Focal shift of polychromatic Hermite-Gaussian beams in dispersion lens system

1981年，LI和WOLF在研究光束聚焦特性时发现了焦移现象^[1-2]。光束聚焦特性和焦移现象在近几十年来吸引了很多人的关注^[3-20]。已有的研究结果表明，很多光束在聚焦过程中都存在焦移现象，例如空心高斯光束、部分相干平顶光束、聚焦拉盖尔-高斯光束、部分相干拉盖尔-高斯光束^{[5-6, 11, 15]}。近年来，对这一现象的研究深入到微纳光学领域^{[8, 13]}。例如YU等人在2012年研究了等离子体透镜中的焦移现象^[8]。2015年HE等人研究了基于GaN高对比度光栅的2维透镜中的焦移^[13]。大家熟知菲涅耳数和截断参量是影响焦移的重要参量，近些年很多研究结果表明, 光束的带宽也会影响焦移^{[9-10, 21-22]}，这些结果给光束调控提供了一种新的方法。本文中研究了宽带厄米-高斯光束通过受光阑限制色散透镜系统的聚焦特性和焦移。首先推导了宽带厄米-高斯光束通过受光阑限制色散透镜系统的传输公式，然后以TEM₁₁模和TEM₂₂模为例讨论了带宽对宽带厄米-高斯光束的聚焦特性和焦移的影响，最后对所得结果进行了总结。

考虑宽带厄米-高斯光束通过一个如图 1所示的受光阑限制色散透镜系统。图中，2a是矩形硬边光阑的宽，F是焦点，f是焦距，P是考察面。基于惠更斯-菲涅耳衍射积分，可以得到宽带厄米-高斯光束中每一频率分量通过受光阑限制色散透镜系统的场分布为：

Figure 1.  Schematic illustration of an apertured dispersion lens system

式中, E_mn(x₀, y₀, 0, ω)为初始入射光束，ω是频率，k是波数，m和n是模指数，(x₀，y₀)是初始横截面坐标，(x，y，z)是考察点坐标。ABCD为光束传输矩阵中的矩阵元，且传输矩阵为:

式中, 色散透镜的焦距为f(λ)=(n₀－1)f₀/[n(λ)－1]，其中n₀和f₀是与中心波长λ₀相关的折射率和焦距，n(λ)是与波长λ相关的折射率，λ是波长。考虑图 1中色散透镜的材料为熔石英，折射率n(λ)定义见参考文献[23]。

假设初始入射光束可以表示为E_mn(x₀, y₀, 0, ω)=E_mn(x₀, y₀, 0)f(ω)，其中E₀(x₀, y₀, 0)是入射光束的空间模式:

式中, H_m()和H_n()为厄米多项式，w₀是与基模高斯光束相关的束腰宽度，另有:

f(ω)是光束的频谱分布。考虑f(ω)在z＝0处为高斯分布，即:

式中, γ=Δω/ω₀是相对带宽, ω₀是中心频率, 高斯型频谱对应参量a_G=(2ln2)^1/2。

宽带光束通过受光阑限制的色散透镜后，光场分布由(1)式得到:

式中, t=z/c，c是光速。

为简单起见，只考虑1维情况，2维情况可以类似得到。因此通过对空间部分积分后，得到TEM₁₁模和TEM₂₂模厄米-高斯光束的空间场分布为:

其中,

式中，α=(a/w₀)²和F_w=w₀²/(λf)分别是截断参量和光束相关的菲涅耳数，erf()是误差函数。最后由I_mn(x, z, t)=|E_mn(x, z, t)|²得到宽带厄米-高斯光束通过色散透镜的光强分布。

基于前面推导得到的结果，下面通过数值计算例研究了带宽对TEM₁₁模厄米-高斯光束通过受光阑限制色散透镜系统的聚焦特性和焦移的影响。以下的计算示例中，因为仅考虑极大光强的变化，只讨论了t=z/c的光强分布。图 2是γ分别为0.05, 0.1, 0.15时宽带TEM₁₁模厄米-高斯光束聚焦场的光强分布灰度图。计算参量为f₀=1.6mm, λ₀=800nm, α=4, F_w=196。下面计算示例的计算参量相同。图 2a表明, 带宽较小时, 光强极大几乎就在几何焦点上; 然而当带宽增大时，光强极大会偏离几何焦点，如图 2b所示; 当带宽进一步增大，这一效应更明显，如图 2c所示。图 2的结果表明, 带宽影响宽带TEM₁₁模厄米-高斯光束聚焦场分布和实际焦点位置，光强极大与几何焦点的距离随着带宽的增大而增大。

Figure 2.  Focused fields grayscale images of polychromatic TEM₁₁ mode H-G beams

为清楚看出光强极大的位置变化，图 3中给出了相对焦移Δz=(z-f₀)/f₀随相对带宽的变化。从图中可以看出，在所讨论范围内，两者呈现线性关系，相对带宽越大光强极大位置变化越明显。例如γ=0.2时, |Δz|=0.0029，γ=0.4时, Δz增大为0.0063。焦移由光束的衍射现象引起^[1-2]，宽带光束中不同频率分量衍射程度不一样导致焦移随带宽发生变化。

Figure 3.  The relative focal shift of polychromatic TEM₁₁ mode H-G beams vs. the relative bandwidth

图 4是γ分别为0.05, 0.1, 0.15时宽带TEM₂₂模厄米-高斯光束通过受光阑限制色散透镜的光强分布灰度图。光强极大位置变化类似TEM₂₂模厄米-高斯光束，即带宽增大时光强极大会偏离几何焦点，并且光强极大与几何焦点的距离随着增大。

Figure 4.  Focused field grayscale images of polychromatic TEM₂₂ mode H-G beams

在图 5中给出了宽带TEM₂₂模厄米-高斯光束的相对焦移Δz随相对带宽的变化，为便于比较，图中保留了宽带TEM₁₁模厄米-高斯光束的曲线。图中结果表明，两者相对焦移随相对带宽的变化是一样的。但有趣的是，宽带TEM₂₂模厄米-高斯光束的相对焦移绝对值|Δz|并不是一直大于TEM₁₁模的|Δz|。从计算结果看:γ < 0.25时, 前者大于后者；而γ>0.25后, 后者会稍大于前者。例如，γ=0.15时, TEM₂₂模的|Δz|=0.00237，而TEM₁₁模的|Δz|=0.00196，前者比后者大17.3%;当γ=0.35时，两者分别为0.00549和0.00556，后者反而比前者大1.3%。只不过后者比前者大时两者的差距很小，并随着带宽增大, 差距趋于零。

Figure 5.  The relative focal shift of polychromatic TEM₁₁ mode H-G beams and TEM₂₂ mode H-G beams vs. the relative bandwidth

作者认为:图 5中的这种变化主要是由宽带TEM₂₂模厄米-高斯光束轴上光强变化引起。从图 4c可以看出, 轴上有两个光强极大，即光强主极大和光强次极大，且光强主极大位于图中左边而光强次极大位于右边。然而当γ由图 4c中的0.15增大到图 6中的0.22，光强主极大位于图中右边而光强次极大位于左边，与图 4c相反，即轴上的光强主极大从一个位置跃变到另一个位置。这一变化影响了宽带TEM₂₂模厄米-高斯光束的聚焦光强分布，从而导致了在γ较大时, TEM₁₁模和TEM₂₂模的焦移不一样。

Figure 6.  Focused fields grayscale images of polychromatic TEM₂₂ mode H-G beams when γ=0.22

作者研究了宽带TEM₁₁模和TEM₂₂模厄米-高斯光束通过受光阑限制色散透镜的聚焦特性和焦移。通过数值计算例分析讨论了带宽对光强分布和光强极大位置的影响，结果表明，带宽也是影响焦移的重要因素。TEM₁₁模和TEM₂₂模的焦移量都会随带宽的增大而增大。然而两者焦移量之间的相对大小并不确定，前者既可能大于后者，也可能小于后者。这一现象主要缘于带宽变化会导致TEM₂₂模厄米-高斯光束轴上光强主极大从一个位置跃变到另一个位置。文中的研究结果有助于宽带厄米-高斯光束的应用。