3维激光扫描技术利用激光测距原理获取被测物体表面密集的3维坐标点云，通过分析处理点云数据可提取被测物体的几何信息，从而实现3维重建或非接触式测量^[1-2]。目前，该技术主要应用在地面形貌测量、移动机器人避障以及产品逆向工程等诸多领域。参考文献[3]中介绍了如何自动将3维激光扫描数据转化成建筑信息模型，并对转化后的信息模型的精确度作了简要的评价分析。参考文献[4]和参考文献[5]中都聚焦在车辆智能驾驶领域，其中参考文献[4]中利用2维激光雷达结合外部旋转运动实现了3维数据的采集，用以辅助无人驾驶地面小车实现障碍物检测及周围环境绘制功能；而参考文献[5]中则融合了3维激光扫描仪及相机两种传感装置，协助智能车辆实现了障碍物的自动识别及分类。然而，以上述为代表的绝大多数针对激光扫描技术的研究都将重点集中在3维形体的识别、重建或可视化，却较少地关注利用3维激光扫描实现非接触式3维尺寸测量的应用领域。实际上，对于大尺寸零件或处于恶劣环境下的零件(如高温锻件)的测量，3维激光测量技术比传统的测量方法更具优越性^[6-9]。因此有必要对其测量精度展开研究与讨论。参考文献[10]中对3维激光扫描仪的测量误差影响因素进行了比较全面的定性理论分析，从仪器自身误差、被测物体表面反射率及周围环境等三方面分析了误差来源，但并未得出定量的结论。参考文献[11]中针对一款特定的2维激光雷达作了全方位的误差分析，通过实验及理论分析发现, 扫描时间、激光入射角及目标物体表面特性等诸多方面均对雷达的测量数据造成不同程度的影响，并给出了特定环境设定下的测量估计模型。参考文献[12]中结合Kinect传感器提出了空间点位误差的数学模型, 并对该类传感器的误差分布进行了定性和定量的详尽分析。参考文献[13]中采用误差椭球理论分析方法对测量数据进行了不确定性分析，并结合激光雷达测量系统推导出了具体的点位不确定性矩阵。但参考文献[12]和参考文献[13]中均仅对单一测点的不确定度进行分析建模，而并未发掘模型的实际应用价值。参考文献[14]中则进一步由点位误差模型推广到线段的误差模型，具有一定的应用价值，但仍具有局限性。

本文中以激光雷达测量系统(laser radar measurement system, LRMS)为研究对象，仅从系统自身引入的主要误差来源出发，在参考文献[15]中的研究基础之上, 验证并分析了目标测点的点位误差空间分布规律，并基于此进一步提出了基于误差椭球理论的点云拟合平面的不确定度模型，用于评估与拟合平面关联的尺寸测量。最后结合具体应用算例对该模型的有效性进行验证。

本文中的研究对象为一款自制的激光雷达测量系统，其主要用途是通过采集并处理3维点云数据实现工业现场的大型零件的尺寸测量。由于商业3维激光扫描仪器价格极其昂贵，所以本测量系统采用更经济的3维激光测距传感器结合外部的旋转运动以实现3维点云的采集功能。该测量系统采用德国SICK公司生产的LMS111 2维激光雷达传感器，该传感器基于飞行时间测量原理，获取扫描平面内各点到雷达光心的距离值，其最大扫描范围及最大测量距离分别为270°和20m，最高分辨率达0.25°。系统中所用电机是日本松下MINAS的型号为MQMA P022P1的伺服电机，每转产生10⁴个脉冲。如图 1所示，2维激光雷达安装在伺服电机的主轴上，并通过减速器(日本SHIMPO，VRSF-S9C-200)联接。如此，通过控制电机在指定角度范围内旋转，2维激光雷达就可以绕电机转轴进行相应角度的摆动，同时结合雷达自身的2维平面扫描即可实现3维空间的数据采集。将数据实时传入计算机进行数据处理，便可获取感兴趣的尺寸测量信息。

Figure 1.  Configuration of LRMS

但是，由于原始点云数据是在雷达扫描平面的坐标系下采集的，所以首先需要建立一个固定的笛卡尔参考坐标系，并将原始点云数据向该参考坐标系下映射，才能得到被采集点云数据在3维空间的真实坐标。两坐标系之间的映射转换关系如图 2所示。

Figure 2.  Mapping relationship between global reference coordinate system and radar scanning plane coordinate system

图 2中，O_g-x_gy_gz_g代表全局笛卡尔参考坐标系，y_g设为电机转轴轴线方向，z_g为竖直向上方向。O_r-x_ry_r代表雷达扫描平面坐标系，坐标原点O_r为雷达光心位置。x_r轴位于竖直平面O_g-x_gz_g内，y_r轴与y_g同向，两坐标原点间距p为系统内部标定常数，代表雷达光心到电机转轴轴线的距离。任一被测点M在雷达扫描平面坐标系中的位置可用距离l和扫描角α表示。β表示电机的转角，β=0设为雷达的起始位置。故l, α和β可唯一确定空间被测点M。经坐标变换，可得点M在参考坐标系中的坐标：

式中，l, α, β均为测量系统的直接采集数据，经由上式变换即可得到点M在3维空间中的真实表述。

然而，由于l, α, β在各自的采集过程中均存在一定的不确定度，点M在参考坐标系中的位置也存在一定误差，进而影响目标尺寸测量的精度。为评价点M在空间中的不确定度，可建立其点位误差椭球模型。参照参考文献[15]，可知该激光雷达测量系统在空间任意目标点M(x, y, z)的点位误差不确定性矩阵为:

式中, K为误差传播系数矩阵，由(1)式经过Jacobian矩阵变换而来：

式中，D_{l, α, β}为变量[l, α, β]^T的协方差矩阵：

其对角线上的3个元素分别表示l, α, β的方差值。通过先前大量的实验数据表明^[8]，对于该激光雷达测量系统，当测量距离l接近3m时，l测量值的方差为σ_l²=1.8225mm²(鉴于本文中的测量距离为3m左右，故此处取该值)；根据LMS111激光雷达的最高分辨角0.25°，且工程中以作为3σ极限误差实现分辨率进行计算，有3σ_α=0.25°/2=0.125°，则σ_α=0.125°/3=0.042°；伺服电机每转一周产生10⁴个脉冲，则同样以3σ极限误差实现分辨率计算，可得σ_β=±360°/(2×10⁴×3)=±0.006°。

设目标点M的真实坐标为(x^*, y^*, z^*)，测量坐标为(x, y, z)，则测量误差可表示为向量r=[x-x^*,y-y^*,z-z^*]^T。由误差椭球理论可知，该目标点处的误差椭球方程为：

式中, Σ=D_{x, y, z}，k为放大系数。

至此，联立方程(2)式~(5)式，即可确立该激光雷达测量系统测量范围内任意点相应k值的点位误差椭球模型。图 3所示为任一点M(l, α, β)(中心位置实心五角星)在不同k下误差椭球及基于上面给定(σ_l, σ_α, σ_β)的2000次随机仿真结果。可见，随机仿真测点(实心圆点)几乎都覆盖在k=3(97.77%置信区间)的椭球范围之内，且越靠近中心的位置，测量点出现的概率越大，符合3维正态分布规律^[16]。

Figure 3.  Simulation verification of error ellipsoid

为更直观了解空间中各测点的误差分布情况，在激光雷达测量范围内的一立方区域中均匀选取150个目标测点，并分别绘制各点的误差椭球模型，由此得到该区域内空间点位的误差分布，如图 4所示。误差椭球的长轴均朝向激光的光心(为便于图形表达，雷达光心在图中未予以显示)方向，可见测距l的误差为主要误差源。

Figure 4.  Spatial error ellipsoids map for LRMS

上述误差椭球模型虽然可以评价单一测点的点位不确定度，然而却不能直接应用到3维尺寸的测量评估上。从点云中提取尺寸信息时，常需要对点云平面进行拟合定位，进而实现与该平面关联的尺寸提取。因此，有必要建立点云拟合平面的不确定度模型。假设拟合平面与真实平面的微小偏角误差可以忽略，即认为两平面近似平行，则拟合平面与真实平面的间距可视为拟合平面的误差。目前最常用的点云平面拟合算法是随机抽样一致性算法(random sample consensus, RANSAC)，其核心思想在于寻找平面模型去拟合点云数据^[17]。

图 5所示为z=-1m的矩形平面区域内30个点的误差椭球分布。由空间点位误差分布规律可知，该平面内必存在一个关键点，其误差椭球在拟合平面的法线方向上的投影距离最小。而RANSAC算法要求拟合平面在一定阈值范围内包含最多的点，于是可以判定拟合平面应与所有误差椭球均相交，故关键点的误差椭球决定了拟合平面的两个极限位置，如图 6所示。

Figure 5.  Error ellipsoids map of rectangular x-O-y plane

Figure 6.  Critical point in a fitting plane

设关键点的真实坐标为(x_c, y_c, z_c)，测量值为(x, y, z)，则由(5)式可得该点的误差椭球，如图 7所示。设真实平面和拟合平面的法向量为n_v=(n₁, n₂, n₃)代表向量。则拟合平面的误差可表示为:

Figure 7.  The maximum error of fitting plane of critical point

易知，椭球上存在一点P使d有最大值d_max。于是，设目标方程为:

则求d_max转化为求有约束条件下的最优解，即:

将(8)式的结果代入目标方程(7)式即可求得d_max。当k=1时, d_max视为拟合平面的不确定度。

为验证该不确定度模型的有效性，运用LRMS对一箱型物体的高度进行反复测量实验，统计实测结果得出测量不确定度，并与基于该模型仿真得到的不确定度进行对比分析。

实验现场如图 8所示，被测物体距离雷达光心约3m远。实验分为4组，各组实验过程中分别调整被测物体的摆放姿态，并用激光雷达测量系统各重复扫描10次。所得部分3维点云如图 9所示。

Figure 8.  Experiment site

Figure 9.  3-D point cloud of the measured object

由图可见，被测物上表面和地面是两个平行的特征平面，其面间距即为被测物体的高度。分别统计各组实验结果，得出各组实验的测量均值及不确定度，如图 10所示。

Figure 10.  Results of height measurement of the object

运用激光雷达系统不难确定实际“地面”和“桌面”的大致范围，如图 9中两个矩形区域所示，以此作为两个拟合平面的仿真区域。在两区域内分别均匀密集地选取若干测量点, 并运用本文中提出的拟合平面不确定度模型分别对两平面的不确定度d_max(k=1)进行仿真计算，再进行不确定的合成，即物体高度的不确定度。

图 11为实测实验及仿真结果对比，4组实验测量标准差均接近但略小于仿真不确定度。由此看见，运用本文中提出的拟合平面不确定度模型, 可以较为准确地估算出实际测量中的测量标准差，也即测量的不确定度，从而为测量结果提供较为可靠的不确定度评估。

Figure 11.  Uncertainty comparison of experimental results and the simulated results

基于误差椭球理论提出了点云拟合平面的不确定度模型。通过对比实验验证了该模型的有效性，即该模型可较准确地估算出点云尺寸测量结果的不确定度，为评估激光雷达测量系统的精度提供了依据，为进一步提高系统精度奠定了基础。