirp of 2 when dispersion function m=2, 3, 4
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图 6是初始啁啾C=-2、超高斯脉冲在超高斯型DDF陡峭程度m为2, 3, 4时的时域特性。由于图 6与图 2传输特性相同，只是脉冲的形状和展宽程度有所不同。因为初始啁啾与群速度色散产生的负啁啾相抵消，净啁啾减小。
Figure 6. Time domain characteristics of super-Gaussian pulse with initial chirp of -2 when dispersion function m=2, 3, 4
图 7是初始啁啾C=-2、超高斯脉冲在超高斯型DDF陡峭程度m=2, 3, 4时的频谱特性。由图 7可知，脉冲传输过程中，频谱先有一个窄化的过程，随后展宽。这因为初始啁啾C=-2时与自相位调制产生的正啁啾相互抵消，净啁啾减小，使得脉冲频谱窄化。图 7a中所示，当脉冲传输约0.11km时出现了明显的多展宽现象，频谱发生了畸变。图 7b中所示，当脉冲传输约0.225km时频谱有明显展宽现象。图 7c中所示，当脉冲传输约0.26km时频谱出现展宽现象，相对较弱。由此从频谱角度分析，超高斯型DDF陡峭程度m的值越大，波形的畸变越小。综上所述, 初始啁啾可以改变脉冲的展宽程度，初始啁啾为正时，净啁啾变大，脉冲展宽。初始啁啾为负时，净啁啾减小，脉冲窄化。超高斯型DDF陡峭程度m的值越大，频谱畸变程度越小，脉冲的传输特性就越好。
Figure 7. Spectral characteristics of super-Gaussian pulse with initial chirp of -2 when dispersion function m=2, 3, 4
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使用分步傅里叶变换的方法对非线性薛定谔方程进行改写，数值模拟了超高斯脉冲在超高斯型DDF中的演化规律，并对超高斯脉冲的传输特性进行了仿真模拟。结果表明，在时域上无论有无初始啁啾，超高斯型DDF的陡峭程度m越大，脉冲传输的距离越大，展宽速度越小，信号畸变越小，超高斯脉冲的传输特性就越好。在频域上无论有无初始啁啾，超高斯型DDF的陡峭程度m越大，频谱畸变越小，脉冲畸变越小。
超高斯型色散渐减光纤中脉冲的传输特性分析
Analysis of transmission characteristics of pulses in super-Gaussian dispersion-decreasing fibers
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摘要: 为了研究超高斯脉冲在具有不同陡峭程度的超高斯型色散渐减光纤中的传输特性，采用了非线性薛定谔方程和分步傅里叶变换的方法，数值模拟了超高斯脉冲在超高斯型色散渐减光纤中的演化规律。在反常色散区考虑色散和非线性效应的情况下，对超高斯脉冲的阐述特性进行了时域和频域上的理论分析与实验验证。结果表明，陡峭程度m=4时, 超高斯型色散渐减光纤的传输特性最好。此研究对超高斯型色散渐减光纤中脉冲的传输特性分析是有帮助的。Abstract: In order to study the propagation characteristics of super-Gaussian pulse in super-Gaussian dispersion decreasing fiber with different steepness, the nonlinear evolution of Gaussian pulse in the super-Gaussian dispersion-decreasing fiber was numerically simulated by using the nonlinear Schrödinger equation and the stepwise Fourier transform method. The theoretical analysis and experimental verification of the super-Gaussian pulse in the time domain and frequency domain were carried out with consideration of dispersion and nonlinear effect in the abnormal dispersion zone. The results show that, when the steepness m=4, the super-Gaussian dispersion-decreasing fiber has the best transmission characteristics, so it is concluded that the higher the steepness m is, the better the transmission characteristics of pulse will be.
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Figure 3. Spectral characteristics of the super-Gaussian pulse with no initial chirp at the dispersion function m=2, 3, 4
Figure 4. Time domain characteristics of super-Gaussian pulse with initial chirp of 2 when dispersion function m=2, 3, 4
Figure 5. Spectral characteristics of super-Gaussian pulse with initial chirp of 2 when dispersion function m=2, 3, 4
Figure 6. Time domain characteristics of super-Gaussian pulse with initial chirp of -2 when dispersion function m=2, 3, 4
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