Goos-Hänchen shift in graphene-hexagonal boron nitride structure

古斯-汉欣(Goos-Hnchen, GH)位移是指非常窄的光束发生全反射的时候，反射点与入射点不是同一点，于1947年被GOOS和HNCHEN在实验上证实^[1]。古斯-汉欣位移的机理解释主要有两种，它们分别是能流法^[2-3]和稳态相位法^[4]。其中稳态相位法的解释如下：入射光是一系列具有不同波矢方向的单色平面波叠加的有限束宽的光束，当它在界面发生全反射时，不同波矢方向的单色平面波会产生不同的相移，叠加之后就会引起反射光在界面的横向位移。由于其有趣的特性，可应用于较高精确度和灵敏度传感，包括位置传感、温度传感^[5-6]和溶液浓度传感^[7]，从而体现了其极大的应用价值。

GH位移自从被实验证实后就不断被科学家们反复研究^[8-16]。2006年，WANG等人^[9]研究了1维光子晶体中缺陷模附近的GH位移，由于光束的电磁场能量流在缺陷层中呈高度局域化并沿着缺陷层界面方向流动导致了缺陷模附近的GH位移得到显著增强。同年, FAN等人^[11]研究了由石墨烯覆盖的半无限介电常数近零材料的结构在太赫兹波段下反射光束的GH位移，研究发现, 不同偏振态的入射光所产生的GH位移方向也有所不同，不仅如此，此结构的GH位移的大小极度依赖于入射光的频率。2017年, MA等人^[12]研究了宇称-时间(parity-time, PT)对称的多层结构的GH位移，研究发现, 在破缺点和相干完美吸收点下都能实现很大的GH位移，且GH位移的大小还可通过结构层数来进行调节。2018年, WANG等人^[13]研究了在太赫兹波段下石墨烯-介电常数近零材料-石墨烯结构的GH位移，研究发现，此结构的GH位移可通过石墨烯的化学势来进行调节，实现最大的GH位移值约为入射波长的200倍。而石墨烯化学势除了可通过栅电压进行调节之外，还可以通过化学掺杂进行调节，由于此结构的GH位移对石墨烯的化学势很敏感，可根据GH位移来测量石墨烯的掺杂水平。上述的研究皆表明，石墨烯可对各种结构的GH位移实现调控。

六方氮化硼作为天然双曲超材料，具有原子级平整的表面。作为基底，六方氮化硼能够保持覆盖在其表面石墨烯的2维特性，减小因为表面起伏造成的载流子散射^[17]，同时维持石墨烯的电学特性以及支持等离激元-声子极化混合模式的传播。另外，六方氮化硼作为各向异性材料，有着与各向同性材料完全不同的特性。本文中将研究由石墨烯覆盖的半无限六方氮化硼的GH位移，有望得到新颖的特性。

考虑将石墨烯插入介质1和介质2之间，结构模型如图 1所示。其中ε_j(j=1, 2)表示介质的介电常数，θ为入射角，D_r为GH位移。在接下来的分析中，假定介质1为空气，其介电常数ε₁=1，介质2为半无限的六方氮化硼，其介电常数表示为：

式中，ω为入射光的角频率，u=⊥或//，分别表示垂直于光轴所在平面和平行于光轴所在的平面，ε_∞和γ分别代表高频介电常数和阻尼常数，ω_LO和ω_TO分别表示横向和纵向光学声子的共振频率。对于垂直于光轴所在的平面有：ε_{∞, ⊥}=4.87，ω_{LO, ⊥}=1610cm^-1，ω_{TO, ⊥}=1370cm^-1，γ_⊥=5cm^-1；对于平行于光轴所在的平面有：ε_{∞, //}=2.95，ω_{LO, //}=830cm^-1，ω_{TO, //}=780cm^-1，γ_//=4cm^-1。

Figure 1.  Structure diagram of graphene-hexagonal boron nitride

ARTMANN利用稳态相位法对GH位移的物理机制进行了阐述，其所对应的位移量的表达式如下^[4]：

式中，φ_r表示反射相位，可以从反射系数r=|r|e^iφ_r计算出来。经过计算，给出了吸收材料反射光束的古斯-汉欣位移^[18]：

式中，Re[r(θ)]表示反射系数的实部，Im[r(θ)]代表反射系数的虚部。

结构的反射系数可以用传输矩阵方法进行计算。通过单层石墨烯的电磁场可由如下的传输矩阵进行连接：

对于TE波：

对于TM波：

则结构的反射系数可以表示为：

式中，M_ij为矩阵M的矩阵元，ε₀和μ₀分别代表真空的介电常数和磁导率。对于TE波，波矢量在z方向上的分量表示为${k_{1z}} = \sqrt {{\varepsilon _1}k_0^2 - k_x^2} $，${k_{2z}} = \sqrt {{\varepsilon _ \bot }k_0^2 - k_x^2} $；对于TM波，波矢量在z方向上的分量表示为${k_{1z}}\sqrt {{\varepsilon _1}k_0^2 - k_x^2} $，${k_{2z}} = \sqrt {{\varepsilon _ \bot }k_0^2 - \left( {{\varepsilon _ \bot }/{\varepsilon _{//}}} \right)k_x^2} $。

σ表示为石墨烯的电导率，一般由带内跃迁和带间跃迁两部分组成，其表达式如下：

式中, E_f为石墨烯的化学势，τ为弛豫时间，e为元电荷的电荷量，$\hbar $为约化普朗克常量。

六方氮化硼作为单轴各向异性的非铁磁材料，在TM模式下，其布儒斯特角对应的表达式为^[19]：

在下面的计算中，考虑TM模式下反射光的GH位移。由于六方氮化硼的双曲性质均表现在中红外频段，将波数固定为k=820cm^-1(波长λ=12.195μm)。石墨烯最大的优点是其化学势可调，首先研究石墨烯化学势对结构GH位移的影响，如图 2a所示，其中石墨烯的弛豫时间τ=100fs。从图 2a中可以看到，与不含石墨烯的情况相比较(见图 2a中实线)，反射光的GH位移得到明显的增强(见2a中其它类型的线条)。当石墨烯化学势E_f=0.3eV时，如图 2a中黑色的虚线所示，在入射角为60°左右得到一个较大的GH位移，其大小为D_r≈20λ；随着石墨烯化学势的持续增大，达到E_f=0.4eV，如图 2a中黑色的点线所示，GH位移也继续增大，达到最大值D_r≈100λ；当石墨烯化学势增加到E_f=0.5eV时，图 2a中黑色的点虚线所示，GH位移由正值转变为负值，其大小为D_r≈-30λ；当石墨烯化学势增加到E_f=0.6eV时，图 2a中黑色的短点线所示，GH位移开始变小，其值大小变为D_r≈-12λ。为了更好地理解GH位移的物理机制，给出了在不同石墨烯化学势下，反射系数和反射相位随入射角的变化关系，如图 2b和图 2c所示。由(9)式给出六方氮化硼的布儒斯特角，经过计算得到θ_TM=59.91°。由于六方氮化硼的介电常数为复数，除此之外，结构还嵌入了石墨烯，所以导致光在该结构的反射系数取最小值时，其入射角并不完全等于θ_TM。从图 2b可以发现，反射系数模的确是在布儒斯特角附近取一个最小值。从图 2c中可以发现，反射相位在布儒斯特角附近急剧变化。相比于不含石墨烯的情况，加入石墨烯后，反射相位有一个π相位的突变，其中曲线斜率表示为GH位移的大小，斜率越大，则GH位移值就越大。而反射相位随着角度的变化趋势表示GH位移的方向，若反射相位随入射角度变化呈现单调递增，如图 2c中点虚线和短点线所示，结合(2)式可知，其GH位移则为负值；若反射相位随入射角度变化呈现单调递减，如图 2c中实线。虚线以及点线所示，其GH位移则为正值。

Figure 2.  The relationship between the three physical quantity and the incident angle under different chemical potential values of graphene

从(8)式可知，弛豫时间也对石墨烯的电导率也有一定的影响。所以接下来则研究了石墨烯的弛豫时间τ对此结构GH位移的影响，如图 3a所示，其中石墨烯的化学势E_f=0.4eV。当弛豫时间τ=100ps时，如图 3a中虚线所示，在入射角为θ=59.86°时得到最大的GH位移D_r≈106λ；当弛豫时间τ=0.01ps时，如图 3a中实线所示，在入射角为θ=60.6°时得到最小的GH位移D_r≈16λ。相应地，图 3b和图 3c中分别给出了在不同石墨烯弛豫时间值下，反射系数和反射相位与入射角的关系。从图 3b发现，结构的布儒斯特角对石墨烯弛豫时间的变化很敏感。从图 3c发现，反射相位在布儒斯特角附近有一个π相位的突变，3条曲线的相位均从0转变为-π，且都随入射角度的变化呈现单调递减的关系。由此可知：通过改变石墨烯的弛豫时间可以调节GH位移的大小，但不能改变其方向。

Figure 3.  The relationship between the three physical quantities and incident angle under different relaxation time values of graphene

以上的研究针对的是单层石墨烯。对于多层石墨烯，当满足条件石墨烯层数N≤6时，石墨烯之间的相互作用就会特别弱，彼此之间的相互作用可以忽略不计，其电导率则满足σ_total=Nσ的线性关系^[20]。接下来研究石墨烯层数对GH位移的影响，如图 4所示。其中石墨烯的化学势E_f=0.1eV，弛豫时间τ=100fs。对于石墨烯层数时N≤4，结构的GH位移随着层数的增加而增加，且均表现为正值，当N=4时，其GH位移得到最大值为D_r≈70λ；当石墨烯层数N≥5时，结构的GH位移随着层数的增加而减小，且均表现为负值，当N=5时，其GH位移得到负最大值为D_r≈-33λ。研究表明, 石墨烯的层数不仅可以改变此结构GH位移的大小，还能改变其方向。

Figure 4.  The relationship between Goos-Hnchen shift and incident angle under different number of graphene layers

最后讨论在六方氮化硼Ⅰ型双曲区域内(780cm^-1~830cm^-1)其它波数下的GH位移，如图 5所示。其中石墨烯的层数N=1, 弛豫时间分别为τ=100fs。从图 5中可以发现，在波数k=780cm^-1时，石墨烯化学势E_f=0.1eV，在入射角为θ=68.78°下得到的最大GH位移为D_r≈-90λ，如图中黑色实线所示；在波数k=790cm^-1时，石墨烯化学势E_f=0.1eV，在入射角为θ=68.06°下得到的最大GH位移为D_r≈-158λ，如图中虚线所示；在波数k=800cm^-1时，石墨烯化学势E_f=0.1eV，在入射角为θ=66.92°下得到的最大GH位移为D_r≈166λ，如图中点线所示；在波数k=810cm^-1时，石墨烯化学势E_f=0.2eV，在入射角为θ=64.85°下的得到的最大GH位移为D_r≈-450λ，如图中点虚线所示。取最大GH位移下的入射角度不一样是因为布儒斯特角与六方氮化硼的介电常数有关，而六方氮化硼的介电常数由于入射频率有关。随着波数的增大，布儒斯特角会往低角度方向移动。从中可以看到：通过合理调节石墨烯的化学势，在Ⅰ型双曲区域任何一个波数下都能实现一个较大的GH位移。

Figure 5.  The relationship between Goos-Hnchen shift and incident angle under different wavenumbers

本文中主要运用了传输矩阵法研究了TM模式下石墨烯覆盖半无限六方氮化硼结构在中红外频段下的古斯-汉欣(GH)位移，讨论了石墨烯的化学势值、弛豫时间以及层数对此结构的GH位移的影响。研究结果表明：石墨烯的引入可以极大地增强GH位移，通过合理调节石墨烯的化学势和层数，GH位移均可实现从正到负的转变；石墨烯的弛豫时间直接影响GH位移的大小。除此之外，通过合理地调节石墨烯的化学势，此结构在六方氮化硼的Ⅰ型双曲区域内(780cm^-1~830cm^-1)的任何一个波数下，都能任实现一个较大的GH位移，其中在波数k=810cm^-1时能实现的GH位移为D_r≈450λ。此研究结果对于设计全光开关、光学传感器具有重要意义。