引言

光纤激光器作为具有多种优越性能的固体激光器，相较于其它种类激光器, 光光转换效率高、激光器体积小、输出光束稳定并且质量好、能够适应多种工作环境，因此在军工、民用加工业、医学研究等领域得到广泛应用。光纤激光器实现激光输出的增益机理有两类^[1]：一类是以掺杂光纤做为工作物质，掺杂粒子吸收抽运光能量发生能级跃迁，再释放能量促进光放大过程，实现激光输出；另一类是利用非线性效应如受激布里渊散射和受激喇曼散射，实现光放大过程，然后输出激光。本文中对掺镱光纤激光的数值模拟中以掺杂稀土离子光纤为增益介质，通过对四波混频非线性过程进行模拟，探究掺镱光纤激光产生过程中抽运功率、抽运波长、中心波长等参数对掺镱光纤激光光谱展宽特性的影响。

随着光纤激光输出功率的增大，非线性效应对激光系统输出光束质量的影响将愈加明显，特别是在高功率放大过程中，输出光谱的线宽展宽现象愈加明显。钕离子是最早应用于光纤激光产生的3价稀土离子，光纤制作工艺的不断提升，实现了在0.9 μm波段掺钕光纤激光器的输出功率，从毫瓦量级到数十瓦量级的提升。但是受到钕离子中能级跃迁的竞争和能级性质的限制，通过掺杂钕的光纤作为增益介质在近红外波段获得更高功率和更优输出光谱特性的激光输出是非常有难度的。镱离子的能级组成则更加简单^[1-2]，此外，镱离子没有激发态吸收，可避免上转换过程的能量损耗，这些优点让镱离子成为实现大功率高光束质量激光输出的重要增益介质。提升光纤激光输出功率的阻力主要来源于各种非线性效应，对此, 研究人员提出增大光纤的模场面积来抑制非线性效应的发生，进而提高输出激光功率。此方法需要增加光纤芯径尺寸，但是在光纤生产过程中，现有的加工技术不能实现任意调控降低光纤的数值孔径参数，这将导致光纤的归一化频率参数增大，光纤中允许传输的模式数增加。在光纤激光系统设计时，虽然可以采用滤波手段保证光纤单模运转，但此时严格意义上光纤中是多模传输的状态，仍然会存在横向模式不稳定效应、光谱线宽展宽等问题。宽光谱光源在光纤液位传感测量等技术领域得到了重要应用，光纤中多模传输和模间干涉是光纤液位传感器测量的基本原理^[3]。但是另一方面，在光谱合束用的窄线宽高功率光纤激光研究领域，如何在提高激光子束输出激光功率的同时保持光谱的窄线宽特性，一直是研究人员研究的重点。光谱线宽直接决定了合成光束在色散方向上的光束质量；同时，单模单纤高功率光纤激光器在工业等应用中，光谱展宽特性对于光束传输和控制系统具有负面影响；光谱特性非常重要。基于此，本文作者针对掺镱光纤激光光谱展宽特性开展研究，为实验提供理论参考。

目前，国内外对掺镱光纤激光器的相关研究开展较多，国内的课题组更多地针对如何利用光纤激光产生超连续谱进行了相关研究，而国外多所高校和研究所一直以来对光纤激光输出光谱特性进行了大量研究^[4-9]。2009年，LAPOINTE等人^[10]进行了高功率掺镱光纤激光器的相关实验，实验结果表明，输出激光光谱线宽随着输出功率的增加明显展宽，但作者并未展开讨论该现象的机理，只是提出可能性推理，认为这种光谱展宽与喇曼光纤激光器输出激光的展宽机理相同，是由于不同激光传输模式引起的四波混频现象造成的。2011年，英国阿斯顿大学的TURITSYN等人^[11]利用耦合非线性薛定谔方程组和速率方程，模拟了掺镱光纤激光器的输出光谱，模型里暂未考虑掺镱光纤的增益特性对激光器输出光谱特性的影响。2012年，俄罗斯科学院西伯利亚分院KABLUKOV等人^[12-13]在不考虑光纤光栅的反射谱形态和掺镱光纤自身增益特性对输出光谱的影响的情况下，提出了基于自相位调制和空间烧孔效应的掺镱光纤激光器的光谱分析模型。2012年，国内的国防科学技术大学XIAO^[14]研究了如何抑制特殊波长掺镱光纤激光器输出光谱中的自发辐射现象，进而提升激光输出功率，还考虑了增益光纤自身增益特性对输出激光的影响。

已有的研究表明，对非线性薛定谔方程或速率方程求解是模拟分析光纤激光系统的主流方式，这些研究模型或是通过速率方程从增益饱和等效应展开对光纤激光光谱特性分析；或是将非线性薛定谔方程和速率方程相结合，在忽略其它影响因素的情况下，考虑某一种具体的非线性效应，以及空间烧孔效应等其它影响因素来建立模型分析；或是基于假设光纤中均匀增益，直接求解非线性薛定谔方程来得到光纤中光场包络变化或多个纵模传输的时频特性来进行分析。在光谱合束、光纤激光器、光纤激光放大器等激光应用中，由于镀膜工艺、激光输出端环节对激光输出角度的要求限制，激光光谱不能展宽太多，而四波混频在众多非线性效应中对光谱展宽具有重大影响，研究四波混频非线性效应可以对光谱展宽研究提供理论支持。

1.   掺镱光纤激光器理论模型

基于RIEZNIK^[15]和CERQUEIRA^[16]等人的报道所提出的四波混频非线性效应的分析方法，将光纤激光的传输看作是多个纵模模式演变后的统计结果。利用四波混频非线性效应过程对此进行模拟，通过采用分步傅里叶方法对非线性薛定谔方程求解，结合掺镱光纤的实际参数条件，模拟掺镱光纤中非单模模式激光传输过程，得到相应的输出光谱，对掺镱光纤激光输出光谱的光谱特性进行分析，分析不同参数下四波混频非线性效应对掺镱光纤激光光谱展宽特性的影响。

1.1   四波混频过程

四波混频效应是指光纤中不同波长的光波间相位匹配，即能量和波矢量都守恒的状态下，发生的非线性相互作用，并且在其它波长处产生边带，该效应的发生还与色散参数密切相关。四波混频效应源于光波光子湮灭新光子产生的过程。比如在3束光波入射到光纤的情况下，其光子分别以ω₁，ω₂和ω₃表示，其中两束光波光子ω₁和ω₂湮灭，同时产生两个新光子ω₃和ω₄，新光子ω₄可产生新的光波，而ω₃则用于产生参量增益。当入射光波中ω₁=ω₂时，这种特殊情况称作简并四波混频。

四波混频过程可以用光场中非线性极化来描述^[16]：

式中，β(ω_j)为光纤在频率ω_j(j=1, 2, 3, 4)处的传输常数，z为沿着光纤的位置坐标，E₁、E₂、E₃表示频率ω₁、ω₂、ω₃处的光场振幅，E₃^*是E₃的共轭。当非线性极化的相位与光纤中传输的新光子光场相位一致时，将发生四波混频现象，这要求波数失配为0，即κ=0^[17]：

式中，Δκ_m、Δκ_w和Δκ_NL分别表示材料色散、波导色散和非线性效应引起的波数失配，(2)式满足能量守恒基本定律。

1.2   分步傅里叶方法求解非线性薛定谔方程

考虑ω₁+ω₂=ω₃+ω₄^[16]的情况，角频率分别为ω₁和ω₂的抽运光入射到光纤中，当实现相位匹配时，主要发生两个现象: 一是角频率分别为ω₃和ω₄的斯托克斯光和反斯托克斯光将从噪声产生；二是如果弱信号光ω₃与抽运光同时入射到光纤中，ω₃会被放大，产生新光子ω₄。将以上非线性过程用耦合非线性薛定谔方程进行描述^[17]：

式中，γ表示光纤的非线性系数，A_m(m=1, 2, 3, 4)表示光波场的缓变振幅函数。以上方程是在暂时忽略走离效应、光纤色散以及损耗的影响下，将耦合非线性薛定谔方程组简化所得。而当光波在无损光纤中传播时，通常可以采用广义非线性薛定谔方程对其进行描述^[17]：

式中，A=A(z, t)表示光波场的缓变包络，β₂和β₃表示2阶和3阶色散系数，t表示脉冲的平均群速度，此处不考虑高阶色散系数如β₄、β₅等。

在分步傅里叶方法(split-step Fourier method, SSFM)中，将光纤按间隔长度h(h可沿光纤变化)分段，脉冲在光纤中传输，每一空间步长内对该非先线性薛定谔方程按照无色散情况进行求解，此处假设无色散(β₃=β₂=0)情况，直接在时域求解，可得非线性薛定谔方程的解：A(z, t)=A(0, t)exp[iγ|A(0, t)|²z]^[15]，使用SSFM对其进行求解计算时，算法程序的精度和执行时间分别取决于空间步长h和时间步长dt的选择，RIEZNIK等人^[15]对空间步长如何选择已经提出了有效可行的方法，本文的数值模拟中将沿用这种优化SSFM计算的方法，使数值结果更加准确。

2.   数值模拟

掺镱光纤激光器分析的基本结构如图 1所示。图中，A_in处表示初始输入光谱，HR(high reflectivity)表示高反射率光纤光栅，OC(output couple)表示输出耦合光纤光栅，输入光谱设定为由两台抽运光源(表示为ω₁，ω₂)和光信噪比(optical signal-to-noise ratio, OSNR)为80 dB@12.5 GHz的高斯白噪声组成^[16]，输入到掺镱光纤中，进行光放大，模拟模型中采用纤芯和内包层直径分别为20 μm和400 μm的LMA-YDF-20/400-HP-M光纤作为增益光纤，L表示增益光纤长度。

图  1  掺镱光纤激光器结构图

Figure  1.  Schematic diagram of the structure of ytterbium-doped fiber laser

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在数值模拟中，除了增益光纤类型和抽运源的选择，光纤长度的选择对四波混频非线性效应的影响也很关键。大量的实验和理论研究结果表明，非线性过程的效率可以通过较大的非线性系数或者增加光纤长度实现，但在使用几百米乃至上千米长度的光纤时，非线性过程效率提高的同时，光纤中的随即双折射、群速度色散变化和相位失配现象也会随之增大。此外，在第1.1节中已经提到相位匹配是四波混频发生的前提，这也意味着相位失配ΔβL要尽量的小。虽然理论上增加光纤长度可以提高四波混频效应的效率，但随着光纤长度的增加，宽带噪声也会随之放大，对四波混频会产生更加严重的影响。而采用较短的光纤，此时几乎可以认为光纤构成了无损耗系统，可以显示多个频率间的周期性传输。另外，通过使用较短长度的光纤，也能够允许一定的相位失配。

由于LMA-YDF-20/400-HP-M掺镱光纤的非线性系数γ和2阶色散系数β₂较小，结合实验中光纤长度选取情况，增益光纤长度设为28 m。参考光纤厂商数据，数值模拟中选用的参数如表 1所示。

表  1  输出光谱模拟所用的参数

Table  1.  Parameters used for output spectrum simulation

symbol	physical meaning of parameter	value/unit
L	fiber length	28 m
γ	nonlinear Kerr coefficients	1.04 W-1·km-1
ROSNR	optical signal-to-noise ratio	80 dB@12.5 GHz
β2	second-order dispersion coefficient	0.01 ps2·m-1
S0	dispersion slope	0.2 ps·nm-2·km-1
α	fiber loss	0.003 m-1
λ0	zero dispersion wavelength of fiber	1494.5 nm

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模拟中依次改变抽运功率、抽运波长、激光中心波长、初始光场的注入模式数以及光纤长度等模拟参数，观察在不同参数变化时，四波混频非线性过程对掺镱光纤激光输出光谱展宽的影响。

2.1   抽运功率对输出激光光谱展宽特性的影响

根据上述四波混频非线性过程模型对该掺镱光纤激光的输出光谱进行了仿真，研究不同实验参数下四波混频对掺镱光纤激光光谱展宽的影响。在仿真过程中通过对抽运源的功率进行设置，得到不同抽运功率下掺镱光纤激光输出光谱，抽运功率从最低功率100 W，逐渐变化增加至2000 W。为更好地观察激光输出光谱展宽随抽运功率的变化，对光谱数据进行了高斯拟合数据处理，图 2a、图 2b和图 2c即880 nm、976 nm和1018 nm波长的抽运源抽运时得到1080 nm激光的输出光谱。从模拟结果可以观察到，随着抽运功率的增大，输出光谱线宽逐渐展宽，输出光谱的半峰全宽随抽运功率的变化曲线如图 2c所示。线宽随抽运功率增加而展宽，曲线尽管有一定起伏，但随着抽运功率的增大输出光谱线宽展宽趋势显著。

图  2  不同抽运功率下1080 nm掺镱光纤激光输出光谱

Figure  2.  Output spectra of 1080 nm ytterbium-doped fiber lasers at different pump powers

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根据BABIN等人^[18]曾提出的将广义非线性薛定谔方程与光纤中传输模式振幅表达形式相结合，得到相应的激光传输的简化波动方程：

式中，ω、ω₁和ω₂分别表示不同的光子频率；δ(ω)表示光纤布喇格光栅的有效损耗函数，该损耗曲线接近抛物线形式；α表示光纤损耗系数；P表示光纤中传输的平均抽运光功率；δ_NL表示四波混频带来的非线性相移损耗；I表示光纤中传输的斯托克斯光功率。右边第1项为喇曼增益项，g_R表示喇曼增益系数，本文中仅考虑腔内增益g，所以(8)式可表示为：

式中，光纤中斯托克斯光传输功率谱I(ω)可写作如下形式^[18]：

光谱宽度Γ表示为^[18]：

式中，δ₂表示光纤布喇格光栅的有效损耗系数，结合LAPOINTE等人^[10]的报道，非线性相移损耗表示为：

在低色散短距离光纤激光系统中[4βL/(3δ₂)]²可以忽略，则$\delta_{\mathrm{NL}}=\sqrt{2 / 3} \gamma P L$，P表示光纤中传输的斯托克斯平均光功率，$P=\int_0^L P(x) \mathrm{d} x / L$，P(x)表示光纤中的输入光功率，β表示光纤的正常色散系数，结合(11)式和(12)式可知，输出光谱宽度Γ与输入光功率的变化成正比，随着输入光功率的增加，掺镱光纤激光的输出光谱线宽发生展宽。所以在模拟中改变激光系统的输入抽运功率，会导致输出光谱线宽展宽，如图 2所示，模拟结果也与参考文献[19]中1150 nm掺镱光纤激光的实验研究的结果一致。

2.2   抽运波长对输出激光光谱展宽特性的影响

从图 2中的结果发现，不同抽运波长下掺镱光纤激光输出光谱展宽并不完全一致。短波长抽运如880 nm和976 nm，与1018 nm波长抽运进行比较，1018 nm和976 nm波长抽运下，光纤激光输出光谱线宽展宽明显快于880 nm波长抽运时的光谱线宽展宽，因此，通过使用不同波长的抽运源来研究抽运波长参数对掺镱光纤激光光谱展宽特性的影响。

抽运波长选用范围为808 nm~1018 nm，依然输出1080 nm激光，得到不同抽运波长下输出激光光谱展宽情况, 如图 3所示。从图 3a可以观察到，抽运功率的增加，不同抽运波长抽运时得到的输出光谱逐渐展宽，不同抽运波长相应的激光输出光谱展宽情况不同。当抽运功率小于600 W时，808 nm，880 nm，915 nm，938 nm，976 nm和1018 nm波长抽运所得激光输出光谱线宽随抽运功率变化的展宽较小，但展宽趋势一致。这是因为当增益光纤长度一定、抽运功率较小时，色散和非线性效应对输出激光线宽展宽贡献较少，需要更多的能量促进吸收转换光能量过程来实现光放大，色散和非线性效应随之累积放大，使得输出激光有明显的线宽展宽，所以600 W及以下的功率抽运时，各波长抽运下的输出光谱展宽现象并不显著。抽运功率增加至2000 W时，808 nm，915 nm，938 nm，976 nm和1018 nm波长抽运下的激光输出光谱线宽随之继续展宽，高功率时976 nm和1018 nm波长抽运下激光线宽有明显的展宽趋势，而808 nm波长抽运下，激光线宽展宽速度较其它抽运波长下激光线宽展宽速度则趋于平缓，这一现象在图 3b中可以更为直观地观察到。这是因为镱离子在808 nm处的吸收系数是6种抽运波长中最低的，如图 4所示，镱离子在其它波长处都有较高的吸收系数，甚至在915 nm和976 nm两处存在吸收峰，随着抽运功率的增加，输出激光线宽固然展宽，增益光纤掺杂粒子对抽运光的吸收利用效率也会使得不同波长光源抽运时输出激光线宽展宽现象不完全一致。

图  3  不同抽运波长下的掺镱光纤激光输出光谱线宽的变化

Figure  3.  Output spectrum of ytterbium-doped fiber laser at different pump wavelengths

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图  4  镱离子吸收与发射截面

Figure  4.  Absorption and emission cross sections of ytterbium ions

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2.3   激光中心波长对输出激光光谱展宽的影响

四波混频非线性过程中，抽运功率和抽运波长一定的情况下，不同输出激光波长的输出光谱展宽情况也会有所不同，为了探究四波混频非线性过程中不同中心波长对输出光谱展宽特性的影响，在仿真模拟中采用976 nm波长抽运产生不同中心波长的输出激光，分别实现1045 nm、1064 nm、1080 nm和1090 nm激光输出。图 5a和图 5b分别是100 W和1700 W功率抽运时的4种激光输出光谱。抽运功率增加时输出光谱强度有明显增强，这与之前的研究结果^[19]，即激光输出功率会随着抽运功率的提高而增大是一致的。得到的不同中心波长激光的输出光谱，如图 5c和图 5d所示。抽运功率增加，4种中心波长激光的输出光谱线宽都在展宽，对其进行数据处理，得到1045 nm，1064 nm，1080 nm和1090 nm激光的光谱线宽展宽曲线斜率分别为0.00099，0.00097，0.00090和0.00105，光谱展宽速度都较为接近，但是1080 nm和1090 nm的激光输出光谱展宽始终比1045 nm和1064 nm激光的光谱展宽现象明显，这一点在图 5d中可以更加清晰地看到，相同抽运功率下，实现长波长激光输出时，光谱线宽相较于较短波长更加展宽。

图  5  采用976 nm波长抽运源，不同中心波长激光的输出光谱线宽变化

Figure  5.  Output spectra of lasers with different central wavelengths when pumped with a 976 nm pump source

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光纤中平均抽运光功率P可由以下形式表达^[18]：

式中，P₀表示输入抽运功率，α_p表示光纤中抽运功率损耗系数，g为腔内增益系数，λ和λ_p分别表示中心波长和抽运波长，结合斯托克斯光谱表达式(10)式，非线性相移损耗还可以表示为^[18]：

根据(13)式，可以得到模型中固定抽运光功率下，光纤中斯托克斯光功率与激光中心波长成正比关系，即I∝λ，由(11)式可知，光谱宽度与非线性相移损耗的平方根成正比Γ∝δ_NL^1/2，在(14)式中有δ_NL∝I，则光谱宽度与激光中心波长的平方根成比关系Γ∝λ^1/2。所以长波长激光光谱线宽展宽始终较大，但由于光谱宽度是与波长的平方根成正比，中心波长变化对光谱宽度的影响被削弱，所以本文中模拟的4种中心波长的输出光谱线宽展宽趋势相近。

2.4   注入光场模式数对输出激光光谱展宽的影响

实际应用中，掺镱光纤激光功率提升一般采用主振荡功率放大结构，光谱展宽现象对放大器的性能影响不容忽视，不同的初始输入模式对光放大和功率放大过程的光谱展宽特性的影响也有差异。根据HUANG等人^[20]的报道，在光谱中每一个纵模模式可以由一个复振幅表示，所有模式的演化可以用耦合复振幅方程来描述。本文中将模拟计算输入的初始光场假设是多个振幅相同的模式构成，共同注入掺镱光纤。在模拟中保持模间距不变，改变模式数目N，得到不同模式数下的掺镱光纤激光输出光谱，研究光纤中注入光场模式数变化对光纤激光光谱展宽造成的影响，结果如图 6所示。从图 6a中可知，相同抽运功率下，随着注入模式数的增加，输出光谱线宽逐渐展宽，在高功率抽运下，输出光谱展宽的现象非常明显，在图 6b中可以更为清晰地观察到。图 6b中展示了在相同模式数目时掺镱光纤激光输出光谱线宽的变化，光谱线宽随着抽运功率的增加快速展宽，这与图 2c中的结果也是一致的。这是因为在实际激光系统中，由于众多纵模模式的相位分布和强度不同，模式演化过程往往比较复杂。为了对非线性过程下光谱展宽进行更加直观的估计，文中模型假设注入的所有纵模具有相同的相位φ₀和相等的振幅$\sqrt{P_{\mathrm{in}} / N}$，P_in表示光纤中输入的光功率，将非线性强度S_NL表示为耦合复振幅方程，即前面(3)式~(6)式中的非线性项A_i^*A_kA_l(i=2, 1, 4, 3;k=3, 3, 1, 1;l=4, 4, 2, 2)之和，可以得到非线性强度S_NL与模式振幅成正比关系，进而与模式数成正比关系，即S_NL∝N^3/2。所以在图 6结果中，掺镱光纤激光光谱线宽随着模式数N的增加展宽。

图  6  采用976 nm抽运源、不同注入光场模式数时，激光输出光谱线宽的变化

Figure  6.  Output spectra of lasers with the number of modes of injected light field when pumped with a 976 nm pump source

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3.   结论

基于掺镱光纤激光的四波混频非线性过程模型，对不同参数条件下掺镱光纤激光的输出光谱进行了模拟和分析。该模型能够很好地分析基于四波混频效应掺镱光纤激光输出光谱展宽随抽运功率、抽运波长、中心波长以及初始光场注入模式数的变化。模拟结果表明，掺镱光纤激光光谱将会随着抽运功率的增加而展宽，输出光谱宽度理论上与光纤中输入光功率成正比关系，即模拟中注入光纤的总抽运功率。不同抽运波长的选取，对输出光谱展宽的影响也各不相同，抽运波长选择在镱离子的915 nm和976 nm吸收峰附近，掺镱光纤激光光谱线宽展宽现象更加显著，这主要是因为在固定光纤长度下，吸收峰附近的波长抽运时，比其它短波长抽运更能提高抽运光利用率，促进激光的产生与光谱展宽。在不同中心波长激光输出时，由于输出光谱宽度与中心波长的平方根成正比关系，所以随着抽运功率的增加，中心波长更长的激光光谱展宽更加明显，但是输出光谱展宽趋势基本一致。在模拟过程中改变初始光的模式数量N，模拟结果直观显示了注入模式数对掺镱光纤激光光谱线宽的影响，在抽运波长和抽运功率相同的情况下，随着初始光模式数目的增加，输出光谱线宽近乎线性展宽。理论模拟结果表明, 在固定输入光场纵模间隔下，如果减小模式数目，可以抑制激光光谱的线宽展宽。

这些模拟结果对于高功率光纤激光在实际激光光源系统、光谱合束系统等工程应用中具有重要的理论参考意义。