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熔石英由于其硬度高、膨胀系数低、耐高温、化学稳定性好、透紫外光和红外光，以及有良好的热学、光学和机械性能，被广泛用于激光装置和光学仪器中。熔石英在激光的辐照下出现温度升高、熔融、汽化等现象，使得材料发生损伤和破坏。这一过程中材料内部的温度、应力、形变等不便测量，采用建模仿真可以对其进行有效的研究。
激光辐照固体材料温度和应力分布的理论计算和仿真，国内外已有不少研究结果。参考文献[1]中对比了CO2激光辐照熔石英和BK7玻璃的温度场。LI研究了高重复频率脉冲对温度累积效应的影响[2]。LI等人对单个脉冲作用下熔融石英的温度和热应力进行了数值计算[3]。YU等人对激光辐照熔石英的过程进行动态模拟，分析了温度场、应力场的变化及残余应力分布[4]。LI等人对激光辐照CCD探测器热效应进行了有限元仿真[5]。CAI等人对增透石英的热应力进行了数值模拟[6]。JIAO等人研究了CO2激光作用下运动石英玻璃的温度分布[7]。JIANG等人利用数值方法对波段外脉冲激光对锗材料热冲击效应进行了研究[8]。SU等人对激光作用下的窗口材料热应力进行了分析[9]。
基于COMSOL平台，本文中考虑了熔石英在不同温度下热参量和力学参量的变化因素，分别对TEM00, TEM01, TEM10这3种模式拉盖尔-高斯光束辐照下的熔石英进行仿真。考虑到激光能量在熔石英中的热积累效应，仿真采用两个连续的激光脉冲对熔石英进行辐照，得到温度和应力分布。仿真结果对于激光加工熔石英过程中的温度控制、应力控制、激光模式的选择提供了有益的参考。
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激光脉冲照射熔石英时，考虑到激光脉冲作用时间短，忽略石英辐射与周围空气的传导与对流因素，建立傅里叶热传导方程为[10]：
$ \rho c\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + \nabla \cdot \left( { - \kappa \nabla T} \right) = Q $
(1) 式中，▽·(－κ▽T)为热传导项，Q为热源，t为时间，ρ为密度，c为比热容，κ为导热系数，T为温度。
考虑激光加热迅速，忽略对流和辐射项在绝热条件下，边界条件为：
$ - \mathit{\boldsymbol{n}}\cdot( - \kappa \nabla T) = 0 $
(2) 式中，n为单位矢量。
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热应力和应变求解涉及多个变量和方程。应变ε可以由形变的梯度▽u表示：
$ \mathit{\boldsymbol{\varepsilon }} = \frac{1}{2}(\nabla \mathit{\boldsymbol{u}} + \nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^{\rm{T}}}) $
(3) 由广义胡克定律可以得到应力s、应变ε和温度T之间的关系[11]：
$ \mathit{\boldsymbol{s}} = {\mathit{\boldsymbol{s}}_0} + \mathit{\boldsymbol{C}}{\rm{:}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }} - {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_0} - {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_{{\rm{th}}}}} \right) $
(4) 式中，s0和ε0为初始应力与初始应变, 热应变量εth= α(T－Tref)，α为材料的膨胀系数，“: ”为张量的双点积(双点乘)，C为4阶弹性张量，可表示为6×6的矩阵形式。
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由于熔石英是非晶体，其物理特性各向同性。随着熔石英温度变化，其物理参量会发生变化。表 1中为熔石英各个温度下的参量值[4]。
Table 1. Physical parameters of fused silica
temperature/℃ 20 250 500 750 1000 1500 1700 2000 2500 thermal conductivity/(W·m-1·K-1) 1.30 1.56 1.84 2.13 2.40 2.26 2.28 — 2.38 specific heat capacity/(J·kg-1·K-1) 740 987 1121 1178 1121 1246 1273 — 1273 density/(kg·m-3) 2200 2200 2200 2200 2200 2200 2200 2200 2200 expansion coefficient/10-7K-1 2.76 7.95 5.75 4.68 4.17 5.10 6.00 11.45 11.45 Young modulus/GPa 71.44 70.76 70.30 70.43 71.05 73.79 75.45 85.28 — Poisson ratio 0.158 0.153 0.150 0.148 0.150 0.160 0.166 0.210 — 采用分段线性函数对以上物理参量进行拟合，20℃以下的参量以20℃的参量代替，2500℃以上的参量以2500℃的参量代替，便于仿真计算。
假设不随温度变化的石英材料参量有：吸收系数β=10cm-1，密度ρ=2.2g/cm3，反射系数R=0.035。
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考虑到纳秒激光为长脉宽激光，激光在通过一定厚度的熔石英介质后，由于介质吸收了一部分光能量后，透射光的强度就要减弱；熔石英对激光的吸收遵从朗伯比尔定律(Beer-Lambert law)。以熔石英所吸收的能量作为激光加热热源，表示为[12]：
$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;Q\left( {x, y, z, t} \right) = \\ \left( {1 - R} \right)\beta P\left( t \right)I\left( {x, y, z} \right){\rm{exp}}( - \beta z) \end{array} $
(5) 式中，β为材料吸收系数，R为材料反射系数，P(t)为激光功率时间分布，I(x, y, z)为激光强度空间分布。
高斯激光脉冲的功率形式为：
$ \begin{array}{l} P\left( t \right) = {P_{{\rm{max}}}}{\rm{exp}}\left[ {( - 4{\rm{ln}}2){{\left( {\frac{t}{{{t_{\rm{p}}}}}} \right)}^2}} \right] = \\ \;\;\left( {\frac{{{E_{\rm{p}}}}}{{1.064{t_{\rm{p}}}}}} \right)\;{\rm{exp}}\left[ {( - 4{\rm{ln}}2){{\left( {\frac{t}{{{t_{\rm{p}}}}}} \right)}^2}} \right] \end{array} $
(6) 式中, Pmax为脉冲峰值功率，Ep为单个脉冲能量，tp为脉冲宽度半峰全宽(full wave at half maximum, FWHM)。
柱面坐标系下广义拉盖尔-高斯光束光强分布[13]为:
$ \begin{array}{l} I\left( {r, \varphi , z} \right) = \frac{2}{{\pi {w^2}\left( z \right)}}{\left[ {\sqrt 2 \frac{r}{{w\left( z \right)}}} \right]^{2l}} \cdot {L_{\rm{p}}}^l{\left[ {\frac{{2{r^2}}}{{{w^2}\left( z \right)}}} \right]^2} \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{exp}}{\left[ {\frac{{2{r^2}}}{{{w^2}\left( z \right)}}} \right]^2} \cdot \left\{ \begin{array}{l} {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(l\varphi )\\ {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}(l\varphi ) \end{array} \right. \end{array} $
(7) 式中，w(z)为光束半径，$ w\left( z \right) = {w_0}{\left( {1 + \frac{{{z^2}}}{{{z_{\rm{R}}}^2}}} \right)^{0.5}}, {z_{\rm{R}}} = \frac{{n{\rm{ \mathsf{ π} }}{w_0}^2}}{\lambda }$为瑞利长度，n为介质折射率，λ为激光波长，w0为焦斑半径，Lpl为拉盖尔多项式，其不同阶数的表达式为：
$ {L_n}^m\left( \xi \right) = \sum\limits_{k = 0}^m {\frac{{\left( {n + m} \right)!{{\left( { - \xi } \right)}^k}}}{{\left( {m + k} \right)!k!\left( {n - k} \right)!}}} $
(8) 式中，l和p分别代表角向模数和径向模数，表示既可以取cos2(lφ)，也可以取sin2(lφ)，φ代表柱面坐标系下的角度。
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利用激光对熔石英材料进行微加工，这一方面已经有人进行理论和实验的研究[14-17]。针对这一应用本文中构建激光辐照系统模型并进行仿真计算。如图 1a所示，光束照射在圆柱体熔石英上表面, 聚焦于中心位置。参照声光调Q的Nd: YAG激光器的参量，激光波长λ=1064nm；脉冲能量Ep=1.7mJ；脉冲宽度(FWHM) tp=140ns，光束通过聚焦透镜后，焦斑半径w0≈20μm；熔石英样品几何外形为圆柱体，直径400μm、长度2000μm，样品横向尺寸远大于光斑半径，样品厚度超过激光聚焦深度(瑞利长度)。仿真过程为两个时间上连续的激光脉冲对熔石英的辐照过程，功率分布如图 1b所示。单位功率下, TEM00, TEM01, TEM10模拉盖尔-高斯激光在t=0时刻、z=0平面上的强度分布如图 2所示。
Figure 1. a—laser irradiation system b—power of laser pulses
Figure 2. Spatial intensity distribution of Laguerre-Gaussian beam
采用COMSOL软件中的固体传热模块和固体力学模块，通过温度耦合的方式进行多物理场的仿真，得到温度和热应力分布结果[6-7]。融石英外表面采用绝热处理；熔石英的初始温度和外界环境温度均为20℃；位移场和速度场初始值均为0；采用温变物理参量的熔石英进行仿真；网格剖分采用自由剖分四面体结构，利用COMSOL软件的瞬态自适应网格细化的功能，以兼顾仿真结果的精细度和计算数据量。
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图 3为不同模式的拉盖尔-高斯激光辐照下熔石英在经过两个激光脉冲后，t=1.428μs时刻的温度分布。由图可得，温度分布与激光光强空间分布基本一致，且温度分布随石英内部的深度逐渐降低。
Figure 3. Temperature distribution of fused silica by different laser beams
经过两个激光脉冲后，在t=1.428μs时刻，沿径向线段(0μm, 0μm, 65.2μm), (60μm, 0μm, 62.5μm)上各点的温度分布如图 4a所示。由图可知，曲线与光强分布十分近似，在距中心60μm处温度已经接近环境温度20℃，这也说明忽略熔石英和外界热交换这一假设是合理的。
Figure 4. Spatial and temporal distribution of fused silica temperature
分别取采样点P1(0μm, 0μm, 62.5μm)和P2(0μm, 10μm, 62.5μm)，针对在激光脉冲作用过程中的温度变化进行仿真计算，并采用TEM00, TEM01, TEM10这3种不同模式激光得到结果，如图 4b所示。TEM00, P1, TEM01, P1, TEM10, P1分别代表P1点在3种不同模式激光的作用下温度变化曲线；TEM00, P2, TEM01, P2, TEM10, P2分别代表P2点在3种不同模式激光的作用下温度变化曲线。图 4表明，P1和P2点温度变化曲线与激光脉冲时间分布曲线的积分曲线类似，在激光脉冲前半个周期温度上升明显，后半个周期温度变化缓慢；同时由于热量没有能够及时向周围传递，产生了热量的累积，第2个激光脉冲到来使石英温度持续上升。如果温度达到材料融化或汽化温度，将导致材料的熔融汽化破坏。P1和P2点温度曲线形式类似，区别在于幅度的差异，这是由于光强空间分布的不同造成的。
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图 5为经过两个激光脉冲后，t=1.428μs时刻, TEM00, TEM01, TEM10模拉盖尔-高斯激光作用下熔石英的热应力分布图，正值代表热应力为压应力，负值代表热应力为拉应力。
Figure 5. Thermal stress distribution of fused silica by different laser beams
图 6为经过两个激光脉冲后，t=1.428μs时刻，沿径向线段(0μm, 0μm, 65.2μm), (60μm, 0μm, 62.5μm)的焦点区域上各点的热应力分布图。TEM00模式激光作用下，在中心区域20μm内，热应力为压应力，且随距离的增大而快速减小；在20μm以外的区域，热应力为拉应力，拉应力先增大然后减小，最大的拉应力约7MPa, 出现在30μm位置附近。TEM01模式激光作用下，在中心区域8μm内，热应力为压应力，且随距离的增大而快速减小；在8μm~22μm区域，热应力表现为拉应力，拉应力先增大然后减小，最大的拉应力约14MPa, 出现在12μm位置附近；在22μm~32μm区域，热应力表现为压应力，压应力先增大然后减小；在32μm以外区域, 热应力再次表现为拉应力，同样有一次先增大然后减小的过程。TEM10模式激光作用下，在中心区域5μm内，热应力为拉应力，最大值出现在0μm位置，达到16MPa，且随距离的增大而快速减小，在5μm~28μm区域表现为压应力，压应力先增大后减小，在28μm以外区域, 热应力再次表现为拉应力，同样有一次先增大然后减小的过程。
Figure 6. Thermal stress distribution
熔石英抗压强度1100MPa，抗拉强度48MPa，如果热应力超过材料的抗拉强度，将导致材料的断裂破坏。脉冲作用熔石英时，随着脉冲不断作用增加温度将不断上升，将导致材料熔融和汽化，对材料造成热损伤。虽然在温度较低的区域，不足以熔融汽化材料，但是如果产生的热应力超过材料的抗拉强度，材料也将发生断裂破坏。
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利用多物理场仿真工具COMSOL对不同模式的拉盖尔-高斯光束与熔石英的作用过程进行仿真。仿真结果表明：不同模式拉盖尔-高斯光束辐照熔石英，对材料可能造成破坏的区域不同；一方面对材料的破坏来自于温度，温度达到材料融化或汽化温度，将导致材料的熔融汽化破坏；另一方面来源于热应力，材料温升不均匀，巨大的温度梯度导致热应力的产生，产生的热应力达到材料的力学破坏阈值，发生热应力损伤，将会产生裂纹等损伤形貌。
拉盖尔-高斯光束作用下熔石英温度及应力研究
Research of temperature and thermal stress of fused silica irradiated by Laguerre-Gaussian beam
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摘要: 为了研究拉盖尔-高斯光束与熔石英相互作用，采用仿真计算的方法对TEM00，TEM01和TEM10 3种模式拉盖尔-高斯光束辐照下的熔石英的温度和热应力进行研究，取得了仿真数据。结果表明，激光光强的空间分布影响材料的温度分布和应力分布；温度的积累效应明显，经过连续激光脉冲作用后材料温度持续升高，焦点区域超过1900℃；温度梯度导致热应力产生，局部热应力接近50MPa。该仿真结果为熔石英的加工提供了有益的参考。Abstract: In order to study the interaction of Laguerre-Gaussian beam and fused quartz, the method of simulation calculation was adopted to study the temperature and thermal stress of the fused quartz irradiated by 3 modes of Laguerre-Gaussian beam (TEM00, TEM01, TEM10). The simulation data were obtained. The results show that spatial distribution of laser intensity affects temperature distribution and stress distribution of the materials. The accumulation effect of temperature is obvious. After continuous laser pulse action, the material temperature continues to rise. The focus area is over 1900℃. The temperature gradient leads to thermal stress. The local thermal stress is close to 50MPa. The simulation results provide the useful reference for the processing of fused silica.
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Key words:
- laser technique /
- temperature /
- simulation /
- fused silica /
- Laguerre-Gaussian beam /
- thermal stress
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Figure 2. Spatial intensity distribution of Laguerre-Gaussian beam
a—TEM00 b—TEM01 c—TEM10
Figure 3. Temperature distribution of fused silica by different laser beams
a—TEM00, z=0μm b—TEM00, y=0μm c—TEM01, z=0μm d—TEM01, y=0μm e—TEM10, z=0μm f—TEM10, y=0μm
Figure 4. Spatial and temporal distribution of fused silica temperature
a—spatial distribution at t=1.428μs b—temporal distribution at sampling points
Figure 5. Thermal stress distribution of fused silica by different laser beams
a—TEM00, z=0μm b—TEM00, y=0μm c—TEM01, z=0μm d—TEM01, y=0μm e—TEM10, z=0μm f—TEM10, y=0μm
Table 1. Physical parameters of fused silica
temperature/℃ 20 250 500 750 1000 1500 1700 2000 2500 thermal conductivity/(W·m-1·K-1) 1.30 1.56 1.84 2.13 2.40 2.26 2.28 — 2.38 specific heat capacity/(J·kg-1·K-1) 740 987 1121 1178 1121 1246 1273 — 1273 density/(kg·m-3) 2200 2200 2200 2200 2200 2200 2200 2200 2200 expansion coefficient/10-7K-1 2.76 7.95 5.75 4.68 4.17 5.10 6.00 11.45 11.45 Young modulus/GPa 71.44 70.76 70.30 70.43 71.05 73.79 75.45 85.28 — Poisson ratio 0.158 0.153 0.150 0.148 0.150 0.160 0.166 0.210 — 
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图(6) / 表(1)
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