Peak-to-average ratio suppression algorithm for DCO-OFDM underwater visible light communication system

与水声通信相比，水下可见光通信适用于短距离通信，具有通信时延低、带宽大、抗干扰能力强和安全性高等诸多优势，在海洋环境监测、海底资源勘探和军事行动等方面有着十分广泛的应用，成为了近年来的一个研究热点^[1-3]。传统水下可见光通信系统的调制方式大多数是基于单载波的，例如二进制振幅键控^[4]、脉冲位置调制^[5]和数字脉冲间隔调制^[6]等。但是，单载波调制技术在复杂的水下信道环境中，会受到极大的干扰而影响信息传输速率。因此，需要选择一种抗干扰能力强、信息传输速率快的调制方式来解决这个问题。

正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM) 由于具有信息传输速率快、抗多径干扰能力强以及频谱利用率高等特性^[7]，被广泛应于无线通信中^[8]。与传统的OFDM系统不同，在可见光OFDM系统中普遍采用强度调制/直接检测(intensity modulation/direct detection, IM/DD)的调制方式，要求传输信号必须为非负实数信号。在直流偏置光正交频分复用(direct current biased optical OFDM, DCO-OFDM)的技术中，只用给传输信号简单地添加一个偏置电流，就能满足非负实数信号的要求^[9]。因此，水下可见光通信系统多采用DCO-OFDM的多载波调制方式。

当子载波的相位相同或相近时，OFDM系统会产生较高的峰均功率比(peak-to-average power radio, PAPR)^[10]。然而, 在DCO-OFDM通信系统中，核心器件发光二极管(light-emitting diode, LED)的线性工作电压范围有限，当过高的PAPR信号经过LED时，会产生严重的限幅失真^[11]，导致系统性能恶化，抑制PAPR成为了亟待解决的问题^[12]。针对DCO-OFDM系统中PAPR过高的问题，已有许多可行的抑制方法，可以分为3类：预失真类、编码类和概率类。预失真类方法包括限幅^[13]和压缩扩展^[14]等方法。限幅是将超过阈值的信号直接截断，以降低信号的PAPR^[13]；压缩扩展是在信号发送端对时域信号进行非线性压缩以降低PAPR，然后在接收端扩展变换复原信号^[14]。这类方法虽然实现简单，但是存在信号失真的问题，导致系统误比特率增大。编码类方法有分组编码^[15]和离散余弦变换(discrete cosine transform, DCT)预编码^[16]等。分组编码是对信号进行编码生成多种码组，选择PAPR最小的码组信号进行传输^[15]；DCT预编码是对信号进行预编码处理，改变信号的自相关性以降低PAPR^[16]。虽属线性运算不会造成信号失真，但计算复杂度较高。概率类方法主要有选择性映射法^[17]和部分传输序列法^[18]等。这两种方法都是通过改变发送信号相位，计算选择PAPR最小的信号进行传输^[17-18]。由于概率技术采用线性运算，不仅不影响系统性能，而且具有良好的PAPR抑制性能。但是，它的计算复杂度非常高，需要多次快速傅里叶逆变换(inverse fast Fourier transform, IFFT)运算。

基于以上的研究和分析，本文作者提出了一种基于范德蒙类矩阵(Vandermonde-like matrix, VLM)预编码与改进的自适应缩放联合PAPR抑制算法。首先，在IFFT前对频域信号进行VLM预编码处理，降低其自相关性。然后，根据改进的自适应缩放因子对时域信号进行缩放，再添加一个合适的偏置电流，以达到最佳的PAPR抑制效果。仿真实验表明，所提联合算法可以有效地抑制系统PAPR，但由于信号自适应缩放后幅值变小，从而导致误比特率有所升高。所以，所提联合算法适用于对PAPR性能要求较高、而对误比特率性能要求不高的水下可见光通信系统。

在水下可见光通信系统中，光传输的两大主要影响因素分别为吸收和散射^[2]。图 1是一个边长为Δr、体积为ΔV的水立方体。当波长为λ、功率为P_t(λ)的入射光束通过水立方体时，功率P_a(λ)被水立方吸收，功率P_s(λ)被水立方体散射，剩余的功率P_r(λ)不受任何影响地穿过水立方^[19]。

Figure 1.  Optical properties of water cube geometry

由能量守恒定律可得：

令吸收度为A，散射度为B, 分别定义为：

当水立方体的边长Δr趋近无穷小时，吸收系数和散射系数分别为：

水下总衰减系数为：

此时，水下可见光传输的损耗系数^[3]可表示为：

式中，d表示为水下可视通信距离。

图 2为水下信道模型。联合考虑发射设备孔径a_t、接收设备孔径a_r和光源发散角θ等因素时，水下可见光信道传输公式^[20]可表示为：

Figure 2.  Underwater visible light communication channel model

式中，η_t为发射设备传输效率，η_r为接收设备传输效率，ρ_l为叶绿素的质量浓度，ρ_p为悬浮粒子质量浓度。

图 3为本文中所采用的DCO-OFDM水下可见光通信系统模型。在系统发送端，首先将串行的原始数据进行正交振幅调制(orthogonal amplitude modulation, QAM)，得到离散频域信号{X_k}_k=1^N/2-1，接着对调制后的信号进行串并(serial/parallel, S/P)变换。图中, D/A(digital/analog)表示数模转换，PD(photodetector)表示光电探测器，CP(cycle prelix)表示循环流程。

Figure 3.  DCO-OFDM underwater visible light system model

不同于其它通信介质下的OFDM系统，DCO-OFDM水下可见光通信系统的时域信号需要符合实数特性要求。为了满足这个条件，需对X_k进行Hermitian共轭对称变换^[9]。即：

式中，上标*表示共轭对称变换。变换后的信号为X=[X₀, X₁, …, X_N-1]^T，再通过IFFT运算后得到N点离散时域信号x=[x₀, x₁, …, x_N-1]^T，即：

对并串变换后的时域信号x添加循环前缀，以减小码间干扰的影响; 再经过数模转换将离散时域信号转换为连续时域信号x(t); 最后，需要对时域信号添加一个合适的直流偏置x_bias使其转换为非负实数信号x_DCO(t)，从而可以驱动LED将所要传输的电信号以光的形式发送出去, 即：

式中，t是时间; x_bias=$\mu \sqrt{E\left[x(t)^{2}\right]}$，其中, μ为比例常数, E表示对x(t)的数学期望，即平均功率。

经水下信道的传输到达接收端后，依次进行光电信号转换、模数转换、去循环前缀以及串并转换后得到离散时域信号y。然后，对信号y进行快速傅里叶变换(fast Fourier transform, FFT)，以获得离散频域信号Y=[Y₀, Y₁, …, Y_N-1]。最后经反Hermitian共轭对称、并串转换和QAM解调，还原出原始数据。

PAPR定义为(单位为dB)：

式中，max|x_n|²为信号峰值功率，E[|x_n|²]为信号平均功率。

为了更直观地描述系统PAPR的性能好坏，通常使用互补累计分布函数(complementary cumulative distribution function, CCDF)来表示其PAPR的概率分布情况^[21]。CCDF定义如下：

式中，R₀为预设的PAPR阈值，P为累积分布函数定义。

设α₁, α₂, …, α_j为j个实数或者复数，p_i(x)(i=0, 1, …, j-1)是i次多项式，且满足递推关系式：

式中，β, θ, γ表示可以满足VLM矩阵表达式的任意常量值。θ_i≠0(i=1, 2, …, j-1)，则由p_i(x)构成的j阶方阵p称为VLM^[22]：

在VLM中取切比雪夫多项式为p_i(x)，即：

满足：

根据以上的条件可以得到VLM^[23]，如下式所示：

式中，下标i, j表示矩阵的行列，上标(1)和(2)表示两种不同的矩阵。

图 4为VLM预编码与改进的自适应缩放联合PAPR抑制算法系统模型。图中，IVLM表示逆范德蒙类矩阵(inverse VLM)。

Figure 4.  System model of joint algorithm of VLM precoding and improved adaptive scaling

假设有效子载波个数为N/2-1，通过对原始数据进行QAM调制和串并变换的操作得到离散频域信号：X_m=[X_{m, 1}, X_{m, 2}, …, X_{m, N/2-1}]^T。由(17)式生成一个(N/2-1)×(N/2-1)的VLM预编码方阵p：

将生成的方阵p与离散频域信号相乘，即X_m′= pX_m=[X₁, X₂, …, X_N/2-1]^T，便可得到VLM变换后的信号。

再根据(7)式的方法对X_m′进行Hermitian共轭对称变换得到X=[X₀, X₁, …, X_N-1]^T。对X进行IFFT运算和并串变换输出一个离散时域信号x=[x₀, x₁, …, x_N-1]，同时在x的最前面添加循环前缀。

由于LED的电压线性工作范围十分有限，因此需要对信号x进行自适应缩放，以此满足这个范围^[24]。参考文献[24]中所提出的自适应缩放方法与预编码方法相结合不能很好地抑制PAPR，本文作者在此基础上做出了改进，使其更好地与预编码方法相结合，达到最佳的PAPR抑制效果。假设时域信号的幅值范围为[x_min, x_max]，LED的电压范围为[u_l, u_h]，自适应缩放因子S由下式得到：

则经过缩放后的信号为x_s=Sx，并将其进行数模转换为模拟信号x(t)。

最后在[u_l, u_h]之间选择一个最优的直流偏置x_bias添加到模拟信号x(t)上，得到x_DCO(t)=x(t)+x_bias。其中：

同时为了让发送信号在[u_l, u_h]范围之内，对其进行限幅操作，限幅后得到发送信号x_DCO′(t)，由下式所示：

将待发送的电信号x_DCO′(t)转换为光信号，通过LED发送出去。经由水下信道的传输，到达信号接收端执行发射端的逆操作。

DCO-OFDM水下可见光通信系统的PAPR与离散频域信号X_m的非周期自相关函数ρ(k)有关，它可以表示为：

其与PAPR的关系可以表示为：

从(22)式和(23)式可以看出，具有较低自相关的输入信号产生的PAPR较低。VLM是由正交多项式构成，具有较好的去相关性，经过VLM预编码的输入信号的自相关性会变小，从而可以很好地抑制DCO-OFDM水下可见光通信系统的PAPR。

从缩放因子的比值计算(19)式可以看出，其分母是固定不变的LED上下门限差值，分子是动态可变的离散时域信号峰峰值，其动态幅值范围为[x_min, x_max], (x_min, x_max∈[-1, 1])。输入信号x通过与缩放因子S相乘得到：

因缩放因子的取值范围为0 < S < 1, 信号的幅度值变小。在缩放后的信号上添加直流偏置进行限幅操作，其信号的幅度值都被控制在LED的有限范围内。系统PAPR可表示为：

自适应缩放因子与离散时域信号峰峰值有着密切关系，预编码首先降低了信号自相关性而影响缩放因子的大小，当自适应缩放因子趋近于0时，系统PAPR会达到最低为1。故而改进的自适应缩放因子可以有效地抑制系统PAPR。

通过MATLAB仿真软件对文中所提算法进行验证。仿真参数为10000帧，128个子载波，调制方式为16QAM的DCO-OFDM系统，LED的电压范围为[1, 4]，水下可见光通信信道参数如表 1所示。

图 5中比较了不同条件下的PAPR性能。当F_CCDF=10^-3时，与不使用任何抑制算法的DCO-OFDM水下可见光通信系统相比较，只使用VLM预编码的系统PAPR降低了1dB；只使用改进的自适应缩放的系统PAPR降低了2.2dB；而使用所提VLM预编码和改进的自适应缩放联合PAPR抑制算法效果最好，降低了3.2dB。图中, S表示改进的自适应缩放。

Figure 5.  Comparison of PAPR under different conditions

在DCO-OFDM水下可见光通信系统中，DCT预编码是一种无失真降低系统PAPR的有效方法。图 6中对此进行了仿真对比，在CCDF为10^-3时，VLM预编码比DCT预编码的系统PAPR抑制性能更好，下降了0.5dB，所提VLM预编码和改进的自适应缩放联合算法比DCT预编码和改进的自适应缩放联合算法的系统PAPR下降了0.4dB。

Figure 6.  PAPR comparison between precoding

图 7和图 8中仿真了以上两类情况下的误比特率性能。从图 7中可以看出，仅使用VLM预编码的系统与原始系统的误比特率相同，说明VLM预编码不会对系统误比特率有影响。在误比特率为10^-4时，单独采用改进的自适应缩放的系统相比于原始的系统高10dB。这是由于对自适应缩放后的信号进行了偏置直流的添加和限幅操作，极大地改变了信号幅度范围，从而导致误比特率增大。因此采用VLM预编码与改进的自适应缩放联合算法，在同一信噪比下，误比特率和单独采用改进的自适应缩放相同。由此可知，VLM预编码与改进的自适应缩放联合算法是牺牲了误比特率的性能，改进了PAPR，为了达到同样的误比特率性能，需要增加信噪比。

Figure 7.  Bit error rate under unused conditions

Figure 8.  Comparison of bit error rate between precoding

从图 8中可以看出，采用VLM预编码和DCT预编码的DCO-OFDM水下可见光通信系统的误比特率与原始系统误比特率相同，说明预编码方式是一种不改变系统性能的PAPR抑制方式。而两种预编码方式与改进的自适应缩放联合算法，在误比特率为10^-4时，信噪比比原始系统的高10dB。为了改善误比特率过高，可以增加信噪比。

本文中提出了一种基于VLM预编码与改进的自适应缩放联合PAPR抑制算法。仿真结果表明，在CCDF为10^-3时，相比于原始系统、VLM预编码系统、改进的自适应算法系统、DCT预编码系统、DCT预编码与改进的自适应缩放联合算法系统，基于所提算法系统分别改善了3.2dB, 2dB, 1dB, 2.6dB和0.4dB。所提算法在使用VLM对信号进行预编码后，可以不改变系统的误比特率来降低PAPR，在联合实施改进的自适应缩放算法后，可以进一步降低PAPR, 但牺牲了一定的误比特率性能。

综上可知，VLM与改进的自适应缩放联合算法能够有效抑制DCO-OFDM水下可见光系统PAPR，但是损失的误比特率性能需要提升信噪比才能得以改善。因此，该算法适用于LED线性工作范围有限、放大器功率较小但误比特率性能要求不高的水下可见光通信系统，而如何使得算法在降低系统PAPR的同时也能保证较好的误比特率性能是未来研究的方向。