Comparative study on lens focal length measured with planar and spherical reference wave

透镜是组成光学系统的主要元件。全息术^[1-6]中, 物体到电荷耦合器件(charge-coupled device, CCD)^[7-8]的距离在重构再现像中是一个重要参量。对于投影尺寸远大于CCD面阵尺寸的物体，为较好接收物光场信息，选择合适的光学系统对物光场进行变换是常采用的手段。这时，光学系统中所使用透镜的焦距值准确与否将直接影响到重构图像的质量好坏。因此, 知道一个透镜或者透镜组的焦距值是很有必要的。

在精度要求不高的情况下，人们常采用自准直法^[9]、物距像距法、共轭法等方法来测量透镜焦距，这些测量方法虽然实验过程比较简单，但是精度和准确性不高。随着激光技术和微电子技术^[10]的发展，借助CCD, 通过数字全息术，利用干涉的方法，可以更加精确地测量透镜焦距值。已有一些学者利用此方法得到了比较理想的结果，现主要研究参考光波面形状对测量结果的影响。

作者根据理论推导，利用数字全息方法来测量透镜焦距。对于同一个透镜，当参考光采用平面波和球面波与物光进行干涉时，用CCD记录其干涉条纹，对比两种情况下所计算出的焦距值，并与标称值和理论计算值相比较，最后通过数字全息重建图像对测量结果进行验证。

实验中选取单个透镜为研究对象，通过干涉方法来测量透镜焦距值，原理如图 1所示。

Figure 1.  Principle diagram of interferometry

通过透镜的物光波与参考光波经过分束镜在CCD面上发生干涉，并记录下干涉条纹。先测量出待测透镜到CCD的距离d₀，再通过分析干涉条纹，计算出该位置的球面波波面半径d，最后根据公式f=d₀－d即可求出待测透镜的焦距值。

下面分别讨论参考光为平面波及球面波时两种情况。

参考光为平面波的光路图如图 2所示。

Figure 2.  Path diagram of plane reference wave

激光通过分束镜后形成两束光:一束光通过待测透镜后形成球面波，将其视为物光；另一束通过傅里叶透镜的光波调节成平面波，将其视为参考光。该球面物光波与平面参考光波在分束镜相遇，在CCD面发生干涉，通过对干涉条纹进行分析，测量出CCD前球面波波面半径d，然后根据f=d₀－d即可求出透镜焦距值。以下给出参考光为平面波时的理论分析。

令${u_{\rm{o}}}(x, y) = {Q_{\rm{o}}}\exp [\frac{{{\rm{j}}k}}{{2d}}({x^2} + {y^2}) + {\rm{j}}{\varphi _{\rm{o}}}]$为从待测透镜出射到CCD平面的球面物光波, k为波数，λ为波长，Q_o为振幅，φ_o为相位角。两者干涉场为:

式中，A是到达CCD平面的平面参考光波。

干涉场强度为：

换算到极坐标下，即x²+y²=r²，光强为：

可知当满足下面干涉条件时，出现干涉亮纹:

令m=k，k+1(k=0, 1, 2, …)，对于两相邻级，由上式可得:

式中, r_k+1和r_k分别为相邻的第k+1级和第k级圆环的半径，如要测量半径，必须知道环心的位置，实验中这一位置不易确定，故测量半径误差较大。对(6)式进行整理，将半径化为直径，令D_k+1=2r_k+1及D_k=2r_k，则：

式中，d是到达CCD接收面的球面波的波面半径，可以利用CCD测量的全息图上相邻两干涉环的直径来确定d。为了更加精确，可多次测量求平均值，然后根据公式f=d₀－d计算出透镜焦距值。

参考光为球面波的光路图, 与参考光为平面波相比，只需将参考光处的傅里叶透镜撤除，所得到的参考光即为球面波。这部分内容参考文献[11]中已经推导过，现为了对比方便，引用出参考文献中主要的4个公式。以下给出参考光为球面波时的理论分析。

令${u_{\rm{o}}}(x, y) = {Q_{\rm{o}}}\exp [\frac{{{\rm{j}}k}}{{2d}}({x^2} + {y^2}) + {\rm{j}}{\varphi _{\rm{o}}}]$为从待测透镜出射到CCD平面的球面物光波，令${u_{{\rm{re}}}}(x, y) = {Q_{{\rm{re}}}}\exp [\frac{{{\rm{j}}k}}{{2{d_{{\rm{re}}}}}}({x^2} + {y^2}) + {\rm{j}}{\varphi _{{\rm{re}}}}]$为到达CCD平面的球面参考光波。两者干涉场为:

换算到极坐标下，即x²+y²=r²，干涉强度可表示如下：

同理得到：

同样，令D_k+1=2r_k+1及D_k=2r_k，得到下式：

式中，d为通过待测透镜的球面波波面半径，d_re是参考球面波的波面半径，可直接测得。通过CCD读出相邻两干涉环的直径后带入公式即可求出d。同样多次测量求平均值，然后根据公式f=d₀－d计算出透镜焦距值。

实验中，待测透镜的焦距是一个标称值为－100mm的凹透镜(对应于587.6nm的黄光)。为了更具有说服力，实验中分别采用了比黄光波长长的632.8nm的红光和比黄光波长短的532nm的绿光，在透镜后d₀=352.5mm的位置记录干涉条纹，如图 3所示。

Figure 3.  Interference pattern of phane reference wave

根据上面推导的公式$d = \frac{{{D_{k + 1}}^2 - {D_k}^2}}{{8\lambda }}$，通过读取干涉图样相邻两条纹间距，代入公式计算后求得到达CCD平面的两种色光的波面半径分别为：红光d_r=476.3mm，绿光d_g=466.6mm。根据f=d₀－d和d₀=352.5mm计算得到：红光f_r=d₀－d_r=352.5-467.3=-114.8mm; 绿光f_g=d₀－d_g=352.5-466.6=-114.1mm。

从实验光路图中可以看到，光束在到达CCD平面进行干涉前经过了一个分束镜，由于分束镜的折射率与空气的折射率存在差异，这会对检测到的球面波波面半径造成影响，为了得到更精确的测量结果，必须对波面半径进行修正。

根据光学理论可知，两点之间距离不变时，若插入一个折射率为n且厚度为t的透明介质，则光程的变化量为δ=t(1－1/n)。然而对于同一介质，不同波长的光对应不同的折射率，所以需要计算不同波长的光对应的折射率。

本实验中使用的分束镜型号为DCL1010407(K9L)，材质为H-K9L(517642)，厚度t=25.4mm，其在587.6nm波长下的折射率n=1.51680。根据插值公式n²=a₀+a₁λ²+a₂λ^－2[12-13]，以及生产厂家提供的几种波长及其对应的折射率，就可计算出3个系数，分别是: a₀=2.261，a₁=1.459×10^－2μm²，a₂=－2.944×10^－4μm⁴。对于波长为632.8nm的红光和532nm的绿光，根据上式得到其对应的折射率：红光n_r=1.51509;绿光n_g=1.51947。

由光程变化量公式δ=t(1－1/n), 计算得到δ_r=8.64mm，δ_g=8.68mm。然后对上面焦距的测量值进行修正，根据修正值公式f′=d₀－(d－δ)得到：红光f_r′=－106.2mm; 绿光f_g′=－105.4mm。

实验过程与平面波相同，d₀=385.0mm。根据推导公式$d = \frac{{({D_{k + 1}}^2 - {D_k}^2){d_{{\rm{re}}}}}}{{{D_{k + 1}}^2 - {D_k}^2 + 8\lambda {d_{{\rm{re}}}}}}$，得到两种色光的波面半径分别为：红光d_r=495.2mm，绿光d_g=493.6mm。根据f=d₀－d，d₀=385.0mm，得到：红光f_r=d₀－d_r=385.0-495.2=-110.2mm; 绿光f_g=d₀－d_g=385.0-493.6=-108.6mm。

由δ=t(1－1/n)和f′=d₀－(d－δ)得到修正值：红光f_r′=－101.6mm; 绿光f_g′=－99.9mm。

根据相关文献可知，透镜的焦距与入射波长相关^[14]，在不同波长下透镜的焦距值与其对应折射率的关系式为：

根据该式可知，如果知道透镜与某一光波长对应的焦距值和折射率，以及任一光波对应的折射率，就可求出相应的焦距值。下标i=r, g，分别表示红光或绿光。

实验中透镜焦距标称值f₀=－100mm, 在587.6nm波长下，对应折射率为n₀=1.51680，利用该式就可以计算出实验中两种色光对应的焦距值。已知透镜材质为K9L系列玻璃，利用前面的计算结果，可知其对应两种光波长的折射率分别为：n_r=1.51509，n_g=1.51947。计算得到与之对应的焦距值分别为：红光${f_{\rm{r}}} = {f_0}\frac{{{n_0} - 1}}{{{n_{\rm{r}}} - 1}} = - 100 \times \frac{{1.51680 - 1}}{{1.51509 - 1}} = - 100.3{\rm{mm}}$; 绿光${f_{\rm{g}}} = {f_0}\frac{{{n_0} - 1}}{{{n_{\rm{g}}} - 1}} = - 100 \times \frac{{1.51680 - 1}}{{1.51947 - 1}} = - 99.5{\rm{mm}}$。

由表 1可知，平面波作为参考光时，测量值与标称值及理论计算值间的相对误差均在5%以上；而球面波作为参考光时，测量值与标称值及理论计算值间的相对误差均在2%以下。因此得出结论，使用球面波作为参考光测量的焦距值要优于用平面波作为参考光的实验结果。可知当平面波作为参考光时，难以确保其为绝对的平面波，由此利用干涉条纹进行的计算时就会引入误差。

利用全息的方法对一个大小为105mm×75mm的泥塑彩绘猴王头像进行拍摄。在激光照射下，散射光通过凹透镜和分束镜到达CCD形成物光，其与到达CCD的参考光进行干涉。实验中分别用λ=632.8nm的红光和λ=532nm的绿光进行实验。

相关的实验参量如下：透镜焦距为-100mm(标称值)，物体到凹透镜的距离为220mm(即物距s=220mm)，凹透镜到CCD的距离为531mm(即d₁+d₂+d₃=531mm)，CCD面阵有效像素1024×1024，物理宽度L=4.76mm。其记录光路如图 4所示，拍摄到的全息图如图 5所示。

Figure 4.  The simplified light path of digital hologram recording

Figure 5.  Hologram captured in experiments

利用所拍摄到的全息图，在对应的波长下，分别将透镜的标称值、理论计算值、平面参考光波测量值和球面参考光波测量值带入到利用单次快速傅里叶(single fast Fourier transformation, S-FFT)算法再现的程序中，取其+1级像，观察4幅图的异同。

由图 6可见，仅从肉眼观察，带入不同焦距值的重建像没有明显区别，这说明采用平面参考光波和球面参考光波所测量的焦距值都是近似准确的。

Figure 6.  The reconstructed images with different lens focal lengths

考查参考光为平面波和球面波所测量焦距的误差是否在重建像的焦深范围内，便能对这两种方法所测量的焦距值是否准确给出进一步证明。已有一些学者给出数字全息S-FFT算法重建图像的焦深表达式δ_FFT=1.5 λz₀²/L^2[15](其中λ为激光波长，z₀为全息记录距离，L为CCD的宽度)。

根据高斯公式1/s+1/s′=1/f，带入物距s和透镜焦距f(即标称值、理论计算值、平面波测量值和球面波测量值, 其中, 将标称值设为f₀, 其它值设为f₀′)算出像距s′，由于光路中有分束镜(厚度为25.4mm，不同波长的折射率分别为黄光n_y=1.51680，红光n_r= 1.51509，绿光n_g=1.51947)，因此还要加上由于透镜所增加的光程Δl，再根据公式z₀=s′+d₁+d₂+d₃+Δl, 算出全息记录距离z₀，然后进行对比分析(单位为mm)^[16-18]。

由表 2可以看出，无论是通过平面参考光波还是球面参考光波所测得的焦距值都在焦深范围内，所以基于上述焦距值都能得到较清晰再现像，从而得到图 6中每一波长下没有明显差异的4幅重建像。这说明利用平面参考光波或球面参考光波测量出来的焦距值在要求不高的情况下，均可认为是近似准确的。

为了更精确地对比4幅图像的区别，在其重建像的的+1级选取相同位置的100个像素点对比其光强度曲线，见图 7和图 8。

Figure 7.  Light intensity curve of 100pixel as the same location when λ=632.8nm

Figure 8.  Light intensity curve of 100pixel as the same location when λ=532nm

图 7和图 8中，实线为带入标称值的强度曲线；点线为带入理论计算值的强度曲线；点划线为带入平面参考光波测量值的强度曲线；虚线为带入球面参考光波测量值的强度曲线。由图可见，4条曲线基本吻合，但存在微小差异。还可以看到，球面参考光波所测量焦距值更加接近标称值和理论计算值的再现强度曲线，而平面参考光波测量焦距值的再现像强度曲线(图中点划线)却在其它强度曲线周围上下微小波动。这说明用球面参考光波的所测量的焦距值要优于平面光波所测量的结果。

基于数字全息的方法，使用参考光为平面波和球面波来测量透镜焦距值，通过实验研究发现，使用平面参考光波和球面参考光波所测量的焦距值都是近似准确的。但是对比数据和图表可知，平面波作为参考光时，测量值与标称值及理论计算值间的相对误差均在5%以上；而球面波作为参考光时，测量值与标称值及理论计算值间的相对误差均在2%以下，这说明使用球面波作为参考光的实验结果略优于用平面波作为参考光的实验结果。通过研究焦深发现，使用平面参考光波和球面参考光波所测量的焦距误差都在其焦深范围内，因此，利用测量焦距值重构全息图所获得的再现像与用标称值及理论计算值所得到的再现像质量相当。期望这一研究能够对测量透镜焦距值和数字全息图重建方面给与有意义的参考。