Optical design of biprism 2-D scanning system for wind LiDAR

在光电探测及跟踪设备，特别是扫描式激光雷达中，2维扫描系统是必不可少的重要组成部分^[1-4]。目前，主流的2维扫描系统是由两个45°反射镜及控制其绕水平和垂直两轴转动的电机构成，以实现出射光束扫描, 该结构相对复杂，不利于整体系统集成。而通过控制两个背对同轴放置的楔形棱镜绕轴转动，理论上可实现在一定空间范围内出射光束的任意扫描，且结构灵巧紧凑、调节快速、光束指向精度受机械传动误差的影响小，能够满足目前多个领域的实际应用需求^{[1, 5-6]}。所以，近年来对双楔形棱镜结构的光束传输特性的研究持续受到科研和工程技术人员的关注。2008年，YANG利用光线追迹法导出了双棱镜旋转角度与光线出射角度的复杂解析式^[7]。同年，LIU等人设计了能在水平和垂直方向进行光束粗调的旋转双棱镜光束扫描系统^[8-10]。2009年，WEI等人利用几何光学和光的标量衍射理论，对旋转双光楔的2维扫描轨迹进行了研究分析^[11]。2011年，LI利用光线追迹法对双棱镜光束指向问题做了理论分析，导出了精确的反向解析式^[12]。2013年，ALEXANDRU等人通过设置旋转双光楔的角度差和速度差实现了不同的扫描模式^[13]。同年，ZHOU等人分别用非近轴光线追迹法和1级近轴近似法推导出了光束指向的正反向解析公式，并对两种方法的推导结果做了对比实验^[14-15]。2017年，ZHANG等人以1级近轴近似矢量合成方法为基础开展了在旋转双棱镜(Risley棱镜)中轴系角度测量精度与光束指向控制精度关系的相关研究^[16]。2020年，LI等人利用1阶近似法和矢量光学法对正反向问题做了分析研究，并针对反向问题验证了两种方法的有效性和精度^[17]。2021年，ZHOU等人基于两步法得出两套反向问题解析解^[18]。

整理归纳现有文献发现，现有研究旋转双光楔(楔角小于0.1 rad的楔形棱镜)光束指向问题的主要方法有1级近轴近似法、非近轴光线追迹法以及矢量光学合成法等。这些方法虽能够求解出精确的光束指向解析式，但是解的形式很复杂，无法从中获得清晰的参数之间关系，不便用于旋转双光楔系统参数优化及性能分析，而近似解对于大楔角的楔形棱镜又不能适用。同时，现有研究没有结合实际的扫描式激光雷达，特别是探测3维风场、飞机尾流和风切变的测风激光雷达所经常采用的扫描模式，即平面位置显示(plan position indicator, PPI)、距离高度显示(range height indicator, RHI)等做针对性的分析。

本文作者首先采用几何光学理论及方法研究了双楔形棱镜的旋转角度和出射光束指向之间的正反向问题，获得了简单的精确解析关系式；然后对楔形棱镜的折射率和楔角分别进行了优化选取和设计，初步分析了大偏转角时光束压缩效应的影响；最后对旋转双楔形棱镜的正反向扫描性能进行了仿真，并以PPI和RHI扫描模式为例，对双楔形棱镜的旋转方式进行了针对性的分析研究。

采用旋转双圆楔形棱镜的光束2维扫描系统结构如图 1所示。该系统主要由两个完全相同(楔角为ε，折射率为n)的圆楔形棱镜Π₁和Π₂及其传动电机M₁和M₂组成，其中Π₁和Π₂共轴且垂直于轴线z的两个面Σ₁和Σ₂, 背对放置，Π₁和Π₂分别由电机M₁和M₂控制, 绕轴线z独立转动。入射光束1沿轴线z依次经过Σ₁′、Σ₁、Σ₂和Σ₂′ 4个折射面，最后从Π₂的倾斜面Σ₂′出射。经过分析可知，随着Π₁的旋转角Φ₁和Π₂的旋转角Φ₂的变化，出射光束2的天顶角γ和方位角Φ可在一定空间范围内任意变化。

Figure 1.  Structure of 2-D beam scanning system based on double rotating round wedge prisms

旋转双圆楔形棱镜的光束指向正向解析问题为：由楔形棱镜Π₁和Π₂绕转轴的旋转角Φ₁、Φ₂，确定出射光束天顶角γ与方位角Φ。如图 2a所示，设定两个倾斜面Σ₁′和Σ₂′平行时为系统初态，此时Π₁和Π₂的对称面重合，设该面为零旋转角度面，Φ₁=Φ₂=0°, 如图 2b所示，利用折射定律可确定光束经由Π₁和Π₂的完整传播轨迹。对图 2b仔细分析后可得光束在Π₁和Π₂中传播轨迹的简单模型，如图 2c所示。图 2c中NN′为共轴线，NP为Σ₂′面的法线，当Π₂绕NN′旋转360°时，NP也将绕NN′旋转360°，此时就会形成一个以NP为母线的圆锥面, AN和BN分别为Σ₂′面的入射光束和折射光束。

Figure 2.  Beam propagation trajectory and its simplified model in double rotating round wedge prisms

在图 2b中，假设Π₁绕轴线NN′转动了角度Φ₁，入射光束1沿NN′轴线从Σ₁′面入射，入射角γ_{i, 1}=ε。根据折射定律及几何关系，经过Σ₁′面折射光束3的偏折角γ_p可表示为：

式中，γ_{r, 1}为折射角。从图中可知，此时光束的传播平面与设定的零旋转角度面的夹角为Φ₁。随后，折射光束3从Σ₁面出射，经过Π₁和Π₂间的平行空气隙后，再入射至Σ₂面。在实际工程设计加工过程中，Σ₁和Σ₂两个面无法做到严格平行，假定该平行误差很小，可忽略其对出射光束角度的影响。显然，折射光束3在经过平行空气隙前后方向未改变，只产生一个与隙厚成正比的平移。假设Σ₁和Σ₂的间距很小，即隙厚很小，可忽略其所产生的光束平移，进入Π₂面的光束仍可用折射光束3表示，即图 2c中的AN。

如图 2c所示，假定Π₂绕轴线NN′转动了角度Φ₂，折射光束3传播至Σ₂′面的入射角和折射角分别为γ_{i, 2}和γ_{r, 2}，显然有sinγ_{r, 2}=nsinγ_{i, 2}。图中令$\overline{N N^{\prime}}$= l，BP =a，AP =c，且有∠N′NP=ε，∠N′NA=γ_p，∠N′NB=γ，∠PNB =γ_{r, 2}，∠PNA=γ_{i, 2}。在△AN′P和△ANP中采用余弦定理可得：

联立上述两式得：

在△BN′P和△BNP中采用余弦定理得：

联立上述两式得：

在△BNP和△ANP中分别采用正弦定理得：

联立上述两式得：

在△BNP和△BNA中分别采用正弦定理得：

联立上述两式得：

联立(10)式、(13)式并化简可得：

根据sinγ_{r, 2}=nsinγ_{i, 2}且γ_{r, 2}≤90°，可得：

将上式代入(14)式、(7)式并整理得到如下两式：

其中：

将(1)式、(4)式代入(16)式，然后再将(1)式、(4)式和(16)式代入(17)式，可先后求得γ(Φ₁, Φ₂)和Φ(Φ₁, Φ₂)两个函数关系式。

旋转双圆楔形棱镜的光束指向反向解析问题为：由出射光束天顶角γ和方位角Φ，确定双圆楔形棱镜Π₁和Π₂的旋转角度。为简便起见，设定Φ₂-Φ₁在[0, π]内变化，则由(16)式得：

根据(17)式得：

联立(4)式、(19)式可得：

将(1)式、(19)式代入(20)式，然后再将(1)式、(20)式代入(21)式，可求得Φ₂(γ, Φ)和Φ₁(γ, Φ)两个函数关系式。

由(4)式可发现：

当Φ₂-Φ₁=π时，γ_{i, 2}取最大值γ_p+ε。此时，为确保折射光束3在Σ₂′面折射后仍能保持正向传播，须满足如下条件：

当(23)式取“=”时，折射光束3将在Σ₂′面发生临界全反射，此时出射光束2的天顶角γ最大，且γ_max= π/2-ε。进一步分析可知，当折射率n和楔角ε的值满足临界全反射条件时，γ的取值范围最大，为[0, γ_max]。在临界条件下，将(1)式代入(23)式可得：

由(24)式可绘出满足临界条件时，折射率n和棱镜楔角ε的变化关系曲线，如图 3所示。显然，楔角ε随着折射率n的增大而逐渐减小。

Figure 3.  Curve of prism wedge angle with refractive index under critical condition of total internal reflection

综上分析可知，为获得一个尽可能大的出射光束径向扫描范围，楔角ε和折射率n的取值在满足(23)式的同时，楔角ε应尽可能小；满足(23)式的楔角ε和折射率n近似成反比例变化关系。因此，为获得大的出射光束扫描范围，双楔形棱镜应尽量选择折射率高的材料制作。本文中以直探式测风激光雷达为例，直探式系统常用的3个工作波长分别为355 nm(高层风场探测，以大气分子为探测目标)、532 nm(兼顾高低层风场探测，以大气分子和气溶胶为探测目标)和1064 nm(低层风场探测，以大气气溶胶粒子为探测目标)。假定便携式多普勒激光雷达的发射波长为532 nm，选取肖特公司的LASF35镧系光学玻璃作为楔形棱镜的制作材料，LASF35在532 nm波长的折射率n达到了2.03。由图 3可得，当n=2.03时，楔角ε=19.5°。此时，出射光束2在理想条件下的天顶角变化范围为0°~70.5°，即仰角变化范围为19.5°~90°。

需要指出的是，上述结论是假定入射光束严格平行的理想条件下得出的。然而，实际入射光束具有一定发散角和口径大小，需要考虑大偏转角时光束压缩效应的影响。容易得出，偏转角越大，压缩效应就越明显。初略估算双楔形棱镜的压缩比(入射光斑与出射光斑的垂直截面积之比)R_CR为：

且有:

式中，Δγ_{i, 1}和Δγ_r，2分别为入射光束发散角和出射光束在折射面上的发散角。R_CR越大，表明压缩效应越显著。压缩效应将使出射光束在某些方向上的发散角增大，远场能量分布区域变宽。扫描式测风激光雷达系统一般为收发同置，压缩效应将导致发射和接收视场均增大，一方面造成系统探测远距离区域的空间分辨率降低；另一方面导致系统接收到的天空背景噪声增大，白天探测信噪比有所下降，风速探测误差增大。因此，为避免光束压缩效应对激光雷达探测性能造成大的影响，需合理限定R_CR的最大值。

将(19)式代入(25)式后可得R_CR与γ的关系，如图 4所示。由图 4可见：随着光束天顶角γ增大，R_CR经历了从缓慢增大到迅速增大的过程。实际中，首先构建R_CR与具体激光雷达探测性能的关系；然后根据探测性能要求确定R_CR的阈值；最后由图 4确定出射光束实际能取得的最大天顶角γ_max。例如：假定Δγ_{i, 1}=0.5 mrad，若要求Δγ_{r, 2}不能超过2 mrad，则R_CR不能超过4，由图可得γ_max=58.7°；若要求Δγ_{r, 2}不能超过3 mrad，则R_CR不能超过6，由图可得γ_max=62.6°。关于压缩比增大对测风激光雷达探测性能影响问题，后续将深入进行定量仿真研究。

Figure 4.  Curve of beam compression ratio with zenith angle of outgoing beam

图 5a和图 5b分别是双圆楔形棱镜Π₁和Π₂的旋转角Φ₁和Φ₂在0°~360°变化时，出射光束的天顶角γ和方位角Φ随它们变化的3维图。图 5b中出现跳变是因为当Φ₂-Φ₁=0°时，光束不发生偏转，沿着轴线出射，Φ取任意值；当Φ₂-Φ₁=0⁺(无限接近0°的正值)时，Φ=Φ₁-90°；当Φ₂-Φ₁=0^-(无限接近0°的负值)时，Φ=Φ₁+90°，这在图 6b中更能清楚地看出。从数学角度讲，这是一个奇异点。由图 5可见：当棱镜楔角ε=19.5°、折射率n=2.03时，通过旋转Π₁和Π₂1圈，即Φ₁和Φ2在0°~360°范围变化，理论上出射光束的天顶角和方位角可分别在[0°, 70.5°]和[0°, 360°]范围任意变化。

Figure 5.  3-D diagram of zenith angle γ and azimuth angle Φ of outgoing beam with rotation angles Φ₁ and Φ₂ of Π₁ and Π₂

Figure 6.  Variation of zenith angle γ and azimuth angle Φ of outgoing beam with rotation angle Φ₁ and rotation angle difference between two prisms Φ₂-Φ₁

为便于分析入射与出射参数的关系特点，绘制出的出射光束天顶角γ和方位角Φ随Π₁的旋转角Φ₁及Π₁与Π₂的旋转角度差Φ₂-Φ₁变化的3维图分别如图 6a、图 6b所示，相应的等高图如图 6c、图 6d所示。由图 6可知，若限定Φ₂-Φ₁在[0°, 180°]变化时，并不会影响出射光束天顶角和方位角的变化范围，而且此时出射光束2的天顶角γ和方位角Φ均是Φ₁和Φ₂的单值单调函数。

图 7a和图 7b中分别给出了出射光束天顶角γ和方位角Φ随两棱镜的旋转角度差Φ₂-Φ1的变化曲线。

Figure 7.  Curve of zenith angle γ and azimuth angle Φ of outgoing beam with Φ₂-Φ₁

设定不同的扫描仰角，即不同的天顶角γ后，棱镜Π₁的旋转角Φ₁及棱镜Π₂的旋转角Φ₂和出射光束方位角Φ的对应变化曲线如图 8所示。由图 8可知：对于确定的γ值，Φ与Φ₁、Φ₂均呈线性关系，且两棱镜的旋转角度差ΔΦ=Φ₂-Φ₁为恒定值；ΔΦ随γ的增大而增大, 如当γ为45°和60°时，ΔΦ分别为120.94°和156.47°。实际中，用来控制Π₁和Π₂转动的两个步进电机M₁和M₂相同，装在电机M₁和M₂转轴上的齿轮(主动齿轮)分别与装在棱镜Π₁和Π₂上的齿轮(被动齿轮)对应啮合，Π₁和Π₂的主被动齿轮完全相同。在该扫描模式下，由设定的扫描天顶角γ计算得到ΔΦ(γ)，先让电机M₂驱动Π₂转动ΔΦ角度；然后再控制两个电机同速匀速转动，转速ω由光束扫描的周期τ决定，即ω=2π/(τG)，其中, G表示主被动轮的齿数比。

Figure 8.  Variation of rotation angles Φ₁ and Φ₂ with azimuth angle Φ under different elevation angles γ in PPI mode

设定不同的扫描方位角Φ后，棱镜Π₁的旋转角Φ₁及棱镜Π₂的旋转角Φ₂和出射光束天顶角γ的对应变化曲线如图 9所示。由图 9可知：对于确定的Φ值，γ与Φ₁、Φ₂均呈近似线性关系；Φ改变时，两条曲线整体上下平移，但曲线形状不变；当Φ从90°增至180°时，两条曲线整体向上平移90°，即曲线上下平移量等于Φ的变化量，且当γ=0°时，Φ₁与Φ₂相等，均为Φ+90°。所以，在该扫描模式下，当定位精度要求不高时，由选定的扫描方位角Φ，先控制两个传动电机M₁和M₂同步驱动Π₁和Π₂旋转Φ+90°；然后再控制M₁和M₂分别以角速度ω₁=K₁γ_max/(τG)和ω₂=K₂γ_max/(τG)匀速转动，其中γ_max为预先设置的最大扫描天顶角，K₁、K₂分别表示对图 9中曲线γ-Φ₁和γ-Φ₂线性拟合时的斜率。在本文中选定参数ε=19.5°、n=2.03的情况下，K₁=-1.27、K₂=1.29，拟合的相关系数R²分别为0.99984和0.99239。K₁为负值，代表电机M₂反向转动。而当定位精准要求很高时，需对曲线γ-Φ₁与γ-Φ₂采用二次项拟合，拟合得到R²分别为0.99999和0.99995，更接近1。结果表明，为提高定位精度，需要程序控制步进电机M₁和M₂作匀变速转动。

Figure 9.  Variation of rotation angles Φ₁ and Φ₂ with zenith angles γ under different azimuth angle Φ in RHI mode

研究了一种结构紧凑、便于集成、可较大范围快速高精度扫描的2维光学扫描系统。该系统核心部件为两个背对共轴放置、可沿轴线旋转的圆楔形棱镜。通过原理分析，给出了双圆楔形棱镜的旋转角与出射光束方位角及天顶角之间的正反向函数关系式。通过优化选择折射率n=2.03@532 nm的镧系玻璃材料和19.5°的棱镜楔角，理论计算得到出射光束的理想扫描范围为0°~360°方位角及0°~70.5°天顶角。然而，系统在实际工作中，出射光束的最大扫描天顶角不仅取决于楔形棱镜的材料折射率和楔角，同时还受限于光束压缩效应对激光雷达探测性能的影响。深入研究发现：固定出射光束的天顶角，两个圆楔形棱镜的旋转角均与其方位角呈严格线性关系；固定出射光束的方位角，两个圆楔形棱镜的旋转角均与其天顶角呈近似线性关系。研究结果表明，通过步进电机控制双圆楔形棱镜的转动速度及方向可使2维扫描系统的出射光束以PPI、RHI等不同模式作精确扫描。该系统成本低、结构小巧、使用方便，尤其适用于需进行光束扫描测量的各种便携式激光雷达设备，如测量3维矢量风场、垂直风剖面或风切变的便携式测风激光雷达等。