GMM-based amplitude-phase joint coding CVQKD security analysis

量子密钥分发(quantum key distribution, QKD)能够实现两个合法用户Alice和Bob之间的无条件安全密钥分发，其安全性由量子力学的基本原理保证^[1]。首个QKD协议是BB84协议，通过随机选择偏振基使得两个非正交的偏振态携带同样的信息，因此其安全性来源于非正交态不可区分^[2]。

虽然BB84协议的安全性已得到严格证明，但由于单光子源难以制备且单光子探测技术实现难度大、成本较高，研究者逐渐将研究方向从单光子转向了连续变量。连续变量量子密钥分发(continuous variable quantum key distribution，CVQKD)具有更高的密钥速率和与标准通信组件的兼容性等独特的优势，自诞生以来迅速受到学术界关注^[3]。在高斯调制CVQKD中，信息被编码在量化电磁场的正交上：Alice在相空间上对相干态进行调制，而Bob执行零差或外差检测以建立与Alice之间的相关性^[4]，这些相关性可以通过后处理过程进一步被转变成安全密钥。

由于理论上的高斯调制在物理上无法实现，基于离散调制格式的CVQKD协议近年来吸引了越来越多的关注，其优点包括更容易的实验实现和更高的纠错效率，这些特性为量子安全网络中的大规模部署带来了潜在优势^[5]。相移键控(phase-shift keying，PSK)调制是常用的CVQKD离散调制方案，但其密钥速率与高斯调制相比仍存在差距^[6]。相比之下，幅度相移键控(amplitude phase-shift keying，APSK)联合调制可以获得更高的密钥速率，更加接近真实的高斯调制的结果。

为增强CVQKD的实用性，机器学习的方法被引入CVQKD领域，用于设计新型CVQKD方案、预测参数和检测量子攻击^[7]。最近一些关于使用基于机器学习的方法改进离散调制CVQKD的研究已经证明了其可行性，如LIAO等人^[8]提出的多标签分类算法作为嵌入式分类器应用于离散调制CVQKD系统；LIU等人^[9]通过集成支持向量回归模型，以优化离散调制CVQKD系统的性能和实际的安全性。

本文中提出了基于高斯混合模型(Gaussian mixture model，GMM)的幅度相位联合编码CVQKD方案。在该方案中，将量子通信系统分为两个阶段，即状态学习阶段和状态预测阶段，状态学习阶段基于高斯混合模型的分类器对已知类别的量子态进行训练，学习不同类别量子态的幅度相位分布情况；状态预测阶段则采用最小欧氏距离计算出待测量子态属于每个类别的后验概率，从而判定待测量子态的类别，并通过参数估计、反向协调和保密增强生成最终密钥。由已知相干态构成的训练集进行学习，再对未知量子态提取特征进行分类进而做出判决，设计一个量子态识别分类器，更精确地预测相干态调制提高了离散调制CVQKD的系统性能。

M阶APSK(M-APSK)调制方式的星座图通常由多个同心圆组成，每个同心圆上均匀分布着多个量子态，这些量子态构成的信号集可以表示为：

式中: R_k为第k个同心圆的半径; 2πi_k/n_k+θ_k表示相空间中量子态的相位; n_k为第k个同心圆上的量子态数, n₁+n₂+…+n_k=M; θ_k为第k个同心圆上的量子态的初始相位; i_k(i_k=0, 1, …, n_k－1)为第k个同心圆上的一个量子态。

本文中考虑了{16, 32, 64, 128}阶APSK调制的星座点，如表 1所示; 绘制了16-APSK和32-APSK编码的CVQKD在相空间的示意图，如图 1所示。

Figure 1.  Schematic distribution of M-APSK encoded CVQKD protocol in phase space

在CVQKD系统中，发送方Alice和接收方Bob的设备是可信的, 并且不被潜在的窃听者Eve所操控^[10]，它们之间获得的密钥速率K为：

式中: m为用于信息协调的数据量; W为量子信道中传输的总量子态数，此处考虑参数估计的数据，将m/W设置为1/2;β为反向协调的协调效率; I_BA为Bob和Alice之间的互信息^[11]; χ_BE为Bob和Eve互信息的Holevo界; Δm为与隐私放大安全相关的参数。假定Bob使用外差探测同时测量Alice发送的两个正交分量，则互信息I_BA可由下式计算：

式中: S/N为信噪比; 〈n〉是每个符号的平均光子数; T为信道传输率; ξ为过量噪声; ξ_th为检测系统的热噪声; η为光电二极管的检测效率。

在集体攻击下，Bob和Eve互信息的Holevo界^[12]，即χ_BE可由下式给出：

其中,

式中: a=1, 2时, μ_a为描述Alice和Bob共享状态的协方差矩阵γ_AB的辛特征值; a=3, 4, 5时, μ_a为Bob的投影测量的协方差矩阵的辛特征值^[13]，即：

在接收端Bob执行外差探测，即：

式中: χ_line=1/T－1+ξ为通道输入有关的量子信道过量噪声; χ_het=[1+(1－η)+2υ_EN]/η为Bob外差检测输入相关的检测附加噪声; χ_hom=[(1－η)+υ_EN]/η为Bob零差检测输入相关的检测附加噪声; 信道输入端的等效总噪声则可以表示为χ_tot=χ_line+χ_het/T; υ_EN为实际探测器电子器件产生的热噪声; V=V_A+1, 且V_A是发送方Alice的调制方差; 此外Z为Alice和Bob的相关性常数。

Δm是与隐私放大安全相关的参数(由于有限码长效应)^[14]，由于Alice和Bob之间只共享有限数量的W个量子态，因此在安全性分析中，必须考虑有限码长效应导致的影响。有限码长效应降低了Alice和Bob对信道传输率和过量噪声的估计精度^[15]。假设原始密钥以比特编码，则有限码长效应可以通过参数Δm表示，即：

式中: ε是平滑参数; ε_PA是隐私放大过程失败的概率。

假定量子信道为线性信道，参数估计步骤需要通过分别考虑Alice和Bob的数据x和y之间的线性模型来估计信道传输率和过量噪声^[16]。在使用外差探测时，Alice和Bob的数据遵循标准线性模型y=tx+z，其中参数$t=\sqrt{T \eta / 2}$，z服从方差为σ²=ηTξ/2+1+ξ_th的正态分布，探测系统的热噪声ξ_th可在校准阶段测量。因为估计的好坏取决于参数估计步骤中考虑的状态数W-m，因此必须在有限尺寸效应中考虑，计算概率至少为1－ε_PE的密钥率的下限。密钥速率的下界由t下界t_min和σ²的上界σ_max²计算，但概率为ε_PE/2的情况除外，由下式给出：

式中: z_εPE/2是标准正态分布的100(1－ε_PE/2)百分位数，置信区间为(1－ε_PE)×100%，并且使得$1-\operatorname{erf}\left(z_{\varepsilon_{\mathrm{PE}} / 2} /\sqrt{2}\right)=\varepsilon_{\mathrm{PE}} / 2$，其中$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}} \int_0^x \exp \left(-t^2\right) \mathrm{d} t$是误差函数^[17]; 2(W－m)中的2表示的是对于外差检测，两个正交分量都被测量，并在参数估计步骤中独立处理。最后，可以计算密钥速率的下限，除了概率为ε_PE/2之外，考虑信道传输率的最小值T_min，T_min=2t_min²/η，以及过量噪声的最大值$\xi_{\max }=\left[2 /\left(\eta T_{\min }\right)\right]\left(\sigma_{\max }^2-1-\xi_{\mathrm{th}}\right)$，下文中所有考虑有限码长效应的密钥速率都是通过T_min和ξ_max计算的。

GMM是一种参数概率密度函数，表示为高斯分量密度的加权和，使用期望最大化(expectation-maximum，EM)算法估计高斯参数^[18]。采用GMM的基本假设是所有样本都来自l个高斯分布的混合，每一个调制符号都是一个单独的高斯分布。使用EM算法，可以基于高斯潜在分量对样本进行聚类，该算法能够确定每个量子态的类别。

高斯混合模型，即：

式中: w_j>0是第j个高斯分量的权重，且$\sum\limits_{j=1}^l w_j=1$; $g\left(x \mid \mu_j, \varSigma_j\right)$是均值为μ和方差为Σ的高斯分量密度函数，即：

该算法的目的是找到参数$\lambda=\left\{w_1, \cdots, w_{l-1}; \mu_1, \cdots, \mu_l; \varSigma_1, \cdots, \varSigma_l\right\}$，使其对数似然最大化。

EM算法是一种迭代优化策略，是概率模型依赖隐含变量寻找参数最大似然估计或者最大后验概率的算法^[19]。它的计算方法中每一次迭代都分两步: 第1步为期望步，利用隐含变量计算其最大似然估计值; 第2步为极大步，通过一系列的参数使得似然不断地增加，即此次的似然高于上一次迭代产生的似然，通过上一步求得的最大似然值来计算参数，此过程反复迭代，直到收敛完成训练。

(a) E-step计算每个样本对高斯分量的隶属度的后验概率：

式中: x_i是第i个数据点。

(b) M-step应用最大似然估计来更新均值，协方差矩阵和混合比例，使用步骤(a)中获得的后验概率，即:

式中：(λ|x₁, …, x_m)是某一个数据点。

在多环M-APSK编码的CVQKD协议中，Alice制备量子态，通过不完美信道传输，因信道传输过程中存在损耗及其电子探测器噪声的影响，导致传输态会有相位漂移和能量衰减，以一定在概率分布在相空间，如图 2所示。16-APSK调制相干态经过100 km的量子信道传输后在相空间的表示，调制方差为0.35，接收端Bob执行外差探测^[20]，传输态与初始的调制量子态的不再相同，为提高系统的检测效率，本文作者提出在系统接收端添加基于最小欧氏距离的高斯混合模型算法的量子态分类器。

Figure 2.  Distribution of 16-APSK modulated coherent states in phase space through quantum channel transmission

为了构造一个性能良好的分类器，将本文中提出的方案分为两个部分: 状态学习和状态预测，如图 3所示。状态学习阶段主要用于训练和评估分类器，由发送方Alice制备已知类别量子态，并通过不可信的量子传输信道发送给Bob，同时通过辅助信道将已知类别量子态的相关信息发送到接收端，对接收到的量子态Bob执行外差探测和特征提取，为提高接收端Bob对量子态的检测效率，为每一个相干态构造一组距离特征：

Figure 3.  Discrete modulation CVQKD protocol based on GMM

根据式(1)，M-APSK调制相干态x, x′∈X可由极坐标幅度(半径)与相位的形式(R_k, 2πi_k/n_k+θ_k)转为直角坐标的形式(x_k, y_k)，x′为参考态，X为调制相干态的信号态集，i_k为第k个同心圈圆周上的第i(i=0, 1, …, n_k－1)个量子态，即：

由式(18)可得：

16-APSK调制相干态的特征提取如图 4所示。橙色表示未知量子态，蓝色表示虚拟的参考态，即理想条件下的调制状态初始值。Bob接收传输的相干态并提取一组距离特征后，即通过判断可得到传输态与参考态之间的最小欧氏距离δ_min，因此可识别出该信号态所属类别1。

Figure 4.  Feature extraction of 16-APSK modulated coherent states

在提取出鲁棒性特征后用作状态学习分类器的输入数据，$Y=\left\{y_1, y_2, \cdots, y_l\right\}$是包含l个类别的标签空间，训练集为$U=\left\{\left(x_i, y_j\right) \mid 1 \leqslant i \leqslant m\right\}$，其中x_i∈X是d维属性向量(x_i1, x_i2, …, x_id)^T, y_j⊆Y是x_i所属的一个类别(1≤j≤l)。状态学习阶段的目的是找到一个分类器函数h(·)，给定一个阈值函数t: X→R, 使得$h(x)=\{y \mid f(x, y)>t(x), y \in Y\}$。

若$|x\rangle$表示未分类相干态，C_j计算是$|x\rangle$属于第j类y_j(1≤j≤l)：

式中: $\left(\left|x^*\right\rangle, Y^*\right)$表示训练集中已知类别的相干态。假设H_j表示相干态$|x\rangle$的类别为y_j，则P(H_j|C_j)表示后验概率在C_j属于类别y_j的条件下H_j为真，P(H_j|C_j)为后验概率在C_j属于类别y_j的条件下H_j为假，让f($|x\rangle$, y_j)=P(H_j|C_j)/P(H_j|C_j)，则基于GMM的幅度相位联合编码CVQKD协议分类器为：

当P(H_j|C_j)后验概率大于t($|x\rangle$)·P(H_j|C_j)时, 未知类别的相干态$|x\rangle$属于y_j类。

根据贝叶斯定理可得到：

式中: P(H_j)和P(H_j)分别表示H_j为真或假的先验概率; P(C_jH_j)和P(C_jj)分别代表事件H_j为真或假的条件下C_j属于类别y_j的条件概率。

图 5中表示了不同M-APSK调制格式下信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)对系统分类精度的影响。分类器的效率在信噪比大于5 dB时增加，这种优越的性能可以归因于分类器的内部结构的鲁棒性和所提出的特征的优点; 在SNR低于10 dB时，调制状态的量子态数目越少精确度越高; 在SNR为9 dB时，4-APSK、16-APSK和32-APSK调制状态下系统的性能达到最佳; 在SNR为11 dB时，64-APSK调制状态下系统的性能达到最佳。

Figure 5.  Variation cur ves of recognition accuracy and SNR under different M-APSK modulation formats

状态预测阶段，利用已构成的量子态识别分类器对未知量子态进行识别分类，经过多轮预测，Bob向Alice公开部分密钥信息对传输信道进行参数估计，反向协调和保密增强生成最终密钥。

基于本文作者提出的高斯混合模型CVQKD协议，多环M-APSK连续变量量子密钥速率可由下式计算：

式中: Λ(T)为分类器的效率，其取值将随着传输距离的变化而变化; χ_{E, GMM}表示在集体攻击下窃听者Eve通过与量子态相互作用获得的有用信息的Holevo量:

式中: S(ρ_E)=－Tr(ρ_Eln ρ_E)为冯诺依曼熵^[21]; P(y_j)为Bob测量得到的原始密钥y_j的概率; ρ_{E, yj}是Bob测量原始密钥y_j时窃听者Eve拦截的状态。

在传统的离散调制CVQKD协议中，发送方包含m个有限且完整的编码事件A=A_i(i=1, 2, …, m)，Alice随机选择发送给Bob，因离散调制相干态与其二进制的表示是固定的，Bob测量的原始密钥应服从均匀分布，在四态协议与八态协议中即P(y_j)=1/4、P(y_j)=1/8，因此窃听者在截获量子态后可恢复其对应编码；在本文作者提出的方案中，对于编码的对应关系有且仅有Alice知道，通过状态学习阶段Bob学习相对应的编码规则，因此对于窃听者Eve在截获到量子态时，即P(y_j)=1/m→0(m→∞)，很难获取有用的密钥信息。

图 6中呈现了作为传输距离的函数密钥速率的变化曲线，考虑了有限码长效应。参数设置为ε=ε_PA=ε_PE=10^－10; 协调效率β=0.96;过量噪声ξ=0.005SNU，其中, SNU(shot noise unit)为散粒噪声单元; 检测效率η=0.6;调制方差V_A=0.35，且M-APSK星座调制态的连续环从内到外依次包含4、12、16、32、64、128和256个量子态。从图中可以观察到，有限码长效应明显限制了离散调制CVQKD系统在传输距离方面的性能。此外，超过4个环64-APSK的星座大小仅提供在密钥速率方面的低增益；通过增加环的数量可达到更远的传输距离，例如从1个环4-APSK增加到2个环16-APSK(内环4个点，外环12个点)增加了9.78 km，从2个环16-APSK增加到3环32-APSK(内环4个点，中环12个点，外环16个点)，可以观察到增加了13.4 km。因此，通过增加环的数量，可以获得离散调制CVQKD系统的更高性能和效率。

Figure 6.  Key rate of CVQKD protocol with M-APSK modulation considering finite code length effect

图 7中显示了不同M-APSK调制格式下过量噪声对系统量子态识别精度的影响。从图中可以观察到，随着过量噪声的增加，系统量子态分类器的识别精确度呈下降趋势，特别是在过量噪声从0~0.1区间识别精确度急剧下降；过量噪声ξ=0.03SNU时系统的精确度低于0.6，说明本文作者提出的算法在低噪声场景下具备较好的性能。

Figure 7.  Variation curves of system performance and excess noise under different M-APSK modulation formats

图 8中显示出了不同码长效应对系统分类精度的影响。从图中可以观察到，使用较长的编码提取分类特征，提高了正确分类率。例如，当使用码长L=5000个符号时，与码长L=1000个符号相比，在大于5 dB的SNR下，分类准确度的改善几乎超过90%。结果表明，该方法是可行的, 并且分类准确率是信道的SNR和信号中的码长的函数，这种关系是由于基于这些参数所提取的特征值的波动，这可能表明误分类随着较低的SNR和较小的块长度而增加。

Figure 8.  Variation curve of system performance for different code lengths

图 9是在考虑有限码长效应的情况下，在反向协调和集体攻击下基于高斯混合模型分类的离散调制CVQKD协议和传统外差探测下的离散调制CVQKD协议的安全密钥率与传输距离的仿真图。设置协调效率β=0.96，过量噪声ξ=0.005SNU，检测效率η=0.6。仿真结果表明，基于GMM算法的M-APSK调制协议的密钥速率得到提升，当密钥速率为10^-6 bit/symbol时，针对基于GMM算法的32-APSK调制CVQKD协议的传输距离达到48 km，128-APSK调制CVQKD协议的传输距离接近60 km。

Figure 9.  GMM-based M-APSK modulation format CVQKD protocol key rate

基于高斯混合模型的M-APSK离散调制CVQKD协议，可分为两个过程即状态学习和状态预测两个步骤，状态学习用于训练和测试分类器，而状态预测用于生成最终密钥。仿真结果表明，基于高斯混合模型的量子态识别分类器的识别精确度随着过量噪声的增加而下降；当过量噪声ξ=0.005SNU时，基于高斯混合模型的128-APSK离散调制CVQKD协议其传输距离和密钥率的性能随着调制方差的增加有所提升, 安全传输距离可接近60 km。