Measurement of the phase characteristics of liquid crystal spatial light modulator based on common-path heterodyne interferometry
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摘要: 为了对液晶空间光调制器进行高精度的校准, 使其满足线性相位调制的应用需求, 采用共路外差干涉法测量了液晶空间光调制器的相位调制特性, 分析了实验系统的测量原理, 取得了液晶空间光调制器相位调制量随输入灰度值变化的实验数据, 并进行了线性校准。结果表明, 实验中所用的液晶空间光调制器的最大相位调制量为2.55π, 利用反插值法对20~240灰度范围内的相位调制曲线进行线性校正后的理论相位调制曲线非常接近理想线性曲线, 相位调制曲线与理想线性调制曲线的相关系数可达0.9996;该测量方法可克服传统测量方法对图像处理的依赖性, 具有较高的测量精度, 相位调制量直接通过锁相放大器就可获得。该研究为基于液晶空间光调制器的高精度波前校正和精密测量提供了参考。Abstract: In order to calibrate the liquid crystal spatial light modulator (LCSLM) with high precision and meet the application requirements of linear phase modulation, a common-path heterodyne interferometer system was proposed to measure the phase modulation characteristics of LCSLM. The measurement principle was analyzed. Then the experimental data of the phase modulation varying with the input gray value of LCSLM was obtained and the linear calibration was carried out. The measurement results of the LCSLM show that the maximum phase modulation of the LCSLM used in the experiment is 2.55π. The phase modulation curve in the range of 20~240 is linearly corrected using the inverse interpolation method, and the corrected theoretical phase modulation curve is very close to the ideal linear curve. The correlation coefficient between the measured phase modulation curve and the ideal linear modulation curve can reach 0.9996. The proposed method can overcome the dependence of traditional measurement methods on image processing. The measurement precision of the proposed method is higher, and the phase modulation valves of LCSLM can be obtained directly through the lock-in amplifier. This research can provide a reference for high-precision wavefront correction and measurement based on LCSLM.
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引言
液晶空间光调制器(liquid crystal spatial light modulator, LCSLM)是基于电控双折射效应实现对入射光波调制的新型光学元件[1]，具有质量小、像素密度高、空间分辨率高、能耗低和易于编程实时控制等优点[2-3]，已被广泛用于自适应光学中的波前校正、无线激光通信中的湍流模拟和光束偏转控制、激光光束整形和产生矢量激光[4-12]等。由于不同的LCSLM的相位调制特性存在差异，且不满足线性相位调制的应用需求，因此，使用前掌握调制器的相位调制特性和进行线性校准非常关键。在空间光调制器相位特性测量和校正方面，常用的方法有泰曼-格林干涉法[13]、马赫-曾德尔干涉法[14]、剪切干涉法[15-16]和共路干涉法[17]等。其中前两种方法属于分振幅双路干涉法，测量精度受环境噪声和图像处理方法的影响较大，且后期数据处理也比较繁琐[18]。横向剪切干涉法存在干涉条纹对比度不明显的局限性，而径向干涉法需要利用迭代算法求解径向剪切条纹图，算法复杂且误差较大[17]。共路干涉法虽然具有干涉条纹稳定、抗环境干扰性强等优势，但测量结果需要通过后续图像处理来获得，导致测量精度依赖于后续的图像处理。随着外差干涉技术的发展，外差干涉技术在物体的微振动[19]、液体的浓度[20]、等离子体共振导致的相位变化[21]等参量测量方面应用广泛，但应用于研究LCSLM的相位特性却鲜有报道。
本文中搭建了一套基于He-Ne激光器和双声光调制器构成的共路外差干涉系统，测量了Holoeye公司生产的反射式LCSLM的相位调制量随驱动灰度值的变化关系，并采用逆插值法对实验获得的相位调制曲线进行了线性校正。实验系统中的正交偏振光具有很好的共路性，可很大程度上抑制环境噪声导致的系统光路漂移，且该系统的测量结果直接通过锁相放大器就可获得，因此操作简单、更易实现精确的相位测量。
1. 测量原理
1.1 LCSLM的相位调制原理
在外加电场下作用，LCSLM中的液晶分子轴会沿电场方向旋转[22]，电矢量振动方向与液晶分子光轴垂直的寻常光(o光)的折射率no保持不变，而与液晶分子光轴平行的非寻常光(e光)的折射率ne随旋转角的变化关系满足[23]：
ne(θ)=none√no2cos2θ+ne2sin2θ (1) 式中，θ为液晶分子轴的旋转角。制造商将调制器的驱动电压映射为变化范围在0~255的灰度值[22]，利用计算机将8位位图加载到LCSLM的驱动器中将使o光和e光之间的相位差发生变化[23]：
\delta(g)=\frac{4 {\rm{ \mathsf{ π} }} d}{\lambda}\left[n_{\mathrm{e}}(g)-n_{\mathrm{o}}\right] (2) 式中，δ为o光和e光间的相位延迟；g为计算机加载的相息图的灰度值；d为LCSLM液晶层的厚度；λ为入射激光的波长。
1.2 共路外差干涉测量原理
测量LCSLM相位调制特性的实验装置如图 1所示。组成部分包括：线偏振输出的He-Ne激光器(632.8nm)，两个偏振分束器(polarization beam splitter, PBS) PBS1和PBS2，两平面反射镜(M1和M2)，两个驱动频率分别在99MHz和100MHz附近可调节的声光调制器(acousto-optic modulator, AOM) AOM1和AOM2，分束比为50∶50的分束棱镜(beam splitter, BS)，两个检偏器(analyzer, AL) AL1和AL2，两个硅光电探测器(photoelectric detector, PD) PD1和PD2，两个功率分束器，待测量的液晶空间光调制器(LCSLM)，示波器和锁相放大器(型号: SR844)。
![Figure 1. Common-path heterodyne interferometer system for measuring phase characteristics of LCSLM]()
Figure 1. Common-path heterodyne interferometer system for measuring phase characteristics of LCSLM激光器出射的线偏振激光被偏振分束器PBS1分为传播方向垂直的p和s线偏振光，二者分别通过声光调制器(AOM1和AOM2)后产生频率差为1MHz的+1级衍射光。经反射后这两束光在偏振分束棱镜PBS2上合束，再被分束棱镜BS分为传播方向垂直的两束光。透过BS的光束中的p光和s光通过检偏器AL1后在光电探测器PD1表面发生干涉，探测器输出拍频为1MHz的交流号作为测量系统的参考信号。经BS反射的光束垂直入射到LCSLM上，经LCSLM反射后原路返回，其中透过BS的反射光通过检偏器AL2后在光电探测器PD2表面发生干涉，携带有LCSLM相位调制信息的1MHz的拍频信号则为测量信号。两探测器(PD1和PD2)输出的交流信号均被功率分束器分为两路，其中各一路连接示波器的两个通道，监视拍频信号的波形；剩余各一路接入锁相放大器，获取测量信号的相位变化，实现对LCSLM相位调制特性的测量。
AOM1和AOM2分别输出的+1级衍射光的电场为[20]：
\left\{\begin{array}{l} E_{p}=A_{p} \exp \left[-\mathrm{i}\left(\omega_{p} t+\varphi_{p}\right)\right] \\ E_{s}=A_{s} \exp \left[-\mathrm{i}\left(\omega_{s} t+\varphi_{s}\right)\right] \end{array}\right. (3) 式中，Ep和Es分别为p光和s光的+1级衍射光的电场；Ap和As分别为二者的振幅；ωp和ωs分别为二者的频率；φp和φs分别为二者的初始相位。合束后的p光和s光透过分束棱镜BS后的电场(Er, p和Er, s)为：
\left\{\begin{array}{l} E_{\mathrm{r}, p}=\frac{\sqrt{2}}{2} A_{p} \exp \left[-\mathrm{i}\left(\omega_{p} t+\varphi_{p}+\varphi_{\mathrm{r}, p}\right)\right] \\ E_{\mathrm{r}, s}=\frac{\sqrt{2}}{2} A_{s} \exp \left[-\mathrm{i}\left(\omega_{s} t+\varphi_{s}+\varphi_{\mathrm{r}, s}\right)\right] \end{array}\right. (4) 式中，φr, p和φr, s分别为参考光路中p光和s光传输时的相位变化。若检偏器(AL1和AL2)的透光轴与p光和s光均呈45°夹角，则在探测器PD1表面，参考光路中的p光和s光的干涉强度Ir为：
\begin{aligned} I_{\mathrm{r}}=& \frac{1}{2}\left|E_{\mathrm{r}, p}+E_{\mathrm{r}, s}\right|^{2}=\frac{1}{4}\left(A_{p}{}^{2}+A_{s}{}^{2}\right)+\\ & \frac{1}{2} A_{p} A_{s} \cos \left[\Delta \omega t+2 {\rm{ \mathsf{ π} }}\left(\frac{l_{\mathrm{r}, s}}{\lambda_{s}}-\frac{l_{\mathrm{r}, p}}{\lambda_{p}}\right)\right] \end{aligned} (5) 式中，Δω=ωs-ωp；lr, p和lr, s分别为参考光路中p光和s光传输的光程，λp和λs分别为p光和s光的波长。
实验中p光与LCSLM液晶分子光轴方向一致，对应于e光，因此分束棱镜BS反射的调制后的p光和s光被LCSLM反射后再通过BS的电场(Em, p和Em, s)可表示为：
\left\{\begin{array}{l} E_{\mathrm{m}, p}=\frac{1}{2} r_{p} A_{p} \exp \left\{-\mathrm{i}\left[\omega_{p} t+\varphi_{p}+\varphi_{\mathrm{m}, p}+\delta(g)\right]\right\} \\ E_{\mathrm{m}, s}=\frac{1}{2} r_{s} A_{s} \exp \left[-\mathrm{i}\left(\omega_{s} t+\varphi_{s}+\varphi_{\mathrm{m}, s}\right)\right] \end{array}\right. (6) 式中，φm, p和φm, s分别为测量光路里p光和s光传输时的相位变化；δ(g)为p光与s光间的相位延迟；rp和rs分别为LCSLM对二者的振幅反射率。因此在探测器PD2表面，测量光路p光和s光的干涉强度Im为：
\begin{gathered} I_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}\left|E_{\mathrm{m}, p}+E_{\mathrm{m}, s}\right|^{2}=\frac{1}{8}\left(r_{p}{ }^{2} A_{p}{ }^{2}+r_{s}{ }^{2} A_{s}{ }^{2}\right)+ \\ \frac{1}{4} r_{p} r_{s} A_{p} A_{s} \cos \left[\Delta \omega t+2 {\rm{ \mathsf{ π} }}\left(\frac{l_{\mathrm{m}, s}}{\lambda_{s}}-\frac{l_{\mathrm{m}, p}}{\lambda_{p}}\right)-\delta(g)\right] \end{gathered} (7) 式中，lm, p和lm, s分别为测量光路中p光和s光的传输光程。
由于共路外差干涉系统中p光和s光的传输光程均相等，即满足lr, p=lr, s和lm, p=lm, s，因此探测器输出的交流参考信号ir和测量信号im为：
\left\{\begin{array}{l} i_{\mathrm{r}}=\frac{1}{2} \eta A_{p} A_{s} \cos (\Delta \omega t) \\ i_{\mathrm{m}}=\frac{1}{4} \eta r_{p} r_{s} A_{p} A_{s} \cos (\Delta \omega t-\delta) \end{array}\right. (8) 式中，η为探测器的探测效率。实验中利用计算机给LCSLM加载灰度值从0~255逐渐变化的相息图，并将ir和im分别接入锁相放大器的两个输入端，便可直接测得相位差δ随驱动灰度值的变化关系。
2. 实验结果与分析
为了验证系统的可靠性，将图 1中的LCSLM替换为由偏振分束棱镜PBS3、平面反射镜M3和固定在压电陶瓷(piezoelectric ceramic transducer, PZT)上的平面反射镜M4组成的微位移装置，测量了由PZT位移导致的相位变化，实验装置如图 2所示。
![Figure 2. Common-path heterodyne interferometer system for measuring the displacement of PZT]()
Figure 2. Common-path heterodyne interferometer system for measuring the displacement of PZT经BS反射的光束通过偏振分束棱镜PBS3后分成传播方向垂直的p光和s光，其中p光被固定在PZT上的平面反射镜M4原路反射，与被平面镜M3原路反射的s光再次合束，二者间的相位差δv满足：
\delta_{\mathrm{v}}=4 {\rm{ \mathsf{ π} }}\left(\frac{l_{\mathrm{m}, s}{}^{\prime}}{\lambda_{s}}-\frac{l_{\mathrm{m}, p}{}^{\prime}}{\lambda_{p}}\right)-4 {\rm{ \mathsf{ π} }}\left(\frac{\Delta L}{\lambda_{p}}\right) (9) 式中，lm, s′和lm, p′分别为平面镜M3和M4到PBS3前端面的光程；ΔL为PZT的位移量。在图 2所示的测量装置中，经PBS3分束后p光和s光不再共路，实验中将M3和M4尽量靠近PBS3以减少二者不共路对系统稳定性和测量精度的影响。实验测得的相位延迟δv与PZT位移量的关系如图 3所示。图中的实线为根据(9)式计算的理论曲线。从图 3可以看出，实验测量的相位延迟量随PZT位移的变化关系与理论曲线吻合度较高，表明该共路外差干涉测量系统具有很好的线性相位特性，可有效地进行LCSLM相位调制特性的测量。
利用图 1所示的测量系统测量了Holoeye公司生产的反射式纯相位LCSLM(型号: PLUTO-NIR-011)的相位调制特性，该型号LCSLM的分辨率为1920pixel×1080pixel，且仅调制p偏振光。将AOM1和AOM2的频差设定为1kHz，通过计算机向LCSLM加载灰度值分别为0, 65, 130, 195和255的相息图，示波器采集得到相应的拍频信号如图 4所示。从图 4中拍频信号相对于参考信号的变化可以看出，LCSLM的相位调制特性不满足线性调制，且在195灰度值下的相位调制量就超过了2π, 并且还可以看出，在上述灰度值下LCSLM几乎没有振幅调制，其反射率约为69%。此外，示波器采集的拍频信号没有畸变，说明测量系统具有较高的稳定性。
利用计算机为LCSLM加载一系列灰度值在0~255范围内逐渐变化的相息图，通过锁相放大器直接测得相应的相位延迟量，结果如图 5所示。实验中测量了LCSLM中心、上边界和左边界3个位置处的相位调制特性。从图 5可以看出，实验中使用的LCSLM的最大相位调制量为2.55π，在20~220灰度范围内的相位调制特性基本满足线性调制，并且在3个测量位置处的相位调制一致性较好。
图 5中驱动灰度级20~240对应的相位调制变化量正好为2π，且该区间的线性度较好，利用7次多项式对该区间的相位调制结果进行拟合，结果如图 6所示。
拟合的多项式曲线见下式：
\begin{aligned} \delta(g)=&-0.03319+0.03456 g-8.02705 \times 10^{-4} g^{2}+\\ & 1.32995 \times 10^{-5} g^{3}-1.27064 \times 10^{-7} g^{4}+\\ & 6.92414 \times 10^{-10} g^{5}-1.97236 \times 10^{-12} g^{6}+\\ & 2.26142 \times 10^{-15} g^{7},(g \in[20,240]) \end{aligned} (10) 为了保证调制器在0~2π范围内能实现线性的相位调制，采用反插值法将0~255的输入灰度级与20~240的驱动灰度级对应起来。根据反插值法，构造的输入灰度值与调制相位间的理想线性函数为[13]：
\left\{\begin{array}{l} \delta^{\prime}\left(g^{\prime}\right)=k g^{\prime} \\ k=\frac{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}{255} \\ g^{\prime} \in[0,255] \end{array}\right. (11) 利用作为已知结点数据对拟合得到的函数δ(g)进行反插值[13]，可得到g与g′的关系为：
g=\delta^{-1}\left(k g^{\prime}\right) (12) 根据(12)式得到的驱动灰度值与输入灰度值之间的查找表如图 7所示。将原始测量数据中的灰度值替换为查找表中的相应灰度值，最终获得的理论数据和相位调制曲线如图 8所示。将校正前后的相位调制曲线与理想线性曲线比较可发现，校正前驱动灰度值范围为20~240对应的实测相位调制曲线与理想线性调制曲线的相关系数为0.9910，校正后提高至了0.9996。同时二者间的均方根由校正前的0.0249减小至了0.0092，和方差由0.0278降低到了0.0038。因此，采用反插值法得到的理论相位调制曲线的线性度较高。
3. 结论
提出了一种利用共路外差干涉法测量液晶空间光调制器相位特性的方案，通过理论推导测量系统中的差频信号，建立了测量信号与LCSLM相位调制量之间的映射关系。实验中利用计算机给LCSLM加载灰度值在0~255范围内的一系列相息图对入射的p偏振光产生相位调制，并利用锁相放大器采集测量信号相对于参考信号的相位变化，测量了LCSLM的相位特性。结果表明，实验中所用的LCSLM的最大相位调制量为2.55π，在20~220灰度范围内的相位近似呈线性调制。利用反插值法对相位调制曲线进行线性校正后，相位调制曲线与理想线性调制曲线的相关系数可达0.9996。相比于目前已报道的测量方法，本文中采用的方法操作简单，对实验环境和实验装置的稳定性要求较低，测量结果不受空间光调制器反射率变化的影响，且测量结果可直接通过锁相放大器获得，无需进行后期复杂的图像处理，因此具有较高的可靠性和测量精度。该方法具有普适性，能够对其它型号的相位调制型液晶空间光调制器进行有效标定，为LCSLM的线性校正提供了一种新思路，研究结果有助于进一步提高基于LCSLM相移技术的精密测量领域的测量精度。
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Figure 1. Common-path heterodyne interferometer system for measuring phase characteristics of LCSLM
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Figure 2. Common-path heterodyne interferometer system for measuring the displacement of PZT
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