Parameter fitting method of BRDF model based on generalized inverse matrix
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摘要: 为了提高二向性反射率分布函数(BRDF)模型参数拟合的效率, 充分了解地物目标的光谱方向特性, 提出了一种基于广义逆矩阵的BRDF模型参数拟合方法。首先分析了地物光谱反射的方向特性, 然后使用成像光谱仪测量不同方向条件下目标的光谱反射率, 将实验条件与先验测量数据代入BRDF模型中, 建立广义逆矩阵等式并拟合出测量目标的模型参数; 利用拟合的目标BRDF模型参数反推任意特定方向条件下的光谱反射率, 并与实测数据作对比, 采用光谱角制图法度量其相似度。结果表明, 草地和迷彩雨衣的拟合光谱曲线与实测光谱曲线的相似度很高, 分别达到了0.1307和0.0896, 证实了该参数拟合方法的有效性, 同时也验证了BRDF模型的泛化拟合能力。该方法原理简单、快速有效, 可为其它类型的BRDF模型参数拟合与后续地物目标光谱特性研究提供参考。Abstract: In order to improve the efficiency of parameter fitting of binary reflectance distribution function (BRDF)model and understand the spectral direction characteristics of ground object more specifically, a method of parameter fitting of BRDF model based on generalized inverse matrix was proposed. Firstly, the directional characteristics of spectral reflection of ground objects were analyzed, and then the spectral reflectance of targets in different directions was measured by imaging spectrometer. The experimental conditions and a priori measurement data were substituted into BRDF model, the generalized inverse matrix equation was established, and the model parameters of measurement targets were fitted. Using the BRDF model parameters of fitting the push any particular direction under the condition of spectral reflectance and compared with experimental data. Spectral angle mapping method was used to measure its similarity and the results showed that the grass and camouflage raincoat fitting spectrum curve and the measured spectral curve similarity is very high, up to the 0.1307 and 0.0896, confirmed the validity of the parameter fitting method, the ability to verify the generalization of the BRDF model fitting. This method is simple in principle, fast and effective, and provides reference for other types of BRDF model parameter fitting and subsequent research on spectral characteristics of ground objects.
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引言
地物对太阳辐射的反射作用具有各向异性，二向性反射率分布函数(binary reflectance distribution function，BRDF)模型常用于描述地表各向异性反射的基本特征[1]。BRDF模型同时考虑了地物目标的方向特性与光谱特性，能够更加全面地描述不同方向条件下地物的光谱特征，在测量上，常用二向反射因子(binary reflection factor，BRF)来近似[2-4]。建立典型地物的BRDF模型通常需要大量的不同方向条件下反射率数据，结合参数拟合的方法能够得到体现地物本身方向光谱特征的参量。近年来，关于BRDF模型的研究取得了长足的进展，其中半经验核驱动模型综合考虑了地物本身的物理因素与经验数据，拟合与反演能力突出。LI等人通过实验数据证明了半经验核驱动模型的拟合能力以及反演能力，并参考了其它线性模型的想法，提出了使用线性组合来拟合地物的反射特征[5-6]。同时，为了提高模型分析评估效率，ZHAO等人提出了一种利用多角度影响计算BRDF模型的方法与系统，将建立BRDF模型的过程编写到软件中，大大提高了模型分析的速度和精度[7]。目前，BRDF已广泛应用于各个领域，ZHANG等人利用BRDF原型和单方向反射率数据精确估算了地表反照率[8]，BRDF模型在叶面积指数[9]、聚集指数[10]等植被结构参数的反演中也起到了关键作用。
广义逆矩阵的概念在1920年就被提出，但并没有得到充分的理解与足够的重视。直到1955年PENROSE定义了Moore-Penrose(M-P)广义逆矩阵，广义逆矩阵理论才被广泛应用。通俗地讲，广义逆矩阵是逆矩阵概念的推广，使得每个矩阵甚至是非方块的矩阵都有广义逆并加以应用。XIA等人提出用了利用广义逆矩阵求一般曲线拟合方程的方法，使得问题简单化标准化[11]。WANG等人利用M-P广义逆的方法，探讨了复矩阵方程的最小二乘Hermitian解，推导出了该类方程最小范数约束的最小二乘Hermitian解的解析形式[12]。
本文中首先简要介绍了常用BRDF半经验核驱动模型——RossThick-LiSparseR模型以及广义逆矩阵拟合方法的原理，而后利用地面成像光谱仪测出典型地物在不同方向条件下的光谱曲线，得到目标在特定方向下的二向反射率数据；结合实验结果与方向条件，利用广义逆矩阵的方法拟合出目标地物的RossThick-LiSparseR模型参数并进行有效性验证。这项工作对于建立典型地物目标的全方向地面光谱数据库具有重要作用，为依据精细光谱信息进行目标分类与检测提供了数据理论基础，具有重要意义[13-14]。
1. 地物光谱反射的方向特性
通过星载或者机载方式得到的高光谱图像获取目标反射率信息需要经过复杂的预处理过程[15]。在地面或近地面成像条件下，探测距离相对较短，从光与地物相互作用到探测器获取反射信息的整个过程相对简单。遥感方式成像的探测距离远大于目标尺度，对地物的探测近似垂直探测，在地面成像条件下应用时，则需要考虑光源、成像光谱仪与目标地物的相对位置关系。对于地物光谱反射率方向特性的研究，指的是地物目标反射率与探测天顶角、入射光天顶角、以及两者相对方位角之间的关系。自然界中大部分地物都非朗伯体，因此光与地物目标产生的反射大都属于各向异性反射，BRDF模型常用于描述地表各向异性反射的基本特征。具体指的是入射光线经过某个表面反射后如何在各个出射方向上的分布。通过建立适合的BRDF模型，能够研究地物的方向特性。模型示意图如图 1所示。
2. BRDF模型与参数拟合方法
2.1 RossThick-LiSparseR模型
BRDF的物理意义是：来自方向地表辐照度的微增量与其所引起的方向上反射辐射亮度增量之间的比值[16], 其数学表达式为：
fr(θi,φi;θr,φr)=dLr(θi,φi;θr,φr)dEi(θi,φi) (1) 式中，θi与φi表示入射太阳光的天顶角、方位角; θr, φr表示反射光线的天顶角、方位角; dEi(·)表示光源在入射点附近面元上的入射辐照度，dLr(·)为相应的反射方向上的辐亮度。
直接测量地物的BRDF比较困难，因此，通常用BRF来代替难以测量的BRDF值，BRF指的是地物方向反射辐射亮度值同条件下理想漫反射体的辐射亮度值的比值，称为双向反射率因子R：
R=dLr(θr,φ,λ)dLp(θr,φ,λ) (2) 式中，λ表示入射光的波长; dLr(·)为地物目标在θr, φr方向上的反射辐亮度值，dLp(·)表示同条件下理想的漫反射体在该方向上的反射辐射亮度值，φ=|φi－φr|表示光源与探测器的相对方位角。
半经验核驱动模型运用了经验系数的线性组合，拥有简单的表达式和更高的使用范围，不仅仅可以在拍摄数据范围内获得较高的精度，并且外推可以求得任意入射光线和观测角的二向反射，模型结构简单、反演速度快[17]。RossThick-LiSparseR模型是一种典型的半经验核驱动模型，描述的BRDF比较准确，反演反射率的结果精度比较高。RossThick-LiSparseR的表达式为：
\boldsymbol{R}=f_{\mathrm{iso}}(\lambda)+f_{\mathrm{vol}}(\lambda) \times \boldsymbol{K}_{\mathrm{vol}}+f_{\mathrm{geo}}(\lambda) \times \boldsymbol{K}_{\mathrm{geo}} (3) 该模型将二向性反射分解为了3个部分的线性组合，其中R代表二向反射率，Kvol和Kgeo分别为体散射核和几何光学核，其体散射核是RossThick核，几何光学核是LiSpareR核，具体表示见参考文献[10]。3个常系数fiso(λ), fvol(λ)和fgeo(λ)只与波长有关，分别表示均匀散射、体散射和几何光学散射所占比例[18-19]。
体散射核和几何光学核的值只与成像时的方向条件有关，实验过程中可以通过测量成像光谱仪的探测角、太阳与探测器的相对方位角以及太阳高度角等进行计算得到。在计算二向反射率的时候，由于两个核的积分与波长无关，可以先利用角度信息计算出两个核的值，通过反射率以及两个核的值代入线性拟合中来求出3个常系数的值，进而可以外推求得任意方向条件下地物的二向反射率。
2.2 广义逆矩阵拟合方法
对于可逆方阵An×n而言，其逆矩阵可以通过公式法或初等变换的方法求得；而对于一般矩阵Am×n来说，求其逆矩阵需要利用广义逆矩阵方法。设A∈Cm×n(Cm×n为m×n维度的复矩阵), 若存在X∈Cn×m(Cn×m为n×m维度的复矩阵)满足以下条件：AXA=A、XAX=X、(XA)H=XA、(AX)H=AX(其中上标H代表求矩阵的共轭矩阵)，则称矩阵X是A的M-P广义逆矩阵, 也称为伪逆矩阵，将X记为A+，以便与常见的逆矩阵加以区分。
在进行参数拟合时，为了得到更加准确可靠的地物BRDF模型参数，需要的先验数据组数远大于参数个数，很容易导致形成的线性方程组为矛盾方程组，而矛盾方程组Am×nXn×k=bm×k的极小最小二乘解存在且唯一，解即为Xn×k=An×m+bm×k。其中(AA+b)m×k的值即为总体接近矩阵bm×k的最优值，而An×m+的值可以通过计算直接得到。
相比于传统的最小二乘法线性拟合等方法，广义逆矩阵拟合方法具有快速简单、针对性强的特点。多维光谱数据的处理，实质上是对多维矩阵的运算处理，由于获取的光谱数据具有信息量大、相关性高等特点，因此，广义逆矩阵拟合方法在光谱矩阵数据处理中具有广泛的应用之处。
3. 实验验证与分析
3.1 实验数据的获取
实验选择在河北省石家庄市某地进行，其经纬度为北纬38°27′，东经114°30′，海拔为78 m。分别在4个不同的时间进行了4组地物目标光谱反射率测量实验。具体条件、太阳高度角、探测天顶角、相对方位角等数据如表 1所示，在不同条件下共得到4组数据。
表 1 实验测量条件Table 1. Experimental measurement conditionsgroup count time illuminate zenith angle/(°) view zenith angle/(°) relative azimuth angle/(°) 1 t1 38.5 20 59 2 t2 24.3 90 59 3 t3 24.6 94 59 4 t4 27.0 120 59 根据上述测量条件，代入到模型公式中，可以得到Kvol和Kgeo相应的常数值，如表 2所示。
表 2 不同条件下Kvol和Kgeo的值Table 2. Values of Kvol and Kgeo under different conditionsgroup count Kvol Kgeo 1 -1.0722 -0.0341 2 -1.6957 -1.2451 3 -1.7198 -1.2875 4 -1.8558 -1.5532 数据获取所使用的是野外地面成像光谱仪，成像波段集中在可见光波段，具体为449 nm~801 nm，为了得到更为精确的目标光谱曲线，设置的光谱分辨率为4 nm，因此，可以得到89个波谱图像，每一幅图像都记录了视场内地物在不同波长下的辐射亮度值。实验中，可以将标准白板放到目标地物附近，由于探测距离远大于白板与地物之间的距离，因此，可以近似认为两者的各角度条件一致。图 2为实验原理示意图，图 3为拍摄场景灰度图。选取的2种典型地物目标为草地、迷彩雨衣。
测得草地的反射率数据用R11, R12, R13, R14表示，迷彩雨衣的反射率数据用R21, R22, R23, R24表示。测量数据如表 3、表 4所示。
表 3 草地的光谱反射率数据Table 3. Spectral reflectance data of grasslandband R11 R12 R13 R14 1 0.062 0.008 0.017 0.011 2 0.056 0.002 0.035 0.002 3 0.040 0.001 0.020 0.014 … … … … … … … … … … 87 0.519 0.415 0.292 0.283 88 0.508 0.408 0.278 0.285 89 0.512 0.406 0.299 0.280 表 4 迷彩雨衣的光谱反射率数据Table 4. Spectral reflectance data of camouflage raincoatband R21 R22 R23 R24 1 0.103 0.094 0.076 0.067 2 0.100 0.092 0.095 0.078 3 0.108 0.083 0.081 0.072 … … … … … … … … … … 87 0.693 0.643 0.645 0.642 88 0.685 0.666 0.633 0.661 89 0.697 0.643 0.632 0.660 利用每种地物的前3组数据作为拟合BRDF参数所需的原始数据，利用最后一组反射率数据与拟合参数后计算得到的数据作对比。
3.2 广义逆矩阵参数拟合
将上述RossThick-LiSparseR模型公式(3)式写成矩阵形式，即为：
\boldsymbol{R}=\left(\begin{array}{lll} 1 & \boldsymbol{K}_{\mathrm{vol}} & \boldsymbol{K}_{\mathrm{geo}} \end{array}\right) \times\left[\begin{array}{c} f_{\mathrm{iso}}(\lambda) \\ f_{\mathrm{vol}}(\lambda) \\ f_{\mathrm{geo}}(\lambda) \end{array}\right] (4) 如果是利用3组数据拟合，根据前3组数据获取的实验条件用下标区分为Kvol，1与Kgeo，1、Kvol，2与Kgeo，2、Kvol，3与Kgeo, 3。以草地的反射率数据为例代入，即：
\begin{array}{c} & {\left[\begin{array}{lll} 1 & \boldsymbol{K}_{\mathrm{vol}, 1} & \boldsymbol{K}_{\mathrm{geo}, 1} \\ 1 & \boldsymbol{K}_{\mathrm{vol}, 2} & \boldsymbol{K}_{\mathrm{geo}, 2} \\ 1 & \boldsymbol{K}_{\mathrm{vol}, 3} & \boldsymbol{K}_{\mathrm{geo}, 3} \end{array}\right]_{3 \times 3} \times\left[\begin{array}{l} f_{\mathrm{iso}}(\lambda) \\ f_{\mathrm{vol}}(\lambda) \\ f_{\mathrm{geo}}(\lambda) \end{array}\right]_{3 \times 89}=} \\ & \left(\begin{array}{lll} \boldsymbol{R}_{11} & \boldsymbol{R}_{12} & \boldsymbol{R}_{13} \end{array}\right)_{3 \times 89}^{\mathrm{T}} \\ & \end{array} (5) 那么只需要输入相应的核常数矩阵以及各波段反射率数值矩阵，便可以利用广义逆矩阵的方法快速拟合出RossThick-LiSparseR模型中草地对应的3个参数fiso(λ), fvol(λ)和fgeo(λ)的数值, 即最佳解的表达式为：
\begin{array}{c} & {\left[\begin{array}{l} f_{\mathrm{iso}}(\lambda) \\ f_{\mathrm{vol}}(\lambda) \\ f_{\mathrm{geo}}(\lambda) \end{array}\right]_{3 \times 89}=\left[\begin{array}{lll} 1 & \boldsymbol{K}_{\text {vol }, 1} & \boldsymbol{K}_{\text {geo }, 1} \\ 1 & \boldsymbol{K}_{\text {vol }, 2} & \boldsymbol{K}_{\text {geo }, 2} \\ 1 & \boldsymbol{K}_{\text {vol }, 3} & \boldsymbol{K}_{\mathrm{geo}, 3} \end{array}\right]_{3 \times 3}^{+} \times} \\ & \left(\begin{array}{lll} \boldsymbol{R}_{11} & \boldsymbol{R}_{12} & \boldsymbol{R}_{13} \end{array}\right)_{3 \times 89}^{\mathrm{T}} \\ & \end{array} (6) 同理，也可以得到迷彩雨衣对应的3个参数的数值，拟合出草地的3组参数可以用fiso，1(λ), fvol，1(λ)和fgeo，1(λ)来表示，如图 4所示。迷彩雨衣的模型参数值用fiso，2(λ), fvol，2(λ)和fgeo，2(λ)表示，如图 5所示。
3.3 验证与评价
采用广义逆矩阵拟合方法对3组实验数据进行运算分别得到了草地和迷彩雨衣的RossThick-LiSparseR模型的均匀散射、体散射和几何光学散射的参数值。第4组实验条件下Kvol与Kgeo的值为Kvol，4、Kgeo，4，以草地为例，利用以下公式可以拟合出在第4组实验条件下的光谱反射率R14′(λ)，即：
\begin{gathered} \boldsymbol{R}_{14}{ }^{\prime}(\lambda)=f_{\text {iso }, 1}(\lambda)+f_{\text {vol }, 1}(\lambda) \times \\ \boldsymbol{K}_{\text {vol }, 4}+f_{\text {geo }, 1}(\lambda) \times \boldsymbol{K}_{\text {geo }, 4} \end{gathered} (7) 以草地为例拟合出的光谱反射率曲线数值与第4组实验测得的反射率数值，结果如图 6所示。同理，也可以得到迷彩雨衣的拟合光谱反射率曲线与实测光谱反射率曲线, 如图 7所示。
![图 6 拟合与实测的草地光谱反射率曲线]()
图 6 拟合与实测的草地光谱反射率曲线Figure 6. Fitting and measured spectral reflectance curves of grassland![图 7 拟合与实测的迷彩雨衣光谱反射率曲线]()
图 7 拟合与实测的迷彩雨衣光谱反射率曲线Figure 7. Fitting and measured spectral reflectance curves of camouflage raincoat从图中可以看出，利用实验数据拟合出草地与迷彩雨衣的光谱反射率曲线与实测的反射率具有较高的相似性。光谱角制图法(spectral angle mapping，SAM)是通过计算两光谱曲线的矢量角度来衡量两者的光谱相似度，该方法取值结果一般为0~1，取值越小，证明两曲线的相似度越高[20]。利用SAM度量拟合与实测的目标光谱反射率的相似度，得到结果如表 5所示。光谱反射率在不同条件下的反演能力与使用的BRDF模型和拟合方式都有关系。实验不仅说明了广义逆矩阵拟合方法的简单有效，也从侧面体现出了RossThick-LiSparseR模型的反演适应能力较强。
表 5 拟合与实测目标光谱反射率曲线的相似度Table 5. Similarity between fitting and measured target spectral reflectance curvegrassland camouflage raincoat SAM 0.1307 0.0896 4. 结论
研究典型地物目标的光谱特性是准确识别地物的前提，通过建立BRDF模型，可以得到能够同时描述地物光谱特性与方向特性的参数，进一步可以利用得到的这些模型系数来反演不同方向条件下的光谱反射率。因此，在大量先验数据中快速准确地拟合出典型目标的BRDF模型参数显得尤为重要。通过实验获取的光谱维反射率信息一般利用矩阵表示，而广义逆矩阵拟合方法原理简单且更适用于多维数据处理。广义逆矩阵拟合方法不受数据维度与矩阵类型的限制，原理简单、处理高效，将广义逆矩阵方法引入到多维光谱数据处理与拟合中，能够方便快速地得到模型参数。
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图 6 拟合与实测的草地光谱反射率曲线
Figure 6. Fitting and measured spectral reflectance curves of grassland
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图 7 拟合与实测的迷彩雨衣光谱反射率曲线
Figure 7. Fitting and measured spectral reflectance curves of camouflage raincoat
表 1 实验测量条件
Table 1 Experimental measurement conditions
group count time illuminate zenith angle/(°) view zenith angle/(°) relative azimuth angle/(°) 1 t1 38.5 20 59 2 t2 24.3 90 59 3 t3 24.6 94 59 4 t4 27.0 120 59 
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表 2 不同条件下Kvol和Kgeo的值
Table 2 Values of Kvol and Kgeo under different conditions
group count Kvol Kgeo 1 -1.0722 -0.0341 2 -1.6957 -1.2451 3 -1.7198 -1.2875 4 -1.8558 -1.5532
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表 3 草地的光谱反射率数据
Table 3 Spectral reflectance data of grassland
band R11 R12 R13 R14 1 0.062 0.008 0.017 0.011 2 0.056 0.002 0.035 0.002 3 0.040 0.001 0.020 0.014 … … … … … … … … … … 87 0.519 0.415 0.292 0.283 88 0.508 0.408 0.278 0.285 89 0.512 0.406 0.299 0.280
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表 4 迷彩雨衣的光谱反射率数据
Table 4 Spectral reflectance data of camouflage raincoat
band R21 R22 R23 R24 1 0.103 0.094 0.076 0.067 2 0.100 0.092 0.095 0.078 3 0.108 0.083 0.081 0.072 … … … … … … … … … … 87 0.693 0.643 0.645 0.642 88 0.685 0.666 0.633 0.661 89 0.697 0.643 0.632 0.660
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表 5 拟合与实测目标光谱反射率曲线的相似度
Table 5 Similarity between fitting and measured target spectral reflectance curve
grassland camouflage raincoat SAM 0.1307 0.0896
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