Photon loss robustness of optical interferometer for quantum-enhanced phase precision measurements
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摘要:
为了提高光子光学干涉仪在光子损耗情形下的相位测量精度，以典型的twin-Fock态为例输入光子马赫-曾德尔干涉仪，对光子符合计数探测在光子损耗下的探测精度进行了理论研究。结果表明，相较于宇称测量，当使用光子对作为输入时，光子符合计数探测方案对光子损耗显示出更强的鲁棒性，基于光子符合计数探测的相位测量精度在相位位于π/4和π/2之间时可以非常接近于量子克拉美罗界。采用光子符合计数探测方案有助于在实际环境中实现超高精度的相位测量，从而为突破传统散粒噪声限制提供了可能性。
Abstract:In order to improve the phase measurement sensitivity of photonic optical interferometers in photon loss scenarios, a theoretical study of the sensitivity of photon coincidence measurement under photon loss has been carried out using a typical twin-Fock state as an input of a photonic Mach-Zehnder interferometer. Compared to parity measurement, the analysis shows that the photon coincidence measurement scheme is more robust to photon loss when using photon pairs as input, and the phase measurement sensitivity based on photon coincidence measurement can be very close to the quantum Cramér-Rao bound when the phase is between π/4 and π/2. The results show that the use of the photon coincidence measurement scheme can help to achieve ultra-high precision phase measurements in real-world environments, thus offering the possibility of breaking through the traditional scattering noise limit.
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0. 引言
干涉仪作为一类能够精确测量微小变化的精密仪器，在定位测距[1-2]、光谱成像[3-4]、光量子传感[5]和引力波探测[6-7]等方面展现出了重要的应用价值，其中光子马赫-曾德尔干涉仪(Mach-Zehnder interferometer, MZI)是一种最典型的相位估计模型，被广泛地用于精确测定相位变化。一般来说，MZI的最优相位估计精度是由输入态决定的，例如输入经典的相干态，相位测量精度受标准量子极限(standard quantum limit, SQL)限制不超过1/√ˉN(ˉN为输入干涉仪的平均光子数)，而通过输入非经典的量子态，比如典型的压缩态[8-11]、N00N态[12-13]和双数态(twin-Fock态)[14-17]等，则可以实现超越标准量子极限，甚至达到海森堡极限(Heisenberg limit, HL)正比于1/ˉN的相位测量精度。
尽管利用非经典态等量子资源可以显著提高MZI的相位测量灵敏度，但要实现这一目标仍然需要选择合适的量子探测方案。已经证明：在无损MZI中，宇称探测(parity measurement, PM)是一种最优探测方案[11, 15, 18-20]；在最佳相位工作点附近相位测量的精度甚至可以达到由量子Cramér-Rao不等式给出的最优精度下界，即量子克拉美罗界(quantum Cramér-Rao bound, QCRB)。但是，PM要求探测器具有很高的单光子分辨能力；而且在干涉仪存在光子损耗的情况下，PM的相位测量精度会快速降低[21]。所以，如何在MZI中实现对噪声鲁棒的相位测量，仍然是一个有待探讨的重要问题[22-26]。
针对这个问题，本课题组研究并发现了波导-原子以及自旋-谐振子这样的混合量子干涉仪在Fock态输入下对光子损耗具有很好的鲁棒性[27-28]。本文中研究更为常见的光子MZI在光子损耗下的相位精密测量，相比于熟知的N00N态输入，在无光子数损耗的理想情况下，基于twin-Fock态输入的光子MZI所实现的相位测量精度，无论是采用PM还是光子符合计数探测(coincidence measurement, CM)，都能达到海森堡极限的测量精度[15-16]。本文中进一步讨论在有光子数损耗时，twin-Fock态输入的MZI如何实现相位的量子精密测量。通过比较PM和CM所能达到的测量精度，发现CM比PM具有更强的鲁棒性。特别是对双光子输入的MZI而言，CM所实现的最佳相位测量精度在某些参数条件下甚至能达到其QCRB；在大光子数的twin-Fock态输入MZI的情况下，CM也具有比PM更高的信噪比。
1. twin-Fock态输入光子MZI的光子损耗鲁棒性
1.1 理论模型
考虑如图 1所示的光子MZI，其中a和b分别为干涉仪的逆时针和顺时针路径，代表量子态的两个路径模式，|ψ⟩in 和|ψ⟩out 分别表示干涉仪的输人态和输出态，b路径上的ϕ为引入的待测相位，BS1和BS2为两个平衡分束器（beam splitter，BS），光子符合计数探测算符ˆF=ˆa†ˆaˆb†ˆb表示利用两个探测器对干涉仪输出态|ψ⟩out 进行CM，宇称算符ˆΠb=(−1)b†b表示对输出态|ψ⟩out 的b模式进行PM。干涉仪内部的光子损耗分别由两臂上的虚拟分束器BSe和BSf来描述[29-30]，它们的作用相当于算符ˆUBSe=exp[iηa(ˆa†ˆe+ˆaˆe†)/2]和ˆUBSf=exp[iηb(ˆb†ˆf+ˆbˆf†)/2]，其中ηa和ηb分别为两个虚拟分束器的相位参数，在平衡分束器中该参数为π/ 2;ˆa和ˆb分别为干涉仪中路径模式a和b的光子湮灭算符；ˆa†和ˆb†分别为干涉仪中路径模式a和b的光子产生算符；ˆe和ˆf分别为外部环境模式e和f的光子湮灭算符，ˆe†和ˆf†分别为外部环境模式e和f的光子产生算符。虚拟分束器BSe和BSf分别对模a和模b的光子产生算符实行如下变换：
{ˆUBSeˆa†ˆUBSe−1=√Taˆa†+i√Raˆe†ˆUBSfˆb†ˆUBSf−1=√Tbˆb†+i√Rbˆf† (1) ![图 1 基于光学MZI的相位精密测量示意图]()
图 1 基于光学MZI的相位精密测量示意图a—基于光子符合计数探测ˆF b—基于宇称探测ˆΠbFigure 1. Schematic diagram of phase precision measurement based on an optical MZIa—based on CM ˆF b—based on PM ˆΠb式中：Rj=sin2(ηj/2)(j=a, b)分别表示模a和模b对应的光子损耗率; Tj表示其透射率，并且Tj=1-Rj，在无光子损耗时Tj=1(Rj=0)。
将twin-Fock态作为MZI的输入态:
|ψ⟩in =|N⟩a|N⟩b (2) 式中：N为模a和模b初始状态下具有的光子数。经过第1个平衡分束器BS1后的状态可表示为[15]：
|ψ⟩1=N∑k=0αk|2k⟩a|2N−2k⟩b,(αk=(i2)N√Ck2kCN−k2N−2k) (3) 式中：αk为对应的系数; k=0, 1, 2, ⋯, N为分束的光子数; C2kk和C2N-2kN-k为组合数。
经过虚拟分束器BSe和BSf上的光子损失及相移ϕ后，整个系统(MZI+环境)的状态为[23]：
|ψ⟩2=N∑k=02k∑la=02N−2k∑lb=0αkila+lbei(2N−2k−lb)ϕ√Bk,la,lb×|2k−la⟩a|2N−2k−lb⟩b⊗|la⟩e|lb⟩f (4) 式中：|la⟩e和|lb⟩f是环境模e和f的Fock态，表示模a和模b分别损失la和lb个光子进入环境模中；⊗表示张量积。另外，与耗散有关的系数Bk,la,lb可以表示为：
Bk,la,lb=Cla2kClb2N−2kT2ka(T−1a−1)la×T2N−2kb(Tb−1−1)lb (5) 式中：Cla2k和Clb2N−2k为组合数。此时对环境模e和f求迹，可以得到MZI内部经光子损失和相移后的密度矩阵\boldsymbol{\rho}_{\text {in }}为[23]：
\boldsymbol{\rho}_{\text {in }}=\sum\limits_{l_a=0}^{2 N} \sum\limits_{l_b=0}^{2 N-l_a} P_{a b}\left|\xi_{a b}(\phi)\right\rangle\left\langle\xi_{a b}(\phi)\right| (6) 式中：\left|\xi_{a b}(\phi)\right\rangle表示模a和模b分别损失l_a和l_b个光子后对应的条件纯态，可以表示为：
\begin{array}{c} \left|\xi_{a b}(\phi)\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{P_{a b}}} \sum\limits_{k=l_a}^{2 N-l_b} \alpha_k \mathrm{i}^{l_a+l_b} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(2 N-2 k-l_b\right) \phi} \times \\ \sqrt{B_{k, l_a, l_b}}\left|2 k-l_a\right\rangle_a\left|2 N-2 k-l_b\right\rangle_b \end{array} (7) 式中：Pab为归一化因子。因而，经过第2个分束器BS2后，MZI最终输出态的密度矩阵 ρout为：
\boldsymbol{\rho}_{\text {out }}=\hat{U}_{\mathrm{BS}_2} \boldsymbol{\rho}_{\mathrm{in}} \hat{U}_{\mathrm{BS}_2}^{\dagger} (8) 式中：\hat{U}_{\mathrm{BS}_2}为第2个平衡分束器\mathrm{BS}_2的作用算符；\hat{U}_{\mathrm{BS}_2}^{\dagger}为平衡分束器\mathrm{BS}_2的共轭转置算符，用于逆变换操作。在得到MZI最终输出态的密度矩阵\boldsymbol{\rho}_{\text {out }}后，可以在干涉仪的两个输出端采用CM，如图 1a所示。根据测量结果\langle\hat{F}\rangle=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{\rho}_{\text {out }} \hat{F}\right)便可以估算待测相位\phi的值，其中\operatorname{tr}(\cdot)表示对输出态密度矩阵\boldsymbol{\rho}_{\text {out }}和算符\hat{F}的求迹运算，即计算矩阵的所有对角元素之和，\langle\hat{F}\rangle表示光子符合计数率，这是算符\hat{F}的期望值。量子Fisher信息F_{\mathrm{q}}\left(\boldsymbol{\rho}_{\text {out }}\right)[31-32]可以计算为：
\left.F_{\mathrm{q}}\left(\boldsymbol{\rho}_{\text {out }}\right)=\sum\limits_{m, n} \frac{2}{\lambda_m+\lambda_n}\left|\left\langle\lambda_m\right| \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\rho}_{\text {out }}}{\mathrm{d} \phi}\right| \lambda_n\right\rangle\left.\right|^ 2 (9) 式中：\lambda_x(x=m, n)和\left|\lambda_x\right\rangle分别表示密度矩阵\boldsymbol{\rho}_{\text {out }}的特征值和相应的特征向量；\mathrm{d} \boldsymbol{\rho}_{\text {out }} / \mathrm{d} \phi表示密度矩阵相对于相位\phi的导数；\Delta \phi表示由输出态的量子Fisher信息F_{\mathrm{q}}\left(\boldsymbol{\rho}_{\text {out }}\right)确定的最优相位测量精度。理论上，基于CM所能实现的最优相位测量精度由量子Fisher信息F_{\mathrm{q}}\left(\boldsymbol{\rho}_{\text {out }}\right)所满足的下面的Cramér-Rao不等式来确定：
\Delta \phi \geqslant \frac{1}{\sqrt{F_{\mathrm{q}}\left(\boldsymbol{\rho}_{\text {out }}\right)}} (10) 显然，当没有光子数损失时(即Ta=Tb=1)，Fq(ρout)=2N2+2N，这表明系统的最优测量精度达到了海森堡极限。
同理，也可以在输出端采用PM来推算相位测量的精度，如图 1b所示。可以证明，利用无光子损耗的理想MZI，采用PM也能达到海森堡极限[15]，这里PM由算符\hat{\varPi}_b 表示。也就是说，对无光子损耗的MZI而言，利用twin-Fock态作为输入态，无论是采用CM还是PM，所实现的相位量子精密测量都可以达到海森堡极限。下面会证明，在有光子损耗情形下，基于twin-Fock态输入的MZI实现相位测量，CM比PM对光子损耗具有更强的鲁棒性。
1.2 双光子twin-Fock态的相位精密测量及光子损耗鲁棒性
首先研究twin-Fock态在N=1时，利用MZI进行相位量子精密测量可达到的精度。此时，由式(8)可以写出MZI的输出态密度矩阵 ρout, 1为：
\begin{array}{c} \boldsymbol{\rho}_{\text {out }, 1}=\frac{E}{8}\left(|2, 0\rangle_{a b\; b a}\langle 0, 2|+|0, 2\rangle_{a b\; b a}\langle 2, 0|\right)+ \\ H_{+}\left(|1, 0\rangle_{a b\; b a}\langle 0, 1|+|0, 1\rangle_{a b\; b a}\langle 1, 0|\right)+ \\ \frac{R_a^2+R_b{ }^2}{2}|0, 0\rangle_{a b\; b a}\langle 0, 0|+\frac{F}{4}|1, 1\rangle_{a b\; b a}\langle 1, 1|- \\ {\left[\frac{E}{8}|2, 0\rangle_{a b\; b a}\langle 2, 0|-\frac{\mathrm{i} G}{4 \sqrt{2}}\left(|2, 0\rangle_{a b\; b a}\langle 1, 1|-\right.\right.} \\ \left.\left.|0, 2\rangle_{a b\; b a}\langle 1, 1|\right)-\mathrm{i} H_{-}|1, 0\rangle_{a b\; b a}\langle 1, 0|+\text { h. c. }\right] \end{array} (11) 式中：右矢|y, z\rangle_{a b}=|y\rangle_a|z\rangle_b(y=0, 1, 2 ; z=0, 1, 2)表示模a和模b分别具有y个和z个光子的量子态；左矢{ }_{b a}\langle z, y|={ }_b\left\langle\left. z\right|_a\langle y|\right.为其共轭，形如|y, z\rangle_{a b \;b a}\langle z, y|的前6项为密度矩阵\boldsymbol{\rho}_{\text {out }, 1}的对角元，其余项为密度矩阵\boldsymbol{\rho}_{\text {out }, 1}的非对角元；E=T_a{ }^2+T_b{ }^2-2 T_a T_b \cos (2 \phi), F=T_a{ }^2+ T_b{ }^2+2 T_a T_b \cos (2 \phi), G=T_a{ }^2-T_b{ }^2-2 \mathrm{i} T_a T_b \sin (2 \phi), H_{ \pm}= \left(T_a R_a \pm T_b R_b\right) / 2，分别为对应量子态的系数；h.c.表示厄米共轭（Hermitian conjugate）。由此可得光子符合计数率为：
\langle\hat{F}\rangle=\frac{T_a{ }^2+T_b{ }^2+2 T_a T_b \cos (2 \phi)}{4} (12) 容易验证\left\langle\hat{F}^2\right\rangle=\langle\hat{F}\rangle ，所以CM的不确定度可简单表示为：
\begin{array}{c} \Delta \hat{F}= \\ \frac{\sqrt{4-\left[T_a{ }^2+T_b{ }^2+2 T_a T_b \cos (2 \phi)-2\right]^2}}{4} \end{array} (13) 根据误差传播公式:
\Delta \phi_\text{c}=\frac{\Delta \hat{F}}{|\mathrm{d}\langle\hat{F}\rangle / \mathrm{d} \phi|} (14) 可以得到基于CM的相位测量精度Δϕc为：
\begin{array}{c} \Delta \phi_\text{c}= \\ \frac{\sqrt{4-\left[T_a^2+T_b^2+2 T_a T_b \cos (2 \phi)-2\right]^2}}{4\left|T_a T_b \sin (2 \phi)\right|} \end{array} (15) 此时根据式(10)，最优相位测量精度为QCRB，即:
\Delta \phi_\text{c} \geqslant \frac{1}{\sqrt{F_{\mathrm{q}}\left(\boldsymbol{\rho}_{\text {out }, 1}\right)}}=\Delta \phi_{\mathrm{QCRB}} (16) 式中：F_{\mathrm{q}}\left(\boldsymbol{\rho}_{\text {out }, 1}\right)=8 T_a{ }^2 T_b{ }^2 /\left(T_a{ }^2+T_b{ }^2\right)就是密度矩阵为\boldsymbol{\rho}_{\text {out }, 1}的MZI输出态的量子Fisher信息[21]; \Delta \phi_\text{QCRB} 为基于量子Fisher信息的QCRB，即N=1 时的twin-Fock态在有光子损耗下的最优测量精度下界。
作为对比，本文作者也计算了相同条件下基于PM实现相位测量的精度，这里宇称算符为\hat{\varPi}_b=(-1)^{\hat{b}^† \hat{b}} ，并且满足\left\langle\hat{\varPi}_b{ }^2\right\rangle=1 。所以，对于密度矩阵为 ρout, 1的MZI输出态，PM的测量值〈\hat{\varPi}_b〉和不确定度Δ\hat{\varPi}_b 分别可表示为：
\left\{\begin{array}{l} \left\langle\hat{\varPi}_b\right\rangle=\frac{R_a{ }^2+R_b{ }^2-2 T_a T_b \cos (2 \phi)}{2} \\ \Delta \hat{\varPi}_b=\sqrt{1-\left\langle\hat{\varPi}_b\right\rangle^2} \end{array}\right. (17) 因此基于PM实现的相位测量精度Δϕp可表示为：
\begin{array}{c} \Delta \phi_{\mathrm{p}}=\frac{\Delta \hat{\varPi}_b}{\left|\mathrm{d}\left\langle\hat{\varPi}_b\right\rangle / \mathrm{d} \phi\right|}= \\ \frac{\sqrt{4-\left[R_a{ }^2+R_b{ }^2-2 T_a T_b \cos (2 \phi)\right]^2}}{4\left|T_a T_b \sin (2 \phi)\right|} \end{array} (18) 式(15)和式(18)表明，在没有光子损耗的情况下(即Ta=Tb=1)，CM和PM所实现的相位测量精度都是1/2，这正是N=1时所对应的海森堡极限，它与待测相位ϕ无关。
图 2中给出了在有光子损耗情形下，基于CM和PM所实现的相位测量精度随着探测相位的变化关系以及所实现精度偏离QCRB的程度。可以看出，在给定的损失参数下，CM的可达测量精度都要优于PM的可达测量精度。特别是，如图 2a和图 2c所示，当两臂光子损耗相同(即Ta=Tb)时，CM所实现的相位测量精度在ϕ=π/2处能达到QCRB。如图 2b所示，当Ta≠Tb时(比如Ta=0.9, Tb=0.8)时，CM在ϕ=π/2处测量精度会快速下降，尽管如此，在选定相位ϕ≈3π/8或ϕ≈5π/8处，CM所实现的相位测量精度仍然可以极为接近其QCRB。
![图 2 双光子twin-Fock态输入下CM和PM的相位测量精度随相位ϕ的变化曲线]()
图 2 双光子twin-Fock态输入下CM和PM的相位测量精度随相位ϕ的变化曲线Figure 2. Variation curves of the phase measurement sensitivity with phase for photon CM and PM for a two-photon twin-Fock state input下面讨论对于一个给定的待测相位ϕ，两臂光子损耗Ta和Tb如何影响CM和PM所达到的精度。如图 3a所示，PM即使在其最优相位工作点ϕ=π/4附近，也只有在光子损耗较小(如图 3a黄色区域)的情况下才能接近QCRB，随着光子损耗率的增加，相位测量的精度仍将迅速下降导致ΔϕQCRB/Δϕp\ll 1。然而，对于CM，尽管Ta≠Tb时，ϕ=π/2变成了一个奇点，此时相位测量精度在该点附近会快速降低，但是排除这一点后，在ϕ∈[π/4, π/2)(比如ϕ=3π/8)范围内，CM的相位测量精度仍能接近QCRB。如图 3b所示，在ϕ=3π/8处，即使在高光子损耗下，ΔϕQCRB/Δϕc的值在Ta≈Tb处也能大于0.9，这说明在相同损耗参数下，CM的相位测量精度更加接近QCRB，因此CM比PM对光子损耗具有更强的鲁棒性。
![图 3 双光子twin-Fock态输入下给定相位ϕ时，两种相位估计方案的相对精度随透射率Ta和Tb的变化关系]()
图 3 双光子twin-Fock态输入下给定相位ϕ时，两种相位估计方案的相对精度随透射率Ta和Tb的变化关系Figure 3. For a two-photon twin-Fock state input, the relative sensitivity of the two phase estimation schemes varies with the transmittance Ta and Tb for a given phase ϕ1.3 多光子twin-Fock态输入
在此基础上，本文作者继续研究在N≠1的twin-Fock态输入下MZI相位测量的精度问题。为不失一般性，以丨2 〉a丨2 〉b和丨3 〉a丨3 〉b作为MZI的输入态为例，研究CM与PM所实现的相位测量对光子损失的鲁棒性。与丨1 〉a丨1 〉b作为输入态的情况不同，当N≥2时，CM在无损情形下的最优精度只在ϕ=kπ(k∈Z)处取到，而ϕ=π/2则成为CM实现相位精密测量的一个奇点，如图 4a(N=2)和图 4e(N=3)所示。其实，这也可以从无损情形下CM的精度表达式直接得到[16]:
\Delta \phi=\sqrt{\frac{1}{2 N(N+1)}+\frac{(N-1)(N+2)}{8 N(N+1)} \tan ^2 \phi} (19) ![图 4 不同twin-Fock态输入下、给定光子损耗时, CM和PM的相位测量精度随相位ϕ的变化关系]()
图 4 不同twin-Fock态输入下、给定光子损耗时, CM和PM的相位测量精度随相位ϕ的变化关系Figure 4. Variation of the phase measurement sensitivity of the CM and the PM with phase ϕ for a given photon loss when using the different twin-Fock states input显然，当N≥2且待测相位ϕ趋近于(2k+1)π/2时，无损情形下CM的相位测量精度Δϕ趋近于无穷。但是，如图 4b~图 4d(N=2)和图 4f~图 4h(N=3)所示，在有光子损耗时, CM的最优相位测量精度在ϕ=π/4附近，而ϕ=kπ/2则是测量奇点(需要排除)。对此最优的精度测量点，虽然达不到海森堡极限，但是它仍然比PM对光子损耗要更鲁棒，尤其是在光子损耗率相对较大(比如Ta≤0.7或Tb≤0.7)时，鲁棒性更为明显。不过，式(19)也表明，随着N的继续增大，在ϕ=π/4附近, CM所实现的相位测量精度不超过1/ \sqrt{8}，但是PM在光子损耗较小的时候仍能接近1/\sqrt{2 N(N+1)} ，这说明CM相对于PM的相位测量精度优势会随着N的增大而减弱。
2. twin-Fock态输入相位量子精密测量的信噪比
对一个相位精密测量干涉仪来说，除了其理论所能达到的最优测量精度外，探测信号的信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)决定了其实际所能达到的测量灵敏度。一般地，探测信号的信噪比RSNR可由下式得到:
R_{\mathrm{SNR}}=\frac{|\langle\hat{A}\rangle|}{\Delta \hat{A}} (20) 式中：\hat{A} 为CM算符 \hat{F}或PM算符\hat{\varPi}_b ；〈\hat{A} 〉为探测算符的均值；Δ\hat{A} 为探测算符的不确定度。如图 5所示，当两臂光子损耗相同即光子透射率均为T时，在相同输入态的情况下，两种探测方案的信噪比都随着光子损耗的减小而增大；对N=1的情况，如图 5a所示，在它们各自最优的相位点ϕ≈π/2(CM)和ϕ≈π/4(PM)附近，信噪比都比较低，因此并不适用于相应待测相位的精密测量。
![图 5 不同twin-Fock态输入下、给定光子损耗时, CM和PM的信噪比随相位ϕ的变化关系]()
图 5 不同twin-Fock态输入下、给定光子损耗时, CM和PM的信噪比随相位ϕ的变化关系Figure 5. Variation of the SNR of the CM and the PM with phase ϕ for a given photon loss when using the different twin-Fock states input当N为2, 3时，从图 5b和图 5c可以看出，在相同光子损耗率下，CM的信噪比随着N逐渐增大，而PM的信噪比则逐渐减小；在它们各自最优的待测相位点ϕ≈π/4(CM)和ϕ≈3π/8(PM)附近，CM的信噪比始终高于PM的信噪比，这也是CM相对于PM的一种优势。
3. 结论
鉴于MZI已经广泛应用于光学相位的精密测量，本文中研究了twin-Fock态输入的MZI应用于实际相位量子精密测量时对光子损耗的鲁棒性。数值结果表明，在少光子数输入时, CM比PM对光子损耗具有更强的鲁棒性，特别是当N=1时，即使在光子损耗较大的情形下，CM的最优相位测量精度也可接近其QCRB；当N=2和N=3时，CM不仅表现出比PM更高的相位测量精度，而且具有更高的信噪比。所以，对有光子损耗的MZI而言，CM对量子增强光学相位精密测量具有更强的精度提升潜力。
需要指出的是，本文作者仅研究了MZI干涉仪中两种典型的量子探测方案来讨论在光子损耗下的相位测量精度。显然，这两种探测方案都不是最优的选择，因此，寻找一种更优的测量策略，使得光学MZI的相位测量精度既能接近QCRB，又能拥有很高的信噪比仍然是一个值得研究的课题。此外，本文中仅讨论了典型twin-Fock态输入情况，如何通过优化输入态来实现对光子损耗更鲁棒的相位精密测量，也是一个有待探索的问题。
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图 1 基于光学MZI的相位精密测量示意图
a—基于光子符合计数探测\hat{F} b—基于宇称探测\hat{\varPi}_b
Figure 1. Schematic diagram of phase precision measurement based on an optical MZI
a—based on CM \hat{F} b—based on PM \hat{\varPi}_b
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图 2 双光子twin-Fock态输入下CM和PM的相位测量精度随相位ϕ的变化曲线
Figure 2. Variation curves of the phase measurement sensitivity with phase for photon CM and PM for a two-photon twin-Fock state input
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图 3 双光子twin-Fock态输入下给定相位ϕ时，两种相位估计方案的相对精度随透射率Ta和Tb的变化关系
Figure 3. For a two-photon twin-Fock state input, the relative sensitivity of the two phase estimation schemes varies with the transmittance Ta and Tb for a given phase ϕ
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图 4 不同twin-Fock态输入下、给定光子损耗时, CM和PM的相位测量精度随相位ϕ的变化关系
Figure 4. Variation of the phase measurement sensitivity of the CM and the PM with phase ϕ for a given photon loss when using the different twin-Fock states input
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