Optical breakdown and plasma morphology distribution of double droplets induced by femtosecond laser

超短激光脉冲在透明电介质尤其是在液滴中的光学击穿得到了广泛重视。液滴广泛存在于各种大气环境和生物系统中，在大气传输和各种生物过程中发挥着重要作用。当激光在大气中传输时，液滴集团通常被看作为光通信的阻碍，如大气中的雨雾^[1-2]等往往会阻碍激光的传输。一旦激光的强度超过液滴的击穿阈值，液滴就会发生光学击穿，同时在电离过程中产生激光等离子体^[3]，然后液滴发生形变^[4]、位移^[5]等一系列动力学现象。这些等离子体的形成会影响激光的传输。当然，光学击穿也可以触发液滴的合并和重新组合，所以飞秒激光诱导的水凝结可以促进核的生长^[6-7]，甚至可以触发降雨和降雪的可能性。然而，液滴中的激光等离子体也并非是完全有害的，激光诱导击穿光谱通常被用来检测溶液中的成分^[8-9]。在生物医学领域中，由于生物组织中含有大量的水分，飞秒激光与生物组织的作用主要是激光与组织中液滴的作用。如激光眼科手术^[10]是激光技术在生物医学上的治疗应用。

在飞秒激光与液滴的相互作用过程中，通过多光子电离^[11]和雪崩电离^[12]过程，如此强的激光强度在液滴内部产生激光等离子体^[13-14]，局部改变了液滴中水介质的光学性质。大量的激光能量将被等离子体吸收。激光能量的汇聚可以显著降低液滴的击穿阈值，同时可以在汇聚区域产生光子纳米射流^[15]，这些光子纳米射流会对水微滴或其它透明电介质产生影响。液滴内纳米电子等离子体通常可以用于癌症细胞的光疗和通过选择性纳米气泡空化灭活细菌或病毒^[16-17]。目前已有关于激光诱导等离子体在单个水微滴中击穿的研究，建立了单个液滴光学击穿不同阶段的模型^[18-19]，研究了单个液滴的击穿阈值和能量吸收^[20]，然而关于激光与多个液滴的相互作用的研究还有待开展。当激光辐照双液滴时，一个液滴的激光等离子体演化将会有可能干扰另一个液滴附近的光场分布和光学击穿过程。

本文中主要研究飞秒激光辐照双液滴的光学击穿和等离子体的分布变化。作者基于水介质的电离速率方程和激光光场的非线性传输方程，构建了飞秒激光与双液滴的瞬态耦合模型，对飞秒激光与双液滴的相互作用过程中的光场和电子密度的空间分布进行了计算，研究了双液滴结构对液滴击穿阈值、等离子体形态分布以及激光能量吸收的影响。

激光与液滴等透明介质的相互作用过程中，当激光的强度达到一定的阈值时，激光诱导等离子体通过一些复杂的电离机制产生，主要是多光子电离、隧穿电离和雪崩电离。在水介质的电离实验中，使用的激光强度通常低于隧穿电离所需要的下限，所以本研究中不考虑隧穿电离的影响。激光诱导等离子体的演化可以用自由电子密度ρ随时间变化的速率方程来表示^[21-22]：

式中，β_K为K阶多光子电离截面，σ_a为雪崩电离截面，V_p为介质的电离势，ρ_n为中性分子的密度，g为电子的复合速率，ω和I分别为激光的频率和强度，$\hbar $为约化普朗克常数，t为时间。值得注意的是，基于各向同性等离子体的假设，全局方程中扩散项转换为一般扩散系数D。同时，雪崩电离的电离截面可以表示为：

式中，τ_c为自由电子和分子碰撞所需要的平均时间间隔，c为真空中的光速，e和m_e分别为电子电荷量和电子质量，n₀和ε₀分别是线性折射率和真空中的介电常数。

在忽略谐波产生的情况下，等离子体中单色激光场的特性主要受衍射、光学克尔效应、散焦效应和非线性吸收的影响。为了计算耦合过程中光波的瞬态演化，基于麦克斯韦电磁场理论的非线性波动方程，电场E满足于：

式中，ε_RL为线性相对介电常数，μ₀为真空磁导率，J是自由电荷的电流密度，P_NL是非线性电极化矢量。事实上，等离子体的存在会使空间电流密度产生变化。通过多光子电离形成的等离子体同时会吸收光子能量，产生电流密度J_MPA=cn₀ε₀β_KI^K－1E。另外，具有很高自由电子密度的等离子体可以吸收和折射光场，产生电流密度J_PL=cn₀ε₀σ_cρE，其中系数σ_c是一个复数表达式σ_c= /(1－iωτ_c)。于是，总的电流密度为J = J_MPA+ J_PL。为了简化计算，将上面的电流密度使用P = P′+iJ/ω关系进行归一化处理，P和 P′分别为电极化矢量和光克尔效应引起的电极化矢量，得到非线性电极化矢量为：

式中，n₂是3阶光克尔折射率。因此，总的相对介电常数为：

同时，由于相对介电常数的变化率相比于电场的变化可以忽略不计，所以可以进行以下的近似处理：∂_t(ε_rE)= E∂_tε_r+ε_r∂_t E ≈ε_r∂_tE。最后，可以得到非线性波动方程:

上述(1)式、(5)式和(6)式组成了激光等离子体的瞬态耦合方程组，用来计算光场的传输及其生成的等离子体瞬态演化过程。

作者将第2个液滴受到第1个液滴影响的两个液滴视为双液滴结构。如果两个液滴是并联的(两液滴球心的连线沿y轴)，则各液滴的光致击穿可以近似认为是相互独立的。否则，如果两个液滴是串联的(两液滴球心的连线沿x轴，或连线在x轴上的投影是非零长的)，则第2个液滴的光学击穿过程将会受到第1个液滴的影响。所以，作者主要研究的是串联的两个液滴，飞秒激光与双液滴相互作用的模型如图 1所示。飞秒激光沿x轴方向传播，激光场的偏振方向垂直于xy平面，图 1中的焦点为激光传输过程中全区域全时域上的光场功率密度最大点。为了更好地描述双液滴间距变化对等离子体形态和光场分布产生的影响，作者定义了一个无量纲参数m=d/r，其中d为第2个液滴距第1个液滴焦点的距离(第2个液滴在第1个焦点前为负数，在焦点后为正数)，r为双液滴半径。对于双液滴不同的间距或半径变化时，只要m值一定，双液滴附近的光场和等离子体分布都是相似的^[20]。双液滴的半径和间距是影响双液滴等离子体分布和激光能量吸收的重要因素。第2个液滴半径越小于第1个液滴时，第2个液滴越容易被击穿；而大于第1个液滴半径或相等时，基本上不发生变化。由于双液滴相对半径的改变对双液滴光学击穿的影响并不明显，所以作者主要研究双液滴间距的影响。

Figure 1.  Sketch of femtosecond laser interaction model with double droplets(xy plane model)

本文中通过构建飞秒激光与双液滴的耦合模型，求解激光等离子体瞬态耦合方程组，使用COMSOL的有限元方法得到双液滴2维的激光光场和等离子体的瞬态演化过程。在激光瞬态耦合模型中，入射光场符合高斯光束的形式，表达式为：

式中，E₀为高斯光束中心处电场的振幅，波数k=2πn₀/λ，入射激光的波长λ=800 nm，脉冲宽度τ=100 fs，c₀为光束的结构参数，这里默认为1，w(x)为光斑半径(w₀是光束的束腰半径，取w₀=100λ)，R_w(x)为高斯光束波面的曲率半径，Φ(x)为高斯光束基模产生的相位因子，e_z为z方向空间矢量。由于光斑半径远大于液滴的大小，所以入射液滴的激光场可以被认为是平面波。另外，模型中使用的一些介质参数详见参考文献[20]。

在飞秒激光与液滴的光学击穿过程中，飞秒激光产生的热和热弹性应力的结合在液滴中产生相变形成气泡，作者将液滴中气泡的形成作为液滴是否被击穿的判据。气泡的形成是由聚焦中心产生相变的温度决定的，温度的上升与等离子体的自由电子密度有关。以前的研究将液滴局部自由电子密度达到10¹⁸ cm^-3~10²⁰ cm^-3时^[23]，认为液滴发生光学击穿。而对于液滴达到气泡形成的温度来说，此时的临界自由电子密度在10²⁰ cm^-3量级^[24]。在本文的计算中，将等离子体自由电子密度达到10²⁰ cm^-3作为击穿阈值的判据。

为了探究双液滴对击穿阈值的影响，比较同等条件下单液滴和双液滴的击穿阈值。将第2个液滴放在第1个液滴的焦点处，使得第2个液滴发生击穿，得到双液滴的击穿阈值。对于粒径小于激光波长的液滴，光场在此类液滴附近会发生明显的衍射效应，即光场可以衍射穿过液滴，而对于较大型液滴，折射效应将更加明显，大量的光场能量将更容易被汇聚至液滴内部，导致击穿阈值的降低。如图 2所示，作者使用微米量级粒径的液滴，双液滴与单液滴击穿阈值的比值随着液滴半径的增加而减小，在液滴半径为8 μm后，击穿阈值之比基本趋近于35%。因此，同等条件下双液滴的击穿阈值约为单液滴的35%。

Figure 2.  Variation of the double-droplets to singledroplet breakdown threshold ratio with droplet radius r

不同m值下双液滴附近等离子体和光场的空间分布如图 3所示。真实计算的激光入射位置在液滴的左侧7 μm处，图 3a~图 3c中具体时刻为256 fs，272 fs和309 fs，其对应激光诱导等离子体达到整个电离过程中自由电子密度最大值的时刻，同时为了使等离子体的形态分布更加鲜明，对图中自由电子密度ρ(单位为m^-3)进行了对数化处理。其中，光场中的最大激光强度Ι_max分别为: 31.1 TW/cm²(见图 3d)、33.5 TW/cm²(见图 3e)和47.3 TW/cm²(见图 3f)。激光脉冲从左向右传播，入射激光的光强为1.5 TW/cm²，r=8 μm，此时尺寸参数q=2πr/λ≈60，衍射效应的影响较小。

Figure 3.  Distribution of plasma morphology in double droplets under different m values

在图 3a和图 3b中，随着m值的不断增加，第2个液滴的自由电子密度分布从一个横向的“Y”形逐渐变成“I”形，等离子体分布更加的集中，在聚焦区域产生纳米等离子体射流。这种结果反映了光场的分布，如图 3d所示。由于第1个液滴可以被视作为透镜，将激光汇聚在第2个液滴内部发生击穿，且击穿点将会随着m值的增大而不断前移，直至在液滴表面发生击穿。如图 3b和图 3c所示，此时第2个液滴在表面发生击穿，同时第2个液滴的自由电子密度区域虽然有所减小，但其形态分布并没有发生太多变化。由图 3f可以发现，此时第2个液滴在第1个液滴焦点后面，第2个液滴受到的光强将会随着m值的再次增大而逐渐减小，直至第2个液滴无法发生击穿。

不同m值下双液滴最大自由电子密度和总自由电子数变化如图 4所示。在图 4中，总的电子数随着m值的增大而不断地减小。当m值为-0.625~-0.2时，最大自由电子密度基本不变。这是由于液滴的汇聚作用和第2个液滴的折射、吸收等效应，使得第2个液滴击穿点上的光强基本不变；当m值为-0.2~0时，此时击穿点的光强在不断增加，最大自由电子密度随m值增大而增大，并在m=0时达到最大值，可以说明第2个液滴放在第1个液滴的焦点处将更容易被击穿。如图 3e所示，此时m=-0.125，击穿点的光强比图 3d中的光强大；当m>0时，第2个液滴逐渐远离第一个液滴的焦点，此时第2个液滴受到的光强在不断地减弱，使得最大自由电子密度不断减小，直至无法达到击穿条件；当m值达到0.45时，此时双液滴间距为9 μm，第2个液滴达到临界击穿(第2个液滴被击穿时，双液滴间距达到最大)。

Figure 4.  Variations of maximum free electron density and total electron number of double droplets with m value

对比图 3a和图 3b可以发现，自由电子数的分布在不断聚集。此时总的自由电子数在不断地减少，虽然最大自由电子密度在m值为-0.625~0时先基本不变，然后不断增加，但依然可以说明自由电子数存在着不断聚集的现象，只是开始时聚集的程度不够剧烈，没有使最大自由电子密度发生变化。而随着自由电子数的聚集，最大自由电子密度在不断增加，在聚焦区域内形成纳米等离子体射流现象。

下面讨论第2个液滴击穿点位置的变化。第2个液滴的击穿深度(第2个液滴前表面和击穿点的距离)随m值的变化，如图 5所示。随着m值的增大，击穿深度在不断地变小并且基本呈线性变化。直至当m值达到-0.2时，击穿深度基本在0.1 μm左右保持不变，可以认为此时第2个液滴在表面发生击穿。当m值最小时，击穿深度最大。第2个液滴击穿深度的变化主要是由第1个液滴类透镜的汇聚效果造成的。通过图 3a和图 3b中等离子体形态分布的变化，可以更加明显地观察到击穿点的前移。相比于图 4，随着m值的增大，第2个液滴在内部发生击穿并且击穿深度在不断减小时，最大自由电子密度基本不变；当击穿点在表面时，最大自由电子密度在急剧增加，直到m=0时达到最大，然后开始不断地减少。

Figure 5.  Breakdown depth of double droplets varies with m values

当激光的强度超过液滴的击穿阈值，液滴将会发生光学击穿。同时，大量的激光能量将被产生的等离子体通过逆韧致过程和多光子过程吸收。对于飞秒激光诱导等离子体，由于多光子吸收系数是光强的高阶函数，多光子吸收过程将在光学击穿中占重要地位。这些吸收的能量在电离过程被消耗，然后会转化为液滴的内能和液滴形变的动能。对穿过液滴的光束做圆柱体假设，基于电磁场理论，单个液滴及附近介质的能量损耗Q为：

飞秒激光穿过液滴的总能量Q_t为：

式中，I(t)表示随时间变化的光强，I₀为入射激光的峰值光强。

两个液滴的能量损耗Q随m值的变化如图 6所示。其中，Q₁和Q₂分别为第1个液滴和第2个液滴的能量损耗。随着m值的增大，第1个液滴的能量损耗Q₁基本保持不变，第2个液滴的能量损耗Q₂逐渐减少。当m值为-0.625~-0.2时，由于液滴击穿点不断前移，等离子体的分布区域在不断减小，所以第2个液滴的能量损耗在快速地减少，而且下降率大于其它情况。当m值达到0.25时，第2个液滴的能量损耗将小于第1个液滴。因为当第2个液滴逐渐远离第1个液滴的焦点，受到的激光光强在不断地减小，产生的自由电子数在减少，所以第2个液滴对激光能量的吸收也将逐渐减小，直至小于第1个液滴的能量吸收。根据(9)式计算出飞秒激光入射液滴的总能量为321 nJ，则此光强下第2个液滴的最大能量损耗率约为3.3%，而第2个液滴发生临界击穿时的能量损耗仅约为3/10000。对比于单液滴，第2个液滴可以吸收更少的能量而达到光学击穿，约为单液滴能量吸收的1/10。

Figure 6.  Variations of energy losses of double droplets with m values

为了探究单液滴和双液滴分别达到光学击穿时吸收能量的区别，作者分别使用满足击穿阈值的光强入射，计算单液滴和双液滴发生光学击穿时吸收的能量。根据(8)式计算单液滴发生光学击穿时吸收的能量为1.04 nJ。为了使第2个液滴更容易被击穿，将第2个液滴放在m=0的位置上，此时第1个液滴吸收的能量为1.61 pJ，第2个液滴吸收的能量为27.7 pJ，总吸收的能量为29.3 pJ。对于分别使用满足击穿阈值的光强入射，双液滴总吸收的能量约为单液滴的3%。同时，由于双液滴的击穿阈值为单液滴的35%，可以使用更低的激光光强入射双液滴，其将比单液滴吸收更少的能量。

不同m值下双液滴的能量损耗随光强的变化如图 7a所示。图中Q₁为第1个液滴对激光能量的吸收，Q₂分别为m=-0.5和m=0.25时第2个液滴对激光能量的吸收。对于一个特定的m值，第2个液滴的能量损耗随着激光光强的增加而增加，但是增长率持续地降低。当入射激光的光强大于3 TW/cm²时，第2个液滴对激光能量的吸收存在明显的饱和作用。在m=-0.5时，第2个液滴的能量损耗趋近于40 nJ；在m=0.25时，第2个液滴的能量损耗趋近于5 nJ。不同m值下双液滴能量损耗比例Q/Q_t随光强的变化如图 7b所示。不同m值下第2个液滴的能量吸收随光强变化的趋势是相似的。当入射光强小于液滴的击穿阈值时，液滴对激光能量的吸收可以忽略。当入射光强大于第2个液滴的击穿阈值而小于第1个液滴时，第2个液滴将发生光学击穿吸收大量的激光能量，而第1个液滴没有发生光学击穿或者等离子体自由电子密度不够大，对激光能量的吸收比较微弱。所以此时第2个液滴对激光能量的吸收将会大于第1个液滴的能量吸收。当入射光强大于两个液滴的击穿阈值时，第1个液滴对激光能量的吸收比例随激光强度的增加而不断增加，在达到饱和作用后吸收比例可以达到0.7。第2个液滴对激光能量的吸收比例开始时随激光光强的增加而增加，然而当第1个液滴发生等离子体屏蔽时，第2个液滴的能量吸收比例不断下降，直至趋近于0.01，这仅仅约为单液滴吸收能量比例的1.5%。

Figure 7.  Variation of double droplets energy losses Q and proportion of energy losses Q/Q_t with laser intensity at different m values

本文中研究得到波长800 nm、脉宽100 fs的激光脉冲与微米级双液滴相互作用过程中的光学击穿和等离子体的空间分布。计算结果表明，激光辐射串联形态下的双液滴，第2个液滴的击穿阈值约为同等条件下单液滴击穿阈值的35%。当m值为-0.625~0时，双液滴的等离子体形态由“Y”型逐渐变成“I”型，等离子体分布区域在不断的减小，产生纳米等离子体射流。同时，第2个液滴击穿深度也随m值的增大而减小且成线性关系，直至当m=-0.2时，第2个液滴在表面发生光学击穿。另外，第2个液滴对激光能量的吸收随着m值的增大而不断减小，直至低于第1个液滴的能量吸收。在满足液滴击穿阈值时，双液滴将比单液滴吸收更少的能量发生光学击穿。第2个液滴对激光能量的吸收随光强的增大而增大，在入射光强较大时达到饱和，吸收系数将趋于0.01，约为单液滴吸收系数的1.5%。期望作者的工作可以对激光诱导水击穿中激光阈值的降低以及激光在大气中传输的能量吸收提供参考。