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光子晶体[1-2]从概念的提出到成为学者们持久的研究热点，一直都是光通信领域新材料的期盼，尤其是它具备实现光子替代电子进行信息传输的潜在应用价值，更是研究者的兴趣点。光子晶体是由不同介电常数的分层介质周期性排列而成，存在明显的禁带和导带结构。这种带隙结构对光传播具有抑制和选择功能。当光频率处于禁带范围中时，被限制传播；光频率处于导带范围时，则可以允许传播[3-12]。另外，大量的研究表明，当在周期性排列的介质层之间的恰当位置插入缺陷时，又可以增强光子晶体尤其是缺陷位置的自发辐射，这种增强的自发辐射在宏观上表现为禁带中出现品质因子很高的缺陷模，即很精细的透射峰[9-13]。光子晶体的这种特性为人为控制和利用光的行为提供了理论依据，特别是在光学滤波传输领域具有潜在的积极应用价值。
研究还发现，由缺陷产生的透射峰对缺陷在光子晶体中的排列位置、缺陷自身物理厚度和折射率等因素的改变非常敏感。当光子晶体结构中存在双缺陷或多缺陷时，缺陷模对应的波函数之间会产生交迭，即缺陷之间产生耦合作用，这种交迭或耦合作用将导致透射能带谱中的分立透射峰(缺陷模)之间的距离发生变化。当合理地调节缺陷的排列位置时，可使缺陷之间的耦合作用增强或减弱，出现透射峰分立增强或简并的现象，即达到改变分立透射峰的条数或频率位置目的[14-17]。这种作用机制对新型光学开关的设计具有潜在的应用价值。
基于这个思路，本文中在构建普通结构1维光子晶体模型(AB)m1(AB)m2的基础上，通过在不同的位置插入缺陷C，以及以不同的参量调制缺陷C，计算模拟出含缺陷的光子晶体透射能带谱，观察分析缺陷之间的距离、缺陷自身的参量对光子晶体透射能带谱简并效应的影响规律，力图找出这些因素对光子晶体透射能带谱简并效应的调制规律，为光子晶体的实际设计和应用等提供理论依据。
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研究基础模型为1维光子晶体(AB)m1(AB)m2，其中A和B是周期性排列的光子晶体基元介质，m1和m2是光子晶体两侧基元介质A, B的排列周期数。计算研究时，A和B介质层的取值参量(折射率和厚度)分别为：nA=2.6，nB=1.45，dA=740nm，dB=1329nm，m1和m2取正整数。C是插入A, B介质周期性排列中的缺陷，以不同的方式插入可形成含不同缺陷结构的光子晶体模型。如(AB)5(ACB)(AB)5就是在一个(AB)单元中插入C形成包含一块缺陷的光子晶体结构。缺陷C的取值参量为nC=4.1，dC=469nm，计算中根据实际需要可调节C的参量。
研究采用数值计算和仿真模拟结合的方式进行，计算和主要研究对象为1维光子晶体的透射能带谱，由于计算量不大，因此，计算方法主要采用比较直观且相对较成熟的研究方法——传输矩阵法[6-10, 12-14]。鉴于传输矩阵法在很多文献中已有比较详细的介绍，且使用已经很普遍，因此在此不再赘述，详细可见参考文献[18]。
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固定光子晶体两侧基元介质排列周期数m1=m2=5，并在结构中间插入若干个含缺陷C的(AB)单元，形成(AB)5(ACB)n(AB)5结构，n为含缺陷单元(ACB)的排列周期数。当n=0时，光子晶体结构模型为(AB)10或(AB)5(AB)5，光子晶体中无缺陷C，是标准周期性排列结构；n=1时，光子晶体结构模型可表示为(AB)5ACB(AB)5，即有一个(AB)单元插入缺陷C，也就是周期性排列的光子晶体分层介质中存在一块缺陷C，当n=2时，光子晶体结构模型可表示为(AB)5ACB ACB(AB)5，即有2个(AB)单元插入缺陷C，亦即周期性排列的光子晶体分层介质中存在2块缺陷C; n=3~4时存在的缺陷数目可依次类推。所以(ACB)周期数n数值也等于缺陷的数目。由传输矩阵法，通过MATLAB科学计算软件编程计算模拟，可绘制出光子晶体(AB)5(ACB)n(AB)5的透射能带谱，如图 1所示。图中横坐标频率用归一化单位ω/ω0。其中ω0=cπ/(nAdA+nBdB)为第一禁带中心对应的频率[18]，c为真空中的光速，ω是入射到光子晶体中的光频率，比值ω/ω0称为归一化频率。
Figure 1. Transmission spectrum of photonic crystal(AB)5(ACB)n(AB)5
从图 1可见，当n=0，即不含缺陷层C时，光子晶体透射谱中心为一个很宽的禁带，且禁带中不出现缺陷模，如图 1a所示。这个特征与标准周期结构光子晶体的透射谱特征一致。随着缺陷数n的增大，光子晶体透射能带谱中在很宽的禁带中出现多条分立的透射峰(缺陷模)，这些透射峰数目不仅等于缺陷数目n数值，而且随n增大, 以1.0ω/ω0频率处为对称中心向两侧拓展分布。另外，从图中还看到，随着缺陷数n的增大，分立透射峰数目增多的同时会变得越来越精细，如图 1b~图 1e所示。光子晶体缺陷数目对光子晶体透射能带谱的这种作用规律，可为设计光学滤波器件提供理论依据。
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固定光子晶体两侧基元介质排列周期数m1=m2=5，然后以(AB)5(ACB)(AB)k(ACB)(AB)5的方式插入两块缺陷C，即(AB)k把两个含缺陷C的(AB)单元(ACB)隔开使缺陷之间存在相对距离，k为插入两个含缺陷单元(ACB)之间的(AB)排列周期数。显然，当k越大，两含缺陷单元(ACB)之间的距离就越大，亦即缺陷之间的距离就越大。为方便讨论，近似地以S=(dA+dB)k计量两缺陷之间的距离。则通过计算模拟，可得出两缺陷之间距离S对光子晶体透射能带谱的影响规律，如图 2所示。
Figure 2. Transmission spectrum of photonic crystal(AB)5(ACB)(AB)k(ACB)(AB)5
从图 2可见，被(AB)k隔开的两块缺陷C在透射能带谱中仍然出现两条透射率均为1.0的窄透射峰，随着两缺陷间距S的增大，两透射峰透射率不变，但带宽变窄并且迅速地向禁带中心靠拢，出现明显的简并趋势，如图 2a~图 2e所示。
进一步计算，并绘制出两透射峰简并作用(两透射峰之间的距离ΔW)对缺陷之间距离S的响应曲线，如图 3所示。图 3直观反映两缺陷之间距离S对光子晶体透射能带谱的简并作用规律。
Figure 3. Degeneracy effect of transmission peak versus distance S
由图 3可见，随着两缺陷间距离S的增大，两透射峰间的距离ΔW迅速变小，即两透射峰出现快速简并的趋势，最后达到合二为一的完全简并效果。k=1时，两缺陷间距S=2069nm，两透射峰分别处于禁带中的0.9618ω/ω0和1.0390ω/ω0频率处，两者间距为ΔW=0.0772ω/ω0；当k=3时，S=6207nm，两透射峰移动到0.9887ω/ω0和1.0119ω/ω0频率位置处，两者间距缩短为ΔW=0.0232ω/ω0；当k=5时，S=10345nm，两透射峰处于0.9967ω/ω0和1.0039ω/ω0频率位置处，两者间距仅为ΔW=0.0072ω/ω0；当k=8时，S=16552nm，两透射峰处于0.9980ω/ω0和1.0010ω/ω0频率位置处，两者间距仅为ΔW=0.0012ω/ω0，即两透射峰已经接近简并重叠；当k=10时，S=20690nm，两透射峰均共同处于1.0010ω/ω0频率位置处，此时两者间距ΔW=0ω/ω0，即二者完全重叠，出现二合一的完全简并现象。如图 2和图 3所示。
众所周知，光子晶体中的缺陷模(透射峰)与光子晶体中的局域态是一一对应的，而且这种局域态频率是分立的。光子晶体中的这种局域态与晶体中局域化的杂质电子态类似，在一定的条件下缺陷之间也产生耦合作用。图 2和图 3反映，当两缺陷之间的距离S比较短时，两缺陷之间的耦合作用比较强，电磁波在光子晶体中传播时，在局域态中频率被量子化比较明显而且量子化频率间隔比较大，则宏观上体现为透射能带谱中两条完整且相距比较远的透射峰(缺陷模)；当两缺陷之间的距离S比较远时，两缺陷之间的耦合作用比较弱，光子晶体内局域态中频率被量子化效应相对比较弱且量子化频率间隔比较小，于是宏观上体现为透射能带谱中两条或多条靠得很近甚至重合的透射峰，即大间隔缺陷之间的弱耦合作用将导致缺陷模趋于简并重合[14-17]。缺陷间距对缺陷模的这种简并作用内在机制和宏观现象，对设计多通道光学滤波器件和光开关等具有积极的参考价值。
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为研究缺陷厚度对透射能带谱的简并作用机制，以含两个缺陷单元的光子晶体结构模型(AB)5(ACB)2(AB)5为研究对象，然后以整数倍增大缺陷层C的厚度dC，以DC表示，则分别取DC为1dC, 2dC, 3dC, 4dC, 5dC, 6dC, 7dC, 8dC, 9dC, 10dC，同时考虑厚度的整数倍有奇数、偶数倍之分，且可能奇偶数倍作用结果不同，所以分别以缺陷层厚度的奇偶数倍分开计算和模拟，结果如图 4所示。
Figure 4. Filter characterisitcs of photonic crystal (AB)5(ACB)2(AB)5 vs. defect layer thickness
从图 4可见，光子晶体(AB)5(ACB)2(AB)5透射能带谱的禁带中心1.0ω/ω0频率两侧恒定出现两条透射率为1.0的透射峰(缺陷模)，而且随着缺陷C厚度dC整数倍增大，两条透射峰越来越精细且不断地向禁带中心靠拢，也即亦出现简并的趋势。但dC奇数与偶数倍增大时，两条透射峰向禁带中心靠拢即简并的速度不一样。另外，当缺陷C厚度DC增大到一定倍数时，禁带中出现新的透射峰，并且新透射峰出现的先后和数量与厚度dC的奇偶数倍有关。当dC按奇数倍增大、DC=7dC时，原两透射峰的两侧各出现1条新的透射峰，禁带中透射峰总数为4条；DC=9dC时，原两透射峰的两侧各出现2条新的透射峰，禁带中透射峰总数为6条，且随着dC奇数倍增大，这些新增的透射峰也逐渐向禁带中心靠拢，呈现简并的趋势，如图 4a~图 4e所示。而当dC按偶数倍增大、DC=4dC时，原两透射峰的两侧各出现1条新的透射峰，禁带中透射峰总数为4条; 而当DC偶数倍增大到6dC, 8dC, 10dC时，禁带中透射峰总数保持4条不变, 但也逐渐向禁带中心靠拢，如图 4f~图 4j所示。以禁带中心1.00ω/ω0频率两侧的透射峰为例，当DC=1dC时，两透射峰分别处于禁带中的1.0740ω/ω0和0.9266ω/ω0频率处，两者间距为ΔW=0.1474ω/ω0；DC=5dC时，两透射峰分别处于1.0400ω/ω0和0.9621ω/ω0频率处，ΔW=0.0779ω/ω0；DC=9dC时，两透射峰分别处于1.0270ω/ω0和0.9748ω/ω0频率处，ΔW=0.0522ω/ω0；当DC=2dC时，两透射峰分别处于禁带中的1.1310ω/ω0和0.8709ω/ω0频率处，两者间距为ΔW=0.2601ω/ω0；DC=6dC时，两透射峰分别处于1.0740ω/ω0和0.9278ω/ω0频率处，ΔW=0.1462ω/ω0；DC=10dC时，两透射峰分别处于1.0520ω/ω0和0.9501ω/ω0频率处，ΔW=0.1019ω/ω0，如图 4a~图 4j所示。
为进一步揭示缺陷C层厚度奇偶倍数增大对透射能带谱的影响异同，仍然以禁带中心1.0ω/ω0频率两侧的透射峰为研究对象，计算绘制该两条透射峰之间距离ΔW对dC奇、偶数倍变化的响应曲线ΔW-DC，如图 5所示，图中横坐标用相对厚度DC/dC即倍数表示。由图 5可见，无论缺陷层厚度dC是奇数倍还是偶数倍增大，禁带中心两侧的两条透射峰之间的距离均逐渐减小，即两条透射峰出现简并趋势，但奇、偶倍数增大时，透射峰简并的速度不一样，而且同是奇数或偶数倍增大，前后简并的速度也不一样。为方便比较，以前后缺陷厚度倍数时两透射峰之间距离的差值除以前后倍数的差值表示简并的速度，即每增大单位倍数时简并值的变化。如奇数倍增大时，DC=1dC和9dC时的透射峰间距分别为0.1474ω/ω0和0.0522ω/ω0，简并速度为v1~9=(0.1474-0.0522)/8=0.0119，DC=11dC和19dC时，v11~19=0.0020，DC=1dC和19dC时，v1~19=0.0066；相应地可算出偶数倍增大时，v2~10=0.0198，v12~20=0.0038，v2~20=0.0112。可见，在DC=1dC~20dC的范围内，v2~20=0.0112>v1~19=0.0066，即缺陷厚度偶数倍增大时两透射峰简并的速度大于奇数倍增大时简并的速度；v1~9=0.0119>v11~19=0.0020，v2~10=0.0198>v12~20=0.0038，即缺陷厚度无论是奇数倍增大还是偶数倍增大，简并的速度均是由大变小。另外，从图 5可见，DC为19dC和20dC时, ΔW分别为0.0293ω/ω0和0.0579ω/ω0，结合上述计算说明，缺陷层厚度虽然可以使透射峰出现简并趋势，但随着厚度倍数增大简并速度慢慢减小，因此可以推测，最终也比较难实现两透射峰合二为一的效果。即相比缺陷间距对透射能带谱的简并作用，缺陷厚度的作用比较弱。
Figure 5. The degeneracy effect of transmission peak vs. defect layer thickness
可见，缺陷之间的距离和缺陷本身的厚度对光子晶体透射能带谱的简并效应均具有调制作用。
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采用传输矩阵法理论，通过数值计算和仿真模拟，研究缺陷对光子晶体透射能带谱简并作用规律。
(1) 光子晶体透射能带谱的简并效应对两缺陷之间响应非常灵敏，两缺陷间距越大，透射能带谱简并效果越明显，当间距增大到一定数值时，实现分立透射峰完全简并重合现象。
(2) 缺陷厚度无论是奇数倍增大还是偶数倍增大，均对光子晶体透射能带谱的简并效应具有调制作用，而且缺陷厚度偶数倍增大时，透射能带谱简并速度大于奇数倍增大的简并速度，但随着缺陷厚度倍数增大，透射能带谱简并的速度逐渐减小。
缺陷对光子晶体透射能带谱简并效应的这些调制规律，为光子晶体设计新型光学滤波器件、光学开关及其调制机制等提供理论依据。
缺陷对光子晶体透射能带谱的简并效应研究
Degeneracy effect of defects on transmission spectrum band of photonic crystal
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摘要: 为了设计高品质、高性能的光学滤波器和光开关，利用传输矩阵法通过数值计算模拟的方式绘制1维光子晶体的透射能带谱，研究和分析了两缺陷之间距离和缺陷的厚度对光子晶体透射能带谱的简并效应。结果表明，当两缺陷之间距离越大，透射能带谱简并效应越明显，当间距增大到一定数值时，出现分立透射峰完全简并现象；当缺陷厚度整数倍增大时，光子晶体透射能带谱出现简并的趋势，但缺陷厚度奇数倍增大与偶数倍增大时，透射能带谱简并速度不一样，前者的简并速度小于后者的简并速度；缺陷厚度无论是奇数倍增大还是偶数倍增大，光子晶体透射能带谱简并的速度均逐渐减小。缺陷对光子晶体透射能带谱简并效应的调制规律，为光子晶体设计新型光学滤波器件、光学开关及其调制机制等提供了指导。Abstract: To design optical filter and optical switch with high quality and performance, by using the transfer matrix method theory and computational simulation method to draw the transmission spectrum band of 1-D photonic crystal, the degeneracy effect of the distance between two defects and the thickness of the defect on the transmission band spectrum of photonic crystal were studied and analyzed. The results show that the transmission band degeneracy of the photonic crystal is sensitive to the distance between two defects, the transmission band degeneracy is more obvious with the greater distance between two defects. When the distance between two defects is larger, the degenerate effect of transmission band spectrum is more obvious. When the distance increases to a certain value, complete degenerate of discrete transmission peak appears. When the defect thickness increases with integer times, the tendency of degenerate of transmission band spectrum of photonic crystal appears. When defect thickness increases with odd and even number of times, the degenerate speed of transmission spectrum is not the same. The former is shorter than the latter. No matter defect thickness increases with odd or even number times, the degeneracy of transmission band spectrum of photonic crystal reduces gradually. Degeneracy effect can provide the guidance for photonic crystal design of the new optical filter, optical switch and modulation mechanism.
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Key words:
- materials /
- optoelectronics /
- transfer matrix method /
- defect mode /
- degeneracy /
- photonic crystal
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Figure 4. Filter characterisitcs of photonic crystal (AB)5(ACB)2(AB)5 vs. defect layer thickness
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