Research on the technique of regulating the intensity of 2-D Airy beam array

随着有限能量Airy光束的生成，因其具有无衍射性、自加速性、自愈性的特点^[1-3]，引起了研究人员的广泛兴趣。近年来，在Airy光束的传输轨迹、光束强度、无衍射传输距离、光束特性、光束生成方法等方面^[4-11]有了进一步的研究成果, 其中具有自聚焦特性Airy光束的实验实现^[12-13]推进了Airy光束在强度方面的研究。自聚焦Airy光束在传播过程中强度几乎保持不变，但在接近焦点(Airy光束自聚焦强度最大的位置)时峰值强度可突然增加几个数量级。Airy光束阵列^[14]是自聚焦光束的一类，同样具有强度突增的特性，合成方式简单高效，对其强度方面的研究也是科研人员研究的重点方向。

2010年，HU等人^[15]通过仿真和实验证明高斯光束在频域的位移，可以实现对2-D Airy光束峰值强度位置的调控，但对Airy光束阵列强度的调控需要进一步研究。2013年，ZHANG等人^[14]在实验上实现了1-D Airy光束阵列合成自聚焦光束，实现了光束强度在焦点的扩展。2014年，CHEN等人^[16]研究发现横向尺度因子可以控制Airy光束阵列自聚焦位置处强度的大小。2016年，EZ-ZARIY等人^[17]推导了高斯光束阵列, 生成了Airy光束阵列的表达式，并仿真实现了高斯光束阵列到Airy光束阵列的转换。2018年，WU等人^[18]通过控制横向尺度因子实现了2-D Airy光束阵列自聚焦位置的移动。2019年，DAFNE等人^[19]通过仿真和实验证明: 施加线性和二次扰动因子，可以对Airy光束阵列能量分布实现控制。2022年，XU等人^[20]通过对衰减因子、缩放因子的研究，实现了对自聚焦Airy光束强度、聚焦位置等的控制。以上研究表明，通过对光束或相位图不同参数的控制，实现Airy光束阵列强度的控制，在仿真或实验过程中，需要通过软件实时编码控制光束参数或相位图参数、在液晶空间光调制器上实时更换相位图，过程复杂，并且对于一定焦点处Airy光束阵列强度的增强还需要进一步的研究。

本文作者研究了高斯光束在频域上的移动对2-D Airy光束阵列焦点处强度的控制。首先介绍了Airy光束阵列的研究背景、意义；然后理论分析了高斯光束对2-D Airy光束阵列焦点处强度调控的原理；最后分别对2-D Airy光束峰值强度位置的调控、光束阵列的初始光强以及自聚焦过程、2-D Airy光束阵列焦点处强度的增强进行了数值仿真和讨论。该光束阵列调控方法操作简单，在激光光束能量的扩展，以及激光通信信号的稳定、激光医疗等方面具有一定的研究价值。

2-D Airy光束阵列如图 1所示。由4个单独的2-D Airy光束组成，其中间隔距离2c^[21]表示2-D Airy光束阵列的光束间距。

Figure 1.  Schematic diagram of 2-D Airy beam array

以点(c, c)为中心的2-D Airy光束的有限能量函数方程为^[1]：

式中: ϕ()为电场包络；A[·]为Airy函数；s_x=(x+c)/x₀和s_y=(y+c)/y₀为无量纲的横向坐标；x₀和y₀为横向尺度因子；ξ=z/(kx₀²)为归一化的传输距离，k=2π/λ为波束，λ为真空中波长；α为衰减因子，且0 < α ≪ 1。

因此，根据式(1)，基于旋转矩阵理论^[22]生成2-D Airy光束阵列，其函数方程为：

通过高斯光束在频域的位移原理，实现2-D Airy光束阵列焦点处强度的调控。为了便于理解高斯光束位移的理论，首先考虑1-D Airy光束生成高斯光束的位移，根据式(1)对于1-D有限能量Airy光束在频域的傅里叶谱^[1]可以表示为: exp(－αω²)exp[i(ω³－3α²ω－iα³)/3]，其中ω是频域归一化的波数。在频域上移动高斯光束，其傅里叶谱变为exp[－α(ω－ω_G)²]×exp[i(ω³－3α²ω－iα³)/3]，而ω_G表示高斯光束在频域的归一化位移。因此产生的1-D有限能量Airy光束新的电场包络ϕ₁(s_x, z)^[15]为：

从式(3)可以看出, 1-D有限能量Airy光束新的峰值强度位置为ξ－2ω_G=0，当ω_G=0时，在z=0处光强最大；当高斯光束的位移ω_G≠0时，对峰值强度的位置产生变化，所以在频域移动高斯光束对1-D Airy光束的强度分布会产生影响。

类似的，2-D情况下，高斯光束位移后的2-D有限能量Airy光束新的电场包络为ϕ₁(s_x, z)×ϕ₁(s_y, z)，高斯光束在(x, y)方向的位移表示为(D_{G, x}, D_{G, y})，其中D_{G, x}和D_{G, y}分别为高斯光束在x和y方向的归一化位移。2-D Airy光束峰值光束强度位置为$\xi-\sqrt{2} D_{\mathrm{G}}=0$，同样的高斯光束的位移也会影响2-D Airy光束强度分布。根据式(2)以及式(3)，高斯光束位移后的新2-D Airy光束阵列函数为：

典型的Airy光束生成系统如图 2所示。高斯光束首先由液晶空间光调制器加载的相位图调制，然后通过傅里叶变换透镜，焦距为f，在傅里叶透镜的后焦面上生成Airy光束。通常高斯光束、相位图和傅里叶透镜被设置为沿z轴同轴，在傅里叶透镜的后焦面放置CCD相机，用于记录Airy光束的强度模式。如图 3所示，可通过在液晶空间光调制器上加载2-D Airy光束的相位图，在傅里叶透镜的后焦面上生成2-D Airy光束。图中红点表示高斯光束的位置。

Figure 2.  Schematic diagram of Airy beam generation system

Figure 3.  2-D Airy beam phase diagram and the position of Gaussian beam in frequency domain

根据式(3)和式(4)，对高斯光束在频域位移对2-D Airy光束强度的影响进行仿真分析。图 4为不移动高斯光束(D_{G, x}=D_{G, y}=0)，2-D Airy光束分别在z为0 mm、125 mm、190 mm、250 mm时，光束强度仿真以及对应的3-D图。仿真参数设定为：高斯光束波长λ=1550 nm，x₀=80 μm，y₀=80 μm，α=0.01，c=0 mm。

Figure 4.  Intensity of 2-D Airy beam without Gaussian beam displacement

如图 4a所示，当在频域不移动高斯光束(D_{G, x}=D_{G, y}=0)时，z=0 mm处无衍射峰值光束强度为0.28，此时2-D Airy光束强度最强；如图 4b所示，2-D Airy光束传播到z=125 mm时，2-D Airy光束强度为0.25，光束强度衰减约10%，2-D Airy光束仍可无衍射传播一段距离；如图 4c所示，2-D Airy光束传播到z=190 mm时，2-D Airy光束强度为0.21，光束强度衰减约25%，此时光束强度衰减超过无衍射传播距离的18%，对于在激光通信应用研究中，光束强度受大气湍流影响^[23-27]，接收端光束强度减弱，影响信号的接收；如图 4d所示，2-D Airy光束传播到z=250 mm时，2-D Airy光束强度为0.17，相较于图 4a，此时光束强度衰减了约40%。从图 4e~图 4h的3-D仿真图可以明显地看出, 随着传播距离的增加，2-D Airy光束强度在衰减。通过对高斯光束在频域的位移仿真了2-D Airy光束峰值强度位置的变化，在激光通信应用中，可以在一定距离内使峰值光束强度传播到接收端。

图 5为移动高斯光束(D_{G, x}=D_{G, y}=4)，2-D Airy光束分别在z为0 mm、125 mm、190 mm和250 mm时，光束强度仿真以及对应的3-D图。将初始光强衰减18%时的传输距离，作为2-D Airy光束的无衍射传输距离^[23]。如图 5a所示，当移动高斯光束(D_{G, x}=D_{G, y}=4)时，在z=0 mm处峰值光束强度为0.20，与图 4a相比，光束强度衰减，峰值光束强度的位置发生了改变，不再位于初始距离处；如图 5b所示，调控后的2-D Airy光束传播到z=125 mm时，此时2-D Airy光束强度为0.26，光束强度随传播距离的增加而增加；如图 5c所示, 在z=190 mm时，2-D Airy光束强度为0.28，恢复峰值光束强度，通过高斯光束在频域的位移实现了2-D Airy光束峰值强度位置的变化，利用高斯光束的位移调控，可以将峰值强度传播到目标点；如图 5d所示, 调控后的2-D Airy光束传播到z=250 mm时，2-D Airy光束强度为0.27，仍然保持了2-D Airy光束的特性，可在此基础上继续无衍射传播一段距离。从图 5e~ 图 5h对应的3-D仿真图可以明显地看出, 高斯光束位移后2-D Airy光束峰值强度位置的变化，并且峰值光强恢复后2-D Airy光束继续无衍射传播，不影响2-D Airy光束的特性。

Figure 5.  Intensity of 2-D Airy beam with Gaussian beam displacement

由公式$\xi-\sqrt{2} D_{\mathrm{G}}=0$可知，随着高斯光束的位移，峰值光束强度的位置逐渐远离初始位置z=0 mm。如图 6所示, 仿真在z=190 mm时，高斯光束不同位移对2-D Airy光束强度有影响。从图中可以看出，随着高斯光束位移的增加，在z=190 mm处2-D Airy光束强度不断增强，直至恢复无衍射峰值光束强度，但是高斯光束的移动范围需在相位图大小的范围内。

Figure 6.  Effect of different displacements of Gaussian beam on the intensity of 2-D Airy beam

对2-D Airy光束阵列的自聚焦特性以及初始光强进行仿真分析。2-D Airy光束阵列的相位图如图 7所示。将图 2的Airy光束生成系统中相位图换成图 7的2-D Airy光束阵列相位图，在傅里叶透镜的后焦点生成2-D Airy光束阵列。

Figure 7.  Phase diagram of 2-D Airy beam array

根据式(5)对2-D Airy光束阵列自聚焦过程进行仿真，c=1 mm，D_{G, x}=D_{G, y}=0，如图 8所示。图 8分别是z为0 mm、125 mm、180 mm和190 mm时, 2-D Airy光束阵列强度的仿真以及对应的3-D图，可以更直观地对光束强度进行观察。

Figure 8.  Schematic diagram of the self-focusing process of 2-D Airy beam array

图 8a在z=0 mm处，2-D Airy光束阵列的4个2-D Airy光束主瓣都指向阵列中心，且每个主瓣中心到阵列中心的距离相同，从图 8a对应的3-D图可以看出，每个2-D Airy光束强度为0.28，与图 4a中2-D Airy光束在z=0 mm时的光束强度一致，2-D Airy光束阵列中的单个2-D Airy光束仍然保持了2-D Airy光束的特性。

图 8b为传播一段距离后，在z=125 mm处的光束聚焦情况，可以看出，相较于在z=0 mm，光束间隔变小，但光束还未接触，4个2-D Airy光束仍保持各自的光学特性，继续向阵列中心传播。将图 8e和图 8f做比较，在传播125 mm后，因2-D Airy光束的无衍射性，在聚焦之前，4个2-D Airy光束基本保持其初始强度。

如图 8c所示，在光束传播到z=180 mm时，4个2-D Airy光束相互接触, 但还未融合; 如图 8g所示，此时Airy光束阵列强度还未突增。

如图 8d所示，在光束传播到z=190 mm时，4个2-D Airy光束相互融合完成了自聚焦，此时光束强度突增为0.56，与图 4c和图 5c相比，实现了2-D Airy光束阵列强度在焦点的提高。此时，在经过4个2-D Airy光束传输一段距离后实现的自聚焦光束初始强度为0.85。

从图 4和图 5可以看出, 通过对高斯光束在频域的位移调控，仿真实现了2-D Airy光束峰值强度位置的变化；从图 8可以看出, 2-D Airy光束阵列的自聚焦可以在焦点实现光束强度的突增，相比单个2-D Airy光束强度更高，但在焦点完成自聚焦之前，阵列中每个2-D Airy光束仍要传播一段距离才能完成自聚焦，随着阵列中每个2-D Airy光束的传播，光束强度会损失一部分，通过对高斯光束在频域的位移调控可实现2-D Airy光束阵列焦点的强度的增强。图 9为高斯光束在2-D Airy光束阵列频域的位移示意图。图中红点表示高斯光束的位置，箭头表示高斯光束的位移方向。

Figure 9.  Schematic diagram of the displacement of Gaussian beam in frequency domain of 2-D Airy beam array

在频域移动高斯光束时，2-D Airy光束阵列各象限光束强度调控的仿真结果如图 10所示。在第一象限沿45°方向移动高斯光束(D_{G, x}=D_{G, y}=d，d>0)，当高斯光束发生位移时，对于4个象限中每个2-D Airy光束的位移都不同。下面首先仿真了高斯光束位移(D_{G, x}= D_{G, y}=1)时，在z=0 mm初始平面处，对每个象限中的2-D Airy光束强度的影响，图 10分别是2-D Airy光束阵列在第一象限、第二象限、第三象限、第四象限的光束强度仿真图，以及对应的2-D Airy光束阵列强度的3-D图。

Figure 10.  Intensity of each quadrant of 2-D Airy beam array at Gaussian beam displacement D_{G, x}=D_{G, y}=1

如图 10所示，高斯光束位移D_{G, x}=D_{G, y}=1时，第一象限的2-D Airy光束强度为0.281；第二象限2-D Airy光束强度为0.270；第三象限2-D Airy光束强度为0.259；第四象限2-D Airy光束强度为0.271，高斯光束位移对2-D Airy光束阵列中的每个光束强度产生不同的影响，从而在频域位移不同距离的高斯光束对焦点处自聚焦的2-D Airy光束阵列强度产生不同影响。

通过高斯光束的位移可以控制2-D Airy光束阵列焦点的强度，图 11为移动高斯光束，即(D_{G, x}, D_{G, y})取不同值时, 在z=190 mm 2-D Airy光束阵列自聚焦处，Airy光束阵列强度的仿真结果以及对应的3-D仿真结果。

Figure 11.  2-D Airy beam array intensity in focus simulation after Gaussian beam displacement

从图 8d可以看出, 在不移动高斯光束，即D_{G, x}= D_{G, y}=0、z=190 mm时，2-D Airy光束阵列强度为0.85。如图 11a所示, 移动高斯光束，D_{G, x}=D_{G, y}=1，2-D Airy光束阵列自聚焦强度为0.96；如图 11b所示，D_{G, x}=D_{G, y}=2，2-D Airy光束阵列自聚焦强度为1.04；如图 11c所示，D_{G, x}=D_{G, y}=3，2-D Airy光束阵列自聚焦强度为1.1。随着高斯光束的移动，对焦点处自聚焦的2-D Airy光束阵列强度进行了调控，实现了2-D Airy光束阵列强度的增强。

因2-D Airy光束阵列中每个光束在自聚焦之前保持了Airy光束的光学特性，通过高斯光束位移对每个2-D Airy光束强度的调控，实现了2-D Airy光束阵列焦点处强度的调控，在2-D Airy光束阵列焦点固定的情况下，可灵活方便地对2-D Airy光束阵列强度进行调控，且过程简单。

因Airy光束的无衍射特性，对大气湍流具有一定的抑制能力，2-D Airy光束阵列强度的调控使焦点汇聚的能量更强，为光束抵抗大气湍流提供了一种新的方法，通过模拟2-D Airy光束阵列强度在大气湍流中的调控，分析了此方法对2-D Airy光束阵列光强的影响，如图 12所示，模拟了湍流条件下2-D Airy光束阵列强度调控的效果。

Figure 12.  Simulation of focal intensity of 2-D Airy beam array under moderate turbulence conditions

通过功率谱反演法生成随机湍流相位屏，将2-D Airy光束阵列通过生成的随机湍流相位屏，进行大气湍流的强度仿真，仿真参数为：大气折射率结构常数C_n²=8×10^－14 m^－2/3，x₀=11 mm，y₀=11 mm，λ=1550 nm，c=1 mm，α=0.01，光束在1 km处聚焦。图 12为中等湍流强度下，在z=1 km 2-D Airy光束阵列自聚焦处，Airy光束阵列强度仿真图以及对应的3-D仿真结果。如图 12a所示，没有湍流、不移动高斯光束、D_{G, x}=D_{G, y}=0和z=1 km时, 2-D Airy光束阵列强度为1.09;此时在不移动高斯光束的情况下，加入湍流，光束强度仿真结果如图 12b所示，2-D Airy光束阵列强度为0.85，因为大气湍流的影响，光束强度降低；通过移动高斯光束, 使D_{G, x}=D_{G, y}=1.43，如图 12c所示，在z=1 km处，加入湍流的情况下，2-D Airy光束阵列自聚焦强度增强为1.03，提高了2-D Airy光束阵列抵抗大气湍流的能力，使光束在焦点处的强度增强。

理论分析了2-D Airy光束阵列焦点处强度调控的原理，并对其进行了仿真研究。通过仿真发现：在高斯光束的调控下，2-D Airy光束峰值强度可以由初始位置z=0 mm处调控到z=190 mm处，实现了对2-D Airy光束峰值强度位置的调控；在2-D Airy光束峰值强度调控的基础上，对2-D Airy光束阵列焦点处的强度实现了增强，在未调控的情况下，2-D Airy光束阵列焦点处的初始光强为0.85，经过高斯光束在频域的调控，焦点处的光强增加为1.1，实现了2-D Airy光束阵列焦点处强度的增强；大气湍流条件下，通过强度调控，在z=1 km处2-D Airy光束阵列强度由0.85增强到1.03，对抵抗大气湍流具有一定的作用，在激光通信增强接收端信号方面具有重要的研究价值。