Study on near infrared radiation attenuation based on distribution database of raindrops

近红外辐射(1μm~3μm)介于可见光与中红外辐射之间，在军事方面，主要应用于目标探测、跟踪、识别、导引等领域^[1]；在民用方面，主要应用于食品安全、烟草、医药等领域，通过近红外成像系统可获取夜间目标信息^[2]。降雨是自然界常见的现象，由于雨滴粒子的散射和吸收作用，会造成近红外辐射的衰减，进而对近红外设备的“全天候运用”产生比较大的影响^[3]，目前对近红外辐射在雨中传输特性了解得还很不够，而一些红外工程应用迫切需要这方面的定量数据^[4]。因此，对近红外辐射在雨中衰减的研究具有非常重要的意义^[5]。

雨滴谱分布是指在单位体积内雨滴大小的分布^[6]。当前常用的雨滴谱分布模型有Laws-Parsons，Gamma，Marshall-Palmer，Joss和Weibull分布等。但是研究表明，虽然世界各地都进行了相应的雨滴谱测量，但由于降雨本身的复杂性，不同地理区域具有不同的雨滴谱分布模型，难以用一个雨滴谱模型来准确地表示雨滴的大小分布。原因在于当前的雨滴谱分布本质是一个二元函数的拟合，满足降雨量、雨滴直径和所占百分比的二元函数并不唯一，具有很大的不确定性。因此，本文中提出了一种建立目标区域不同降雨量条件下雨滴谱分布数据库的方法，即在不同降雨量条件下，分别拟合雨滴直径和所占百分比的一元函数模型构成雨滴谱分布数据库。文中选择了LAWS和PARSONS在美国华盛顿地区测量的雨滴谱分布数据，构建了华盛顿地区的雨滴谱分布数据库^[7]，并结合米散射理论和降雨衰减系数公式计算了近红外辐射在雨中的衰减系数^[8]。雨滴谱分布数据库的建立具有更加广泛的适用性且更接近于真实情况，从而对准确计算目标区域近红外辐射在雨中的衰减具有重要意义，为更加有效地定量评估和分析近红外设备在降雨中的运用打下坚实基础。

根据米氏散射理论，消光效率因子Q_e为^[9]：

式中, n为折射率，且n=n₁－n₂i，是粒子的复折射率；$ \alpha = \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{\lambda }$为粒子的尺度参量；r为粒子半径；a_m和b_m为Mie散射系数^[10]，表达式如下：

式中,

式中, ${{\rm{J}}_{m + 1/2}}(\alpha ), {{\rm{H}}_{m + 1/2}}(\alpha ) $分别表示半整阶的贝塞耳函数和第2类汉克函数^[11]。Ψ_m′(α)和Z_m′(α)分别为Ψ_m(α)和Z_m(α)的导数。

1μm, 2μm和3μm波长正常温度下的折射率为1.322+3×10^-6i，1.297+1.101×10^-3i和1.352+2.721×10^-1i。根据消光效率因子的计算公式^[12]，对雨滴直径在0μm~200μm之间，近红外辐射分别为1μm, 2μm和3μm波长的消光效率因子计算如图 1所示。

Figure 1.  Relationship between extinction efficiency factor and raindrops diameter

(1) 近红外辐射波段，1μm波长的辐射在雨滴粒子直径最小的位置(D=2.089μm)，消光效率因子达到最大值3.973，其次是2μm波长的辐射在雨滴粒子直径D=2.089μm时, 消光效率因子取得最大值3.911，最后是3μm波长的辐射在雨滴直径D=5.360μm时，消光效率因子取得最大值4.036。

(2) α=πD/λ为粒子的尺度参量，计算最消光效率因子最大值的位置与近红外辐射波长的比值可得，1μm波长尺度参量α₁=6.5651;2μm波长尺度参量α₂=6.4241;3μm波长尺度参量α₃=5.6135。由此可以看出，尺度参量相对比较接近，通过(2)式也可以解释此现象，即粒子的尺度参量和折射率共同决定散射系数，进而决定雨滴粒子的消光效率因子。尺度参量α₁, α₂, α₃比较接近却并不相同，原因在于近红外波长不同时，折射率也不相同，通过消光效率最大值以及曲线形状的不同也恰恰反映出折射率的影响。

(3) 消光效率因子的曲线出现了一系列的极大值和极小值。极值变化幅度较大，是由于散射光和入射光干涉导致的干涉结构；极值变化较小且具有一定周期性, 是由于粒子“谐振”而导致的^[12]。

(4) 观察发现:3μm波长震荡的局部极大值大于2μm波长的局部极大值，2μm波长震荡的局部极大值大于1μm波长的局部极大值；同时，3μm波长震荡的局部极小值小于2μm波长的局部极小值，2μm波长震荡的局部极小值小于1μm波长的局部极小值^[13]。即3μm波长的消光效率曲线的包络线包含了2μm波长的消光效率曲线的包络线，2μm波长的消光效率曲线的包络线包含了1μm波长的消光效率曲线的包络线。

LAWS和PARSONS在美国华盛顿地区对不同类型降雨的雨滴尺寸分布进行了广泛的测量^[14]，对相同降雨量的雨滴尺寸分布进行了平均，得到了离散性的雨滴尺寸分布的数据表，即不同降雨量的平均雨滴尺寸分布Laws-Parsons分布数据表^[15]。根据Laws-Parsons分布数据表作图，如图 2所示，为不同降雨量条件下的雨滴直径与所占百分比的关系曲线。

Figure 2.  Line diagram of rainfall data

有学者首先对Laws-Parsons分布数据表中的雨滴直径间隔为0.25mm的区间进行了平均，得到雨滴直径的平均值，雨滴直径平均值、所占体积百分比以及降雨量构成3维坐标，然后将所占百分比看成是雨滴直径平均值和降雨量的二元函数进行了拟合，得到了雨滴体积分布的公式^[16]:

式中，D为雨滴直径(mm)，R为降雨量(mm/h)。由(4)式可以看出，其拟合的雨滴谱分布形式非常复杂，实践经验证明，这个雨滴谱模型在不同地理区域内并没有非常好的适用性。因此本文中提出了建立雨滴谱分布数据库的新方法，即根据雨滴谱分布数据，考虑降雨量固定情况下，雨滴直径平均值和所占体积百分比构成的一元函数关系式。利用MATLAB软件绘制降雨量R分别为0.25mm/h, 1.25mm/h, 2.5mm/h, 12.5mm/h, 25mm/h和50mm/h折线图，如图 2所示。

由观察发现，不同降雨量条件下雨滴谱分布具有正态分布的3个特点:(1)集中性。曲线的高峰位于正中央；(2)对称性。曲线左右对称，曲线两端永远不与横轴相交；(3)均匀变动性。曲线左右两侧逐渐均匀下降。因此文中选择正态分布模型拟合雨滴谱分布。雨滴谱分布的拟合，首先将不同降雨量条件下，雨滴直径和所占百分比数据导入工作区MATLAB的workspace作为变量(x，y)，接着在曲线拟合工具箱中分别选择自变量x和因变量y，然后在拟合函数类型中选择Gaussian分布即正态高斯分布，得到降雨量分别为0.25mm/h, 1.25mm/h, 2.5mm/h, 12.5mm/h, 25mm/h和50mm/h时的拟合雨滴谱分布图形，如图 3所示。

Figure 3.  Line diagram of rainfall data after fitting

得到的雨滴谱分布函数N(D)(单位为m^-3·mm^-1)的公式见下:

通过拟合的雨滴谱分布函数N(D)可以发现，降雨量R越大，雨滴直径D的平均值越大，雨滴直径D的方差也越大，图形上表现为:雨滴谱分布曲线向右侧移动，并且曲线形状更加扁平。

近红外辐射在雨中进行传播的过程中，并不是只和单个雨滴发生作用，而是与多个雨滴或者雨滴群发生作用。因此在求解计算时，必须得到单位体积内雨滴粒子群对近红外辐射的衰减系数β(dB/km)，β反映了近红外辐射在降雨中传输时衰减大小，计算公式如下式所示:

式中, N(D)是雨滴谱分布，σ_e是雨滴的消光截面。根据图 1中消光效率因子与雨滴直径的关系，由于雨滴粒子相对于近红外波段较大^[17]，尺度参量很大，因而消光效率因子近似为2^[18]。

将研究者DAVID拟合的雨滴谱分布公式(4)式和雨滴谱分布数据库中的分布公式(5)式~(10)式代入(11)式，即可以计算出降雨量分别为0.25mm/h，1.25mm/h，2.5mm/h，12.5mm/h，25mm/h和50mm/h时，近红外辐射在雨中的衰减系数如图 4所示。

Figure 4.  Relationship between attenuation coefficient and rainfall

观察图 4中DAVID和本文中拟合的雨滴谱分布数据库计算得到的衰减系数可以发现，本文中计算的衰减系数略大于DAVID模型计算的衰减系数，曲线递增趋势相同，随着降雨量的增加，在降雨量相对较小时，随着降雨量的增加，衰减系数会以一个较大的斜率迅速增加；而当降雨量增大到一定强度时，随着降雨量的继续增加，衰减系数仍然会继续增加，但斜率相对较小，曲线近似为指数模型。从衰减系数的数值上来看，随着降雨量的增加，近红外辐射在雨中的衰减也随之增大^[19]，具体体现降雨量为50mm/h时的衰减是降雨量约为0.25mm/h衰减系数的6.8倍，衰减更为明显。

在实际应用过程中，衰减系数与降雨强度的函数关系在工程中具有非常重要的应用。因而基于图 4中降雨量和利用本文中拟合出雨滴谱分布模型计算的衰减系数，分别采用了拟合曲线1和拟合曲线2两种曲线模型进行拟合，并进行了方差分析。拟合曲线1和曲线2的表达式分别见下：

式中，t₁，t₂, A₁, A₂和y₀是拟合曲线的参量。

原曲线、(12)式拟合曲线和(13)式拟合曲线如图 5所示。可以看出, 两种曲线的拟合效果均比较好，进一步进行方差分析可知，拟合曲线1的方差和相关系数为123.2和0.9840, 拟合曲线2的方差和相关系数为2.869和0.9996，拟合曲线2的相关系数大于拟合曲线1的相关系数，拟合曲线2的方差小于拟合曲线1的方差，因此拟合曲线2的效果较好。

Figure 5.  Relationship between attenuation coefficient and rainfall after fitting

计算得到，衰减系数和降雨强度的函数关系式采用拟合曲线2的结果，其中A₁=-251.8，t₁=48.92，y₀=353.6, A₂=-70.85，t₂=2.848。由此，衰减系数β和降雨量R拟合的函数关系见下:

(1) 基于米散射理论计算得到了1μm, 2μm和3μm波长近红外辐射的消光效率因子与雨滴直径的关系曲线，分析了粒子尺度参量和折射率对消光效率因子的影响，找到了消光效率因子曲线的极大值和极小值的位置，总结了消光效率因子曲线局部极大值和极小值的规律，得到了3μm波长的消光效率曲线的包络线包含2μm波长的消光效率曲线的包络线、2μm波长的消光效率曲线的包络线包含1μm波长的消光效率曲线的包络线的结论。

(2) 由不同降雨量条件下的雨滴谱分布数据分析发现，正态分布拟合效果很好，数据拟合得到了不同降雨量条件下的雨滴谱分布，建立了华盛顿地区的雨滴谱分布数据库，可知随着降雨量的增加，雨滴谱分布整体向右移动，曲线变得更加扁平，即雨滴直径随之增大，同时方差也随之增大。

(3) 基于DAVID拟合的雨滴谱分布公式和雨滴谱分布数据库拟合的分布公式，利用衰减系数公式计算了近红外辐射在降雨量分别为0.25mm/h, 1.25mm/h, 2.5mm/h, 12.5mm/h, 25mm/h和50mm/h时的衰减系数，比较发现，随着降雨量的不断增加，近红外辐射在雨中的衰减系数也随之增大。本文中计算的衰减系数略大于DAVID模型计算的衰减系数，曲线递增趋势相同，曲线近似为指数模型。与DAVID拟合的雨滴谱分布模型相比，雨滴谱数据库具有更加广泛的适用性。降雨量一定的情况下，雨滴直径与其所占百分比的曲线更接近于正态分布，这个规律具有很强的适用性，符合自然规律的特点，降低了雨滴谱分布二元函数拟合带来的拟合模型以及地理区域等因素而带来的不确定性。

(4) 基于图 4中的数据，分别采用了两种拟合曲线模型对衰减系数和降雨强度的关系式进行了拟合，并进行方差分析，根据方差和相关系数的计算结果确定拟合曲线2模型优于拟合曲线1模型，并计算出拟合曲线2中各个参量的数值，最终得到衰减系数和降雨强度拟合的函数关系式。