Research on friction compensation of non-uniform force in photoelectric tracking system
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摘要: 为了解决光电跟踪系统中摩擦扰动问题、进一步提高视轴稳定精度, 采用了LuGre模型和终端滑模观测器(TSMO)融合的补偿方法(LuGre-TSMO), 即在LuGre模型的基础上设计一种基于新型趋近率的终端滑模观测器实现对系统摩擦的2次补偿。结果表明, 相比于未补偿情况, LuGre-TSMO方法的速度跟踪均方根误差平均下降了65. 38%, 有效提高了实验平台视轴稳定精度; 相比于LuGre模型方法和终端滑模观测器方法, LuGre-TSM0方法摩擦补偿效果最好。该方法在光电跟踪系统中是可行且有效的。Abstract: To mitigate the issue of friction disturbance in the photoelectric tracking system and to improve the stability and precision of the line of sight, a compensation technique known as LuGre-TSMO was employed. The LuGre model was combined with a terminal sliding mode observer (TSMO) in this approach. Specifically, a terminal sliding mode observer was devised based on a novel reaching rate, utilizing the LuGre model as a basis. This design enables the system to achieve secondary compensation for friction. In comparison to the scenario without compensation, the root mean square error of speed tracking was reduced by in average of 65. 38%. Consequently, the accuracy of visual axis stability on the experimental platform was effectively enhanced. The simulation and experimental outcomes demonstrate that the LuGre-TSMO method exhibits the most effective friction compensation effect when compared to the LuGre model method and the terminal sliding mode observer method. Furthermore, it is demonstrated to be both feasible and ffective in the context of the photoelectric tracking system.
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0. 引言
光亮度的精确测量在显示屏性能评估、车灯性能以及隧道照明环境检测等领域有着广泛的应用。随着应用的不断深入，对面光源进行光亮度测量的精度要求也越来越高; 同时光亮度测量的精度也影响着色度、色域等光学参数的测量[1-3]。
目前平板显示器的光学性能测量主要采用成像式亮度计，工业成像式亮度计主要分为两类：滤光片式成像亮度计和分光光谱式成像亮度计。滤光片式成像亮度计采用特定的滤光片模拟人眼对光的响应，使得加上滤光片的图像传感器的光谱响应与基于人眼颜色视觉的国际照明委员会(Commission Internationale de L’eclairage，CIE)标准色度匹配函数相匹配，通过图像传感器输出的灰度值计算出目标各点的光亮度，具有测量速度快、体积小、应用环境广的优点，但滤光片匹配存在误差，因而测量精度不高，校准工作量大。分光光谱式成像亮度计将点式光谱仪与图像传感器相结合，利用光谱仪测量特定区域(一般是视场中心区域)的光谱辐射亮度曲线，再利用图像传感器测量目标的灰度值，由此得到目标的光亮度值，具有测量速度快、成本低、体积小等优点，但由于目标各点的光谱曲线实际上并不是相同的，因而测量精度也有限[4-5]。本文作者以显示屏光亮度高精度测量的需求为应用背景，研究了以线性渐变滤光片为核心的成像光谱仪光亮度测量方法，通过获取目标各像素点绝对辐射亮度光谱分布曲线，高精度地计算出目标各点的光亮度信息。
1. 线性渐变滤光片成像光谱仪原理
以线性渐变滤光片(linear variable filter，LVF)为分光元件的成像光谱仪由光学成像镜头、线性渐变滤光片、电感耦合图像传感器(CMOS image sensor，CIS)、目标位移平台构成。LVF置于光学成像镜头与CIS之间，并紧贴CIS的探测表面[6-8]，如图 1所示。
设物体移动方向为x轴，LVF在此方向上中心波长线性变化，在垂直方向上中心波长保持不变。CIS在x轴方向上每一行像元所接收到的光谱波长都与LVF对应位置上的透过波长相对应[9]，因此不同行对应不同波长的单色光谱。为了获取目标的完整光谱信息，需要改变成像光谱仪和目标的相对位置。将目标固定在传送带上，沿LVF波长变化方向匀速移动，使目标的同一行分时成像在图像传感器的不同行，分时获取目标的光谱数据，再通过图像重构得到目标的光谱信息数据立方体信息[10-12]。LVF成像光谱仪图像重构原理如图 2所示，每一帧图像都包含目标的2维空间信息和全谱段光谱信息。将对应的单波长条带依次提取进行重排拼接，即可获得特定波段的单波长图像，所有单波长图像叠加即得到待测目标的高光谱数据立方体。
2. 光亮度计算模型
为精确测量目标的光亮度信息，需要建立待测目标面光源光亮度与图像传感器CIS输出灰度值的函数关系。根据光学系统能量传递关系，得到目标物面光谱辐射亮度与像面光谱辐射照度的传递关系，根据CIS的成像原理，得到CIS像面光谱辐射照度与CIS输出图像灰度值的传递关系，再由CIE1931亮度计算方法得到目标面光源的光亮度值[13]。
物面上微小面元的最大孔径角由孔径光阑的大小决定，由于物面不同位置的微小面元对应的最大孔径角相同，因此进入成像光学系统的光辐射能量相同[14-15]。由于不同位置的微小面元进入光学系统的光能量都相同，因此仅分析光学系统中心的光能量传递情况，传递示意图如图 3所示。
将物面视为余弦辐射体，在物面取一微元dS，对应的像面微元为dS′，如图 3中剖面线扇形所示。dS与dS′可构成元光管[16]，每个元光管的辐射通量为dΦ，对整个入瞳面积分，可求出从dS向整个入瞳发射的总辐射通量Φ。
由光谱辐射亮度的定义，得到波长为λ的光谱辐射通量为：
\mathit{\varPhi}(\lambda)=L(\lambda) \mathrm{d} S \int_0^{2 \mathsf{π}} \mathrm{d} \varphi \int_0^U \cos i \sin i \mathrm{~d} i (1) 式中：由于物面为余弦辐射面，光谱辐射亮度L(λ)为恒定值; dφ为入瞳上的光面相对入瞳中心的张角，i为入瞳相对光源的方向角; U为入瞳上光面对物面原点的张角; 定义K(λ)为透过LVF照射到CIS像元上的光谱透过率，则像面dS′接收到的光谱辐射通量为：
\mathit{\varPhi}^{\prime}(\lambda)=K(\lambda) \mathsf{π} L(\lambda) \mathrm{d} S \sin ^2 U (2) 可推出像面dS′处的光谱辐射照度E′(λ)为：
E^{\prime}(\lambda)=\frac{\mathit{\varPhi}^{\prime}(\lambda)}{\mathrm{d} S^{\prime}}=K(\lambda) \mathsf{π} L(\lambda) \frac{\sin ^2 U}{\beta^2} (3) 式中: β为垂轴放大率。由图像传感器及成像系统原理可知[17]，图像传感器像元输出灰度值u与曝光时间内该像元接收的光子数量μ为线性关系：
u=u_{\mathrm{d}}+G \eta \mu (4) 式中: ud为像元在无光辐射照射下输出的暗信号; G为CIS的总增益; η为量子效率。
像元接收的光子数量可由像元表面的光谱辐射照度值E′(λ)和曝光时间t计算得到，将式(3)代入，得到物平面像元的光谱辐射亮度L(λ)：
\begin{gathered} L(\lambda)=\frac{u-u_{\mathrm{d}}}{t} \frac{h c \beta^2}{G \eta \lambda A K(\lambda) \mathsf{π} \sin ^2 U}= \\ \frac{u-u_{\mathrm{d}}}{t} C(\lambda) \end{gathered} (5) 式中: hc/λ表示光子能量; A为图像传感器像元面积; C(λ)为光谱辐射亮度校正曲线。
根据人眼视觉特性函数V(λ)和最大光谱光视效能Km，将辐射亮度转换为光亮度Lv：
L_{\mathrm{v}}=K_{\mathrm{m}} \sum\limits_{\lambda=380}^{780} L(\lambda) V(\lambda) \Delta \lambda (6) 式中: Δλ为波长间隔。
3. 定标
通过光谱定标建立像元位置与波长之间的函数关系，通过辐射定标建立灰度值和辐亮度之间的函数关系。定标系统示意图如图 4所示，包括发光二极管积分球光源、分光光谱辐射亮度计CS-2000A、自研LVF成像光谱仪、计算机及配套软件。
LVF成像光谱仪的性能参数如表 1所示，采用的分光辐射亮度计CS-2000A的性能参数如表 2所示。
表 1 LVF成像光谱仪参数Table 1. LVF imaging spectrometer parametersperformance parameters camera parameters spectral range 384 nm~1050 nm detector type CMOS global shutter spectral resolution 2.60 nm data aquistition type continuous shooting/snapshot numbers of spectral channels 256 data format 8 bit, 10 bit CIS pixel 2048×2048 data interface USB3.0 time of exposure 28 μs~1 s lens type F port telecentric lens 表 2 CS-2000A参数Table 2. CS-2000A parametersperformance parameters value wavelength range 380 nm~780 nm wavelength resolution 0.9 nm/pixel display wavelength width 1 nm wavelength accuracy ±0.3 nm spectral wave width 5 nm(full width at half maximum) 3.1 光谱定标
LVF成像光谱仪的入射光分光后不同波长的单色光对应着图像传感器不同的像元位置，只有确定了像元位置与中心波长的函数关系，将像元与中心波长一一对应，才能在图像重构算法中拼接出单色图像，得到各像元的光谱曲线信息[18]。
采用特征光谱法进行光谱定标，积分球光源输出高均匀面辐射光源，用分光辐射亮度计和LVF成像光谱仪同步采集数据[19]。分光辐射亮度计得到光源的光谱辐射亮度数据，LVF成像光谱仪得到灰度值随像元位置变化的数据。在可见光范围内，将特征光谱的中心波长以固定间隔步进，分别对采集的数据进行高斯函数拟合，得到峰值点对应的中心波长与中心像素位置，基于最小二乘法建立波长和像素位置的函数对应关系。拟合图像如图 5所示。
拟合得到的波长λ关于像元位置p的表达式为：
\lambda=0.3264 p+378.6281 (7) 3.2 辐射定标
由光谱辐射亮度计算公式可知，光源的光谱辐射亮度由光谱辐射亮度校正曲线C(λ)、CIS图像输出灰度值与曝光时间共同决定[20]。
使用光源控制系统控制积分球输出光源，使其输出连续光谱面光源，使用辐射亮度计采集积分球出光口的光谱辐射亮度曲线，如图 6所示。
在不同曝光时间条件下，LVF成像光谱仪分别采集暗信号和亮信号图像数据，采集多帧图像数据平均处理得到灰度值随波长变化曲线，从而计算出光谱辐射亮度校正曲线C(λ)，如图 7所示。
4. 光亮度测量实验
将显示屏作为待测目标，根据光亮度计算模型得到不同位置的光谱辐射亮度值，以光谱分光辐射亮度计的测量结果作为标准值，对比如图 8所示。
可以看出，在测量同一位置的辐亮度分布时，LVF成像光谱仪计算结果与光谱分光辐射亮度计的示值差异较小，波形变化趋势基本一致，系统整体测量结果较为准确。在650 nm左右，系统计算值与标准值出现了误差，LVF成像光谱仪所测辐亮度被抬高，可能是由于光路倾斜导致此波段发生了光谱混叠，从而使得650 nm对应的CIS像素位置接收到了附近波长的透射光。
根据式(6)将辐射亮度转换为光亮度，计算出光亮度测量的相对示值误差，如表 3所示。
表 3 光亮度测量结果Table 3. Luminance measurement resultsluminance meter results/(cd·m-2) luminnance measurement system results/(cd·m-2) relative indication error/% 45.274 44.032 -2.743 100.484 98.568 -1.907 164.285 164.096 -0.115 205.296 206.965 0.813 420.458 419.789 -0.159 515.792 518.328 0.492 587.296 591.389 0.697 637.109 636.028 -0.170 可见系统的亮度相对示值误差范围在-2.743%~0.813%之间，测量精度小于±3.0%。
5. 结论
以显示屏的在线性能检测应用需求为背景，分析了LVF成像光谱仪的原理结构以及物面光亮度到像面输出灰度值的传递过程，并以此为基础得到了目标光亮度的计算模型; 建立了基于积分球光源、分光光谱辐射亮度计、成像光谱仪的实验定标装置，实现了测量系统的光谱定标和辐射定标; 最后进行了实际的光亮度测量和分析比较。结果表明, 本文中的测量方法和实际情况有较好的一致性，相对示值误差小于3%，达到了国标JJG 211-2021光亮度测量所规定的一级测量精度要求。目前，显示行业对于亮度计的测量要求越来越高，本文中设计的LVF成像光谱仪亮度测量系统在提供准确可靠的亮度测量的同时，系统整体结构小型精巧、测量范围广、稳定性高，能满足市场要求，可帮助提升显示屏产品质量。
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图 5 单个LuGre模型前馈补偿结构图
Figure 5. Compensation structure diagram of single LuGre model feedforward
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图 7 LuGre模型和终端滑模观测器融合补偿结构图
Figure 7. Fusion compensation structure diagram of LuGre-TSMO
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图 8 不同方法摩擦估计补偿量对比图
Figure 8. Comparison of friction estimation compensation of different methods
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图 10 速度跟踪响应和速度跟踪误差同其它方法对比图
Figure 10. Speed tracking response and speed tracking error compared with other methods
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图 11 频率为0.05 Hz时速度跟踪响应和速度跟踪误差不同方法对比图
Figure 11. Comparison of different methods of speed tracking response and speed tracking error at a frequency of 0.05 Hz
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图 12 频率为0.1 Hz时，速度跟踪响应和速度跟踪误差同其它方法对比图
Figure 12. Comparison of velocity tracking response and velocity tracking error with other methods at a frequency of 0.1Hz
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图 13 频率为0.15 Hz时，速度跟踪响应和速度跟踪误差同其它方法对比图
Figure 13. Speed tracking response and speed tracking error compared with other methods at a frequency of 0.15 Hz
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图 14 频率为0.2 Hz时，速度跟踪响应和速度跟踪误差同其它方法对比图
Figure 14. Comparison of velocity tracking response and velocity tracking error with other methods at a frequency of 0.2 Hz
表 1 LuGre摩擦模型参数辨识结果
Table 1 Parameter identification results of LuGre friction model
model parameter identification result TC 50.1416 N·m Ts 61.3567 N·m σ2 0.3514 N·m/rad σ0 5014.16 N·m/rad σ1 100.548 N·m/rad ωS 1.4157 rad/s 
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表 2 终端滑模观测器采用的参数值
Table 2 Parameter values adopted by the TSMO
parameter a b l1 l2 kc δ α k β η μ p q value 321.64 2368.54 0.01 0.001 900 0.05 200 37896.73 40 10 0.2 9 5
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表 3 不同方法、不同频率下，速度跟踪误差峰值
Table 3 Error peak values of velocity tracking under different methods and different frequencies
frequency/Hz error peak values/(°·s-1) without compensation LuGre TSMO LuGre-TSMO 0.05 0.8430 0.6850 0.5750 0.4020 0.1 1.5560 1.1900 0.7500 0.3680 0.15 1.7040 1.3500 0.8450 0.5620 0.2 1.8600 1.4790 0.9580 0.6550
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表 4 不同方法、不同频率下速度跟踪均方根误差值
Table 4 Root mean square error values of velocity tracking under different methods and different frequencies
frequency/Hz root mean square error/(°·s-1) without compensation LuGre TSMO LuGre-TSMO 0.05 0.0858 0.0685 0.0393 0.0297 0.1 0.1845 0.1437 0.0588 0.0309 0.15 0.2984 0.2302 0.0901 0.0440 0.2 0.3645 0.2866 0.1097 0.0533
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表 5 不同方法、不同频率下，速度跟踪误差值与未补偿相比下降百分比
Table 5 Percentage decrease of velocity tracking error value compared with uncompensated value under different methods and different frequencies
frequency/Hz percentage decrease/% LuGre TSMO LuGre-TSMO 0.05 18.74 31.79 52.31 0.1 23.52 51.79 76.35 0.15 20.77 50.41 67.02 0.2 20.48 48.49 64.78
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