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采用积分滑模面以及基于指数趋近率的滑模控制器的设计思想[10],设计系统(见(2)式)的滑模控制率为:
式中,r表示参考给定信号,$\ddot{r}$是其2阶导数,α, β为滑模面参数,e=r-y定义为系统跟踪误差,$\dot{e} $是其1阶导数, kc>0为指数收敛率,η>0为滑模面切换增益,σc表示采用的积分滑模面形式。
为了满足所设计的滑模面的到达条件及抑制扰动,η需设计成大于kdeq,但当外部扰动幅值较小时,由于sgn(·)为符号函数,η过度大于kdeq,此时不连续切换会导致严重的抖振。
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为了解决上述提到的SMC的抖振问题,提出了FLC方法。1型模糊系统[17](type-1 fuzzy logic system, T1FLS)主要由模糊化、模糊推理、知识库、清晰化4个部分组成。在本文作者所设计的模糊系统(fuzzy logic system, FLS)中,系统误差e和其导数${\dot e}$为FLS的两个输入量, 且分别定义为模糊论域上E和Ec两个模糊变量,自适应滑模面切换增益$\hat{\eta}$为FLS的输出,其中E和Ec定义为模糊论域上的3个模糊集合{N, Z, P}, $\hat{\eta}$定义为模糊论域上的5个模糊集合{Nb, Ns, Z, Ps, Pb}。图 2a、图 2b所示分别为本文作者设计的T1FLS的输入变量和输出变量的隶属函数(membership functions, MF)μ图。由图 2可知,本文作者设计的两输入单输出的FLS总共有9条模糊规则,其中第i条模糊规则表示形式为:
式中,Mi和Ni表示第i条规则的前件模糊集,γi表示后件模糊集。模糊规则见表 1。
rules E N Z P Ec N Pb Ns Z Z Ps Nb Ps P Z Ns Pb Table 1. Takagi-Sugeno fuzzy rules of the system
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如果一个FLS中使用了至少一个图 3所示的区间2型模糊集合(interval type-2 fuzzy set, IT2FS)$\tilde{A}$,其表达形式见(5)式,则该FLS就称为区间2型模糊系统[17](interval type-2 fuzzy logic control system, IT2FLS),其中x表示论域X上的输入,u和z分别表示主隶属函数度和次隶属函数度,不确定域(footprint of uncertainty, FOU)包含上隶属函数(upper membership function, UMF)和下隶属函数(lower membership function, LMF)。与T1FLS相比,IT2FLS结构中增加了一个将IT2FS降型为1型模糊集的降型器。图 4为本文作者设计的IT2FLS的输入变量的隶属函数图。不同于图 2a,其输入隶属函数对应的模糊集合是IT2FS。IT2FLS的输出隶属函数与图 2b相同。图 4中, A, B, C为控制器的参数变量。
基于以上分析和设计,所提出的基于1型模糊滑模控制(type-1 fuzzy sliding mode control, T1FSMC)和区间2型模糊滑模控制(interval type-2 fuzzy sliding mode control, IT2FSMC)的ETS控制框图如图 5所示。图 5中, dref表示加入的扰动的参考幅值,dtrue表示实验过程中经过扰动平台后作用到系统中的实际的扰动幅值, PSD是位置传感器(position sensitive detector)。采用FLC和SMC相结合的方法后,控制律(见(3)式)的滑模面切换增益会自适应变化,则最终的控制律为:
2.1. 滑模控制器
2.2. type-1模糊控制器
2.3. type-2模糊控制器
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图 6所示为本文中进行实验的跟踪-稳定平台。跟踪平台被安置在稳定平台上,这两个平台都由音圈电机驱动,位于稳定平台下的电涡流传感器和位于跟踪平台上的激光灯分别用于测量外部扰动及模拟信标光,反射镜偏转方向通过4个电机控制来控制光束偏转角度,从而将信标光反射到PSD,PSD对误差信号进行检测并传到控制器中。所有的实验机构和传感器均工作在5 kHz采样频率下。本实验平台的控制任务是使信标光稳定在目标探测器的几何中心。
系统对象特性变化前通过正弦扫频获得FSM系统位置开环的Bode图如图 7a所示,经过拟合得到位置开环传递函数为:
式中, s=jω表示一个复数,ω表示频率。系统对象特性变化后通过正弦扫频获得FSM系统位置开环的Bode图如图 7b所示,经过拟合得到引入不确定性后的位置开环传递函数为:
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粒子群优化算法[22](particle swarm optimization,PSO)被用来优化获得控制器参数,从而保证控制器参数相对更优。“粒子”被视作PSO中每个待优化问题的解,它们有一定的位置和速度,通过迭代可找到待寻优问题的最优解。
时间乘绝对误差积分准则是控制系统中较为常用的目标函数(integrated time and absolute error,ITAE):
控制系统的动稳态性能可由(9)式来综合评价。ITAE值越小,性能就越好[23],所以本文中采用ITAE作为优化的目标函数。
PSO优化的最大迭代次数、种群规模分别被设置为100和30,SMC控制优化结果如表 2中第1行的4个参数所示。仿真和实验中所用的控制器参数均在表 2中列出。其中ke和kec分别表示FLS的两个输入量(误差e和误差变化$\dot{e} $)的量化因子。
controllers parameters SMC α=103.8131,β=1.4901,kc=8, η=1.8000k T1SMC α=103.8131,β=1.4901,kc=8, ke=1.25,kec=0.1 IT2FSMC α=103.8131,β=1.4901,kc=8, ke=1.25, kec=0.1, A=0.1, B=0.5,C=0.1 Table 2. Parameters of controllers
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本节中利用MATLAB/simulink进行仿真,首先对比阶跃信号跟踪下3种控制方法的扰动抑制和参数不确定性处理能力及控制器产生的抖振情况,其次对比正弦信号跟踪下3种控制方法在抑制扰动和参数不确定性时的跟踪误差。
系统存在外部干扰dex=2sintε(t-3)+ε(t-5)(其中ε(·)表示单位阶跃函数)时,在参数不确定性δa=sin(t-2)、δb=15sin(t-2)和δk=20×sin(t-2)情况下,给定阶跃信号的位置响应、控制输入及跟踪误差的仿真结果如图 8和图 9所示。从图 8a、图 9a中可以看出,3种控制方法的动态响应性能相同,这是因为参数η不决定控制器的动态响应速度。从图 8b、图 8c和图 9b、图 9c中可以看出,在扰动幅值和切换增益匹配时,扰动刚好被抑制,此时无抖振产生;而在扰动或不确定性较小的时段,扰动可以完全被抑制,但SMC切换项增益大于扰动幅值,从而会产生抖振;在扰动或不确定性较大的时段,SMC的切换增益值不足以抑制扰动和不确定性,这时不产生抖振,但是却会产生比较突出的跟踪误差。而T1FSMC和IT2FSMC可以根据扰动给系统带来的误差情况自适应调整SMC的切换增益,所以从图中可以看到,这两种控制方法都能在提高系统跟踪性能的同时降低SMC抖振,其中IT2FSMC处理抖振的能力及跟踪性能相对更优。
图 10、图 11分别为系统存在外部干扰dex=2sint×ε(t-3)+ε(t-5)和参数不确定性δa=sin(t-2)、δb=15sin(t-2)、δk=20sin(t-2)情况下,给定正弦信号的跟踪误差图。其中图 10和图 11所示给定正弦信号频率分别为1 Hz、2 Hz、3 Hz、4 Hz,幅值为200。从图 10、图 11中都可以看出,T1FSMC和IT2FSMC方法明显具有比SMC方法更小的误差波动,相比之下,IT2FSMC误差更小,这说明在3种控制方法中,IT2FSMC处理扰动和不确定性的能力最强。
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本节中通过实验对比SMC和IT2FSMC两种控制方法的性能。首先是对比两种控制方法的扰动抑制能力,其次对比两种控制方法处理不确定性的能力。
给定幅值为200、频率为1 Hz的正弦信号,分别在无扰动、扰动频率为0.5 Hz和1 Hz(扰动幅值为500)的情况下进行实验,其在线跟踪误差分别为图 12a、图 12b、图 12c所示。更改给定正弦频率为2 Hz,其在线跟踪误差分别为图 13a、图 13b、图 13c所示。为了进一步验证IT2FSMC的扰动抑制性能,设定跟踪平台跟踪值为200,在系统不同运行时刻给平台手动添加幅值为500、频率分别为1 Hz、2 Hz的正弦扰动,记录跟踪平台的位置响应误差,如图 14所示。从图 12~图 14中可以看出,IT2FSMC具有更小的跟踪误差,说明存在扰动时,IT2FSMC对扰动具有更强的抑制能力。
Figure 12. Tracking error of sinusoidal signal with amplitude of 200 and frequency of 1 Hz in the presence of different sinusoidal disturbances
Figure 13. Tracking error of sinusoidal signal with amplitude of 200 and frequency of 2 Hz in the presence of different sinusoidal disturbances
Figure 14. Comparison of disturbance suppression ability of various controllers in the presence of sinusoidal disturbances with amplitude of 500 and different frequencies
图 15、图 16所示为系统对象特性发生变化前后跟踪频率分别为1 Hz、2 Hz正弦信号的跟踪误差。可以看出,两种控制方法在一定程度上都能够抑制不确定性,但是在对象特性变化后,SMC的跟踪误差增大明显,而IT2FSMC基本上能够保持对象特性变化前的跟踪性能。这说明IT2FSMC处理不确定性的能力更强。