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全固态激光器由于其高效性、光束输出稳定、光束质量高等优势，在医疗、安全检测、材料加工[1-2]、原子实验等领域得到广泛应用[3]，并随着新型、功能优异的增益介质陆续被研发出来，全固态激光器得到更好的发展[4]。Z型腔的全固体激光器可以实现更长的光程、更小的体积和更高的储能效率，在波长调谐、模式选择以及实现锁模脉冲[5]等方面更具有优势，但是由于Z型谐振腔涉及到的腔参数较多(分臂长度及镜面曲率半径等)，且随着抽运功率的增加，激光晶体的热透镜效应逐步显著[5]，对谐振腔的稳定性起到破坏作用，因此，Z型谐振腔的稳定性问题一直是影响激光器正常运转的重要因素。2004年, LI等人对由Nd∶YVO4(掺钕钒酸钇晶体)组成的端面抽运Z型折叠腔做了深入的理论分析，得到了在激光器正常工作条件下，激光晶体的热焦距及谐振腔臂长度的变化范围[7]，而没有考虑高斯光束光斑的大小变化情况。QIN等人曾对端面抽运的Z型固态激光器腔体进行了仿真，并给出了其稳定性与高斯光束束腰半径和腔长之间的联系[8]，但未考虑腔镜曲率半径对高斯光束半径的影响。HOU等人对双端抽运的折叠腔进行了仿真，并据此得出结论：调整谐振腔的臂长，可以改变共振腔的稳定区域; 还利用相同的光学器件，分别设计了长、短腔体，并做了比较[9]，但只考虑了热透镜焦距对谐振腔的稳定性参量和光斑半径的影响。ZHANG等人在对谐振腔稳定性进行研究时，探究了谐振腔不同臂长时，激光晶体中心处的光斑大小以及谐振腔的稳定区域[10]，并未考虑镜面曲率半径对高斯光束光斑大小的影响。
本文中综合考虑Z型折叠腔的臂长、镜面曲率半径、晶体热透镜效应等各种因素对高斯光束的影响，针对半导体激光二极管(laser diode, LD)端面抽运折叠腔的Nd∶GdVO4(掺钕钒酸钆晶体)激光器，应用ABCD传输矩阵理论，通过编程模拟，对谐振腔的稳定进行了全面的计算和分析，为Z型折叠腔激光器的优化提供了可靠的依据。
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Z型折叠腔的结构如图 1所示。图中, LD为二极管抽运激光器，抽运光经光纤和耦合透镜后注入谐振腔，M1为抽运端镜，曲率半径为R1；激光晶体以Nd∶GdVO4为例；M2为第一反射镜，曲率半径为R2；M3为第二反射镜，曲率半径为R3；M4为输出镜，曲率半径为R4; M1到晶体、晶体到M2、M2到M3、M3到M4的距离分别为L1、L2、L3、L4; θ为折叠镜M3处的折叠半角。
Figure 1. Z-type folding cavity
在LD单端抽运激光器中，抽运过程中晶体会产生热效应[11]，进而引起介质折射率、热膨胀系数、热导率等物理量的变化，从而影响激光在介质中传播的方式和性能[12-13]。产生的热效应中最主要的是热透镜效应，其它的则要弱得多，可以忽略不计[14]。
当激光晶体采用端面抽运时，可以将其近似视为一个焦距是f的热透镜，热透镜与抽运功率之间的关系为[15]：
式中: $w_{\mathrm{p}}$表示抽运光斑半径; $K_{\mathrm{c}}$是热传导系数; $\mathrm{d} n / \mathrm{d} t$是晶体的光热系数; $\alpha$是晶体的吸收系数; $l$表示晶体长度$; P_{\mathrm{th}}=\left(1-\lambda_{\mathrm{p}} / \lambda\right) P_{\mathrm{p}}$, 是热载荷功率$; P_{\mathrm{p}}$是抽运光功率; λp为抽运波长; λ为激光波长。
Figure 2. Equivalent diagram of folding cavity
不引入像散对光束的影响[16]，以M1为参考面，则腔内的往返矩阵为：
式中: a, b, c, d分别表示高斯光束往返矩阵对应的4个元素。
谐振腔的稳定性参量g1和g2为：
谐振腔的稳定性条件为:
激光晶体处的光斑半径为[17]：
抽运端镜M1处的光斑半径为[8]:
后端镜M4处的光斑半径为:
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所选激光晶体Nd∶GdVO4各项特性参数[18]如表 1所示。
absorption coefficient 7.4 mm thermal conductivity 11.7 W/(m·K) thermal-optical coefficient 4.7×10-6 K doping concentration 0.5% size of crystal 5 mm×5 mm×10 mm Table 1. Nd∶GdVO4 crystal characteristic parameters
结合表 1和式(1)，抽运光束在晶体上的半径wp=0.25 mm，对其进行数值仿真，得出了热透镜的焦距和抽运光功率之间的曲线。
热透镜的焦距与抽运光功率呈反比例关系，随着抽运光功率的增加，f会逐步降低，热透镜效应愈加显著[19]。从图 3可知, 所设计的折叠腔允许激光晶体的热透镜焦距变化范围为25 mm~250 mm。
Figure 3. Relationship between thermal lens focal length and pump power
折叠腔的各个参量为：L1＝15 mm，L2＝15 mm，L3＝250 mm，L4＝115 mm，R2＝R1=+∞ mm，R3＝100 mm，R4＝50 mm。
图 4表示f在(0 mm，250 mm)时，谐振腔稳定性参量g1g2的变化。随着f取值的增大，稳定性参数g1g2先减小到0又增大。从图 4可知，所设计的折叠腔允许激光晶体的热透镜焦距变化范围有两个: (25 mm，81 mm)和(81 mm，250mm)。
Figure 4. Stability parameter of the resonator changes with the focal length of the thermal lens
折叠腔参量与图 4描述的腔参量保持一致，设激光晶体热透镜焦距f分别为100 mm和150 mm。从图 5可以看出Z型腔整个腔内的光束大小分布情况。图中, L表示谐振腔腔长，这个腔具有至少两个束腰位置。可在分臂较长的位置处插入Q开关或非线性光学晶体光学元件。由图 5可知，当f=100 mm时，与前面拟定的抽运光束大小接近，可以达到非常好的匹配。
Figure 5. Size distribution of the beam in the cavity
如图 6a所示, 腔的各个参量为：L1＝L2＝150 mm，R2＝R1=+∞ mm，R3＝100 mm，R4＝50 mm，L4分别取不同的值时，随着L3的增加，束腰半径的变化并不是单一的，在所取范围内出现2个尖峰，在激光输出稳定条件下，L4=115 mm时，L3的允许取值范围在; L4=130 mm时，L3的允许取值范围在；L4=160 mm时，L3的允许取值范围在。从图 6可知, 随着L4变小，光束的稳定区间在变大，束腰半径在变小，束腰位置向M3靠近。
Figure 6. Effect of the variation of the arm length on the cavity mode radius
如图 6b所示，腔的各个参量为：R2＝R1=+∞ mm，R3＝100 mm，R4＝50 mm，L3=250 mm，L4=115 mm，L1分别取不同的值时，随着L2的增加，臂长L1越大, 束腰半径越小，且束腰位置远离输入端镜。
图 7中折叠腔的其它参量为：R1=+∞ mm，R3＝100 mm，R4＝50 mm。在满足稳定条件的情况下，当L1＝L2＝150 mm、L4 =115 mm时，改变R2的曲率半径和L3分臂光束，束腰半径大小随R2的变化情况，如图 7a所示。增大M2的曲率半径，光束的束腰半径减小且束腰位置向M3靠近。图 7b中，L3＝250 mm，L4＝115 mm，当L1=150 mm时，改变R2的曲率半径和L2分臂光束，同样随着R2增大，光束的束腰半径减小。
Figure 7. Effect of radius of curvature R2 on resonant cavity mode radius
折叠腔的各个参量为：L1＝L2＝150 mm，R2＝R1=+∞ mm，R3＝100 mm，R4＝50 mm时，在激光器稳定运转的情况下，从图 8a可以看出，增大L3的臂长，抽运端镜M1处的光斑大小基本稳定，增大臂长L4，臂长L3的稳定区域变小，M1镜处的光斑半径变大；从图 8b可知，增大L3的臂长，后端镜M4处的光斑逐渐变小，增大臂长L4，臂长L3的稳定区域变小，M4镜处的光斑半径变小。
Figure 8. Effect of the variation of the arm length L3 on the beam radius at the M1 and M4
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分析了Nd∶GdVO4晶体的热透镜效应，以传输矩阵为基础，数值模拟了在稳定条件下，通过改变Z型腔的腔体参量对激光器稳定性的影响。
(a) 在L1和L2不变的条件下，随着L4变小，光束的稳定区间变大，束腰半径变小，束腰位置向M3靠近。
(b) 在L3和L4不变的条件下，适当增大L1的臂长，可获得更小的束腰。
(c) 其它腔参量不变，改变L3的分臂长度, 增大R2，光束的束腰半径减小且束腰位置向M3靠近；改变L2的分臂长度, 增大R2，光束的束腰半径减小且束腰位置向M2靠近。
(d) 在稳定条件下，增大L3的臂长，抽运端镜处的光斑半径基本稳定，后端镜处的光斑大小逐渐变小。
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