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拉盖尔-高斯模式和厄米-高斯模式一样,是在开式光腔条件下,由菲涅耳-基尔霍夫方程得出的谐振腔中两种最基本的激光模式。拉盖尔-高斯模式是在圆柱坐标系下表征的,而厄米-高斯模式是在笛卡尔坐标系下表征的,这两种模式常见的表示方法为LGpl和HGmn。对于厄米-高斯模式,m和n分别是沿x和y方向的节点数。对于拉盖尔-高斯模式,l表示相位沿圆周方向旋转的圈数,p表示径向节点数。拉盖尔-高斯模式在圆柱坐标下的振幅表示为[6]:
$ \begin{array}{l} {u_{p, l}}(r, \varphi , , z) = {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}k{r^2}/(2R)}}{{\rm{e}}^{ - {r^2}/{w^2}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}(2p + l + 1)\psi }} \times \\ \;\;\;\;\;\;{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}l\varphi }}{( - 1)^p}{(\sqrt 2 r/w)^l}{{\rm{L}}_{p, l}}(2{r^2}/{w^2}) \end{array} $
(1) 式中,r, φ, z分别表示椭圆柱坐标系下的3个维度; R表示波前的曲率半径; w表示高斯光场振幅值下降到其轴上值1/e处的光斑半径; ψ表示Gouy相位[7]; Lp,l表示广义拉盖尔多项式。其中的方位角分量,即e-ilφ项是厄米-高斯模式和拉盖尔-高斯模式的区别所在。这个相位项使得拉盖尔-高斯模式具有螺旋的相位波前。
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任何周期性的结构都可以等效于一个衍射光栅,利用空间光调制器基元的二态性,可以用其模拟一个光栅,从而实现对于入射光场振幅和相位的调制。而此时的空间光调制器,实际上可以等效为一个从入射光到出射光的传递函数。
假设在输出平面得到拉盖尔-高斯光场,只需使通过空间光调制器的光满足拉盖尔-高斯光束的傅里叶变换即可,根据通过空间光调制器前后光束的表达式,可以计算出空间光调制器的透过率函数,这样就实现了通过控制空间光调制器的调制模式实现不同的拉盖尔-高斯模式输出。
由于液晶空间光调制器产生的是一系列包含各级次衍射图样(并非周期性图样),而本装置拟在第一衍射级次的位置获得拉盖尔-高斯模式的输出(下见1.2.2节及(4)式),故需对输出的光束进行相干滤波。试验中引入了4f系统。在4f系统出射透镜的傅里叶焦平面上观测到各级衍射条纹后,通过孔径光阑相干滤波。选择出第一极大条纹。即可得到特定模式的拉盖尔-高斯光束衍射光。这个4f系统和孔径光阑起到了小波滤波变换的作用。
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基于空间光调制器产生拉盖尔-高斯光束的实验装置示意图如图 1所示。激光二极管发出的基膜激光首先经过凹透镜M1和凸透镜M2扩束,而后入射到起偏器M3上。经过M3的偏振光入射到空间光调制器S1上进行振幅和相位的调制,入射到检偏器M4上。经过检偏器M4的光经过M5和M6构成的4f系统做傅里叶变换及反变换,最终可以在CCD上观测到一系列拉盖尔-高斯模式的衍射图样。通过孔径光阑滤波后,得到拉盖尔-高斯模式输出。
实验装置中,M1的焦距为50mm,M2的焦距为200mm, 4f系统M3和M4的焦距为350mm。由于经过4f系统傅里叶变换的光束需要在其焦平面上观测衍射图样,故CCD需配有透镜M7,实验中其焦距为200mm。
当经过M5透镜做傅里叶变换后的光束为不同的拉盖尔-高斯模式时,模场光斑的大小可能会不同,故孔径光阑最好采用可变孔径式,针对不同的入射模式相应调整滤波的位置和大小,以获得更好的光束输出。
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灰度调制法和二进制全息图法是产生拉盖尔-高斯光束的常见方法。灰度调制法是产生拉盖尔-高斯光束的传统方法,但是其产生的光束是随时间发生相关变化的[8-10]。与此相比,二进制全息图法可以用来产生空间分布更稳定的模式。下面即作者生成用来调制空间光的全息图。
首先,假设输出的光场信号,即拉盖尔-高斯模式为:
$ s(x, y) = A(x, y)\exp [{\rm{i}}\varphi (x, y)] $
(2) 式中,A(x, y)表示光场振幅,φ(x, y)表示光场相位,在[-π, π]内取值。
从数学上说,一个周期性的光栅可以被写为傅里叶级数形式[11-12]:
$ \begin{array}{l} f(x, y) = \sum\limits_n {\{ [\sin (\pi nq)/(\pi n)]} \times\\ \;\;\;\;\exp \{ {\rm{i}}n[2\pi ({u_0}x + {v_0}y) + 2\pi \delta ]\} \} \end{array} $
(3) 式中, (u0, v0)是周期性光栅的空间频率,对应图 1中M5焦平面的位置; q是一个与光栅形状有关的量,即透光部分与不透光部分的宽度比值; δ∈[-1/2, 1/2]是一个与光栅相对位置有关的参量。根据(3)式,第一级次的衍射光场可以表示为[13]:
$ {f_1}(x, y) = [\sin (\pi q)/\pi ]\exp ({\rm{i}}2\pi \delta ) $
(4) 这里,忽略了光场入射到光栅上时可能存在的相位扰动。由于q和δ变化的比光栅的周期慢得多,二者对于光栅位置不具有敏感性,写为位置无关的函数也能得到相对准确的结果。这里假设在第一衍射极大的位置得到目标光场,即f1(x, y)=s(x, y), 由(4)式可将复光场信号的振幅和相位表示为[11-12]:
$ q(x, y) = \arcsin [A(x, y)]/\pi $
(5) $ \delta (x, y) = \varphi (x, y)/(2\pi ) $
(6) 这样就编码表示了拉盖尔-高斯光束光束的振幅和相位信息。理论上讲,对于其它级次衍射光,也可以作类似的处理来使其输出拉盖尔-高斯模式,但是其衍射效率相对较低。
接下来,通过Lee方法生成一幅二进制全息图,其中空间光调制器的透过率可以表示为[13-14]:
$ \begin{array}{l} t(x, y) = 1/2 + {\mathop{\rm sgn}} \{ \cos [2\pi ({u_0}x + {v_0}y) - \\ \;\;\;\;\;\;2\pi \delta (x, y)] - \cos [\pi q(x, y)]\} /2 \end{array} $
(7) 式中,sgn(x)表示符号函数。(7)式实际上就是入射光与出射光之间的传递函数。通过这个传递函数,可以将空间光调制器调制成一个等效光栅,使输入高斯光束时,输出为拉盖尔-高斯光束的傅里叶变换。理论上讲,拉盖尔-高斯、厄米-高斯、贝塞尔-高斯模式的全息图都可以通过(7)式生成,将q和δ因子引入相应模式的表达式中,即可将模拟图转换为二进制全息图。
基于上述原理,可以绘制出经过修正的拉盖尔-高斯二进制全息图,如图 2所示。
空间光调制器产生拉盖尔-高斯光束方法研究
Generation of Laguerre-Gaussian beam based on spatial light modulator
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摘要: 为了解决产生拉盖尔-高斯模式光束较难的问题,采用二进制振幅全息图方法,基于空间光调制器,产生了拉盖尔-高斯光束,进行了理论分析和实验验证。推导了高斯光束到拉盖尔-高斯光束傅里叶变换的传递函数,通过对拉盖尔-高斯模拟图的修正,得出了可以用于空间光调制器的二进制全息图; 搭建了基于4f系统的实验平台,取得了不同阶数的拉盖尔-高斯模式输出,并在实验中对产生的拉盖尔-高斯光束进行了检测。结果表明,此套装置搭建及操作简便,且可实现动态可控的光束输出,对于产生高阶涡旋光束以及因斯-高斯模式都有重要意义。Abstract: In order to handle the difficulty in generating Laguerre-Gaussian mode, the binary amplitude hologram method based on spatial light modulator was presented to produce Laguerre-Gaussian beam. After theoretical analysis and experimental verification, the transfer function of Fourier transform from Gaussian beam to Laguerre-Gaussian beam was derived. Binary hologram which can be used in spatial light modulator was obtained after modifing Laguerre-Gaussian mode simulation. Experimental platform based on 4f system was setup and Laguerre-Gaussian modes of different orders were observed and tested. The results show that, it is easy to build and operate the device conveniently and the device can realize beam output dynamically and controllably. The study is important for the generation of high-order vortex beams and Ince-Gaussian model.
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