Investigation on characteristics of 3-D function photonic crystal

20世纪80年代末，JOHN^[1]和YABLONOVITCH^[2]分别提出了光子晶体(photonic crystals，PC)这个概念。目前，光子晶体已经成为了学界的研究热点，无论是在理论研究上还是在实验研究上都取得了许多令人瞩目的成果。光子晶体是不同类型的介质以一定的拓扑结构在空间中的周期性分布，它是一种人为构建的介质(材料)。显然，根据周期性拓扑结构分布的不同形式，在空间维度上可以将光子晶体划分为^[3]：1维、2维和3维光子晶体。这也使得光子晶体在制造上有不同的方式和方法。光子晶体最大的魅力在于能够产生光子禁带(photonic band gap，PBG)，这种由布喇格散射^[4]形成的特殊区域能够阻止频率位于PBG内的电磁波在光子晶体内部的传播。这一有趣的特性使得光子晶体在微波和光学通信领域中有着广泛的应用前景，可以用来加工制成许多有价值的器件，如滤波器^[5]、全向反射器^[6]、极化分离器^[7]、吸波器^[8]、反射镜面^[9]和天线阵列^[10]等。

然而，常规的介质光子晶体存在着一个致命的缺陷，即PBG的不可调谐性。一旦光子晶体的拓扑结构确定了，得到的PBG频率范围也就不能更改了。可随着人们对微波和光学通信系统中的功能器件的新需求，PBG的可调谐性被逐渐提上“议事日程”。为了达到这个目的，学者们将“可调谐”材料引入到光子晶体中，以得到“可调谐的PBG”。这类“可调谐”材料主要包括超导体^[11]、铁氧体^[12]、等离子体^[13]、半导体^[14]和石墨烯^[15]等。这些材料的最大特点是其物理特性(如介电常数、磁导率)能够被外界参量所操控，如：电压、温度和磁场等。显然，它们与常规介质构成光子晶体时，就能够得到可调谐的PBG。可是用这些“可调谐”材料构成光子晶体且制成实用器件时，不得不面对加工条件苛刻和调控模块复杂等问题。

为了克服这一困难，XIAO, LIU, WU等人提出了函数光子晶体的概念^[16-18]，即光子晶体中包含了折射率大小与空间相关的介质，即在某些特殊情况下折射率或者介电常数是空间坐标的函数，这使得函数光子晶体能够很好地描述介质的非线性过程，可以方便地用光强、电场和磁场等参变量来描述介质的物理特性。函数光子晶体有些特殊的性质，不仅可以获得可调谐的PBG，还可以用于构建全光放大器^[18]，加工简单而且易于实现。相比含“可调谐”材料的光子晶体而言，函数光子晶体能够实现传输系数大于1^[18]，具有更为广泛的应用前景。WU等人主要对1维和2维函数光子晶体的相关特性进行了研究。

但是随着信息技术的发展，未来的全光集成光路都应该是一个复杂的3维结构，而且实际工作的器件本身也是个3维结构。理论上的1维和2维光子晶体结构，在加工成实用器件时也是个有限的3维结构。因此，研究3维函数光子晶体的特性就显得尤为重要了。另一方面，与1维和2维光子晶体相比，3维光子晶体产生的PBG是完全禁带(complete band gap，CBG), 即对TE波和TM波都为禁带，这也使得3维光子晶体具有更为广泛的应用前景, 3维光子晶体的电磁特性研究成为了学界的一个研究热点。LUO等人^[19]对3维金属光子晶体的色散特性进行了研究。ZHANG等人^[20]对3维等离子体光子晶体在不同磁光效应和不同晶格下的电磁特性进行了研究。但从现有发表的文献来看，目前还未见关于3维函数光子晶体电磁特性研究的相关报道。

本文中主要用平面波展开法对3维函数光子晶体的PBG结构进行计算，通过对PBG特性的分析研究3维函数光子晶体的电磁特性。作者研究的3维函数光子晶体采用立方体晶格，由介质球填充空气背景，且介质球的介电常数是空间坐标的函数。研究结果表明，3维函数光子晶体的电磁特性与常规3维介质光子晶体有着明显的不同，禁带的数量、带宽和位置都能通过改变3维函数光子晶体的相关参数来实现，为进一步设计基于3维函数光子晶体的新型功能性器件奠定了理论基础。

3维函数光子晶体的晶格单元如图 1a所示。该光子晶体的晶格结构为立方体晶格，晶格常数为a；该光子晶体由介质球和背景介质组成，介质球的半径为R₁，填充率为f，介电常数为ε_a, 背景介质的介电常数为ε_b。由图 1b可知，立方体晶格的第一不可约布里渊区的高对称点分别为Γ(0, 0, 0)，X(π/a, 0, 0)，M(π/a, π/a, 0)和R(π/a, π/a, π/a)。

Figure 1.  a—schematic structure of unit cell of 3-D function photonic crystal b—the first irreducible Brillouin zone of the unit cell

计算光子晶体的方法有很多，如：时域有限差分方法、频域有限差分方法、传输矩阵法、有限元法和平面波展开法等。平面波展开法(plane wave expansion，PWE)是应用较为广泛的计算方法之一，能够较为便捷地计算1维、2维和3维光子晶体的色散曲线，并得到相应的禁带特性。作者也采用PWE法来求3维函数光子晶体的色散关系。众所周知，电磁波在通过3维函数光子晶体时，电场和磁场的关系同样满足Maxwell方程组。此时，Maxwell方程组可以化简为关于磁场H的方程：

式中，ω表示频率，c表示真空中的电磁波传播速度，r为空间矢量，∇为求取旋转的符号。对于3维函数光子晶体而言，ε(r)是周期函数, 满足:

式中，a_i表示实际空间在x, y, z 3个方向上的分矢量。所以根据Bloch定理，H(r)可以表示为:

式中, k是第一不可约布里渊区波矢，G是倒格矢, $ {\mathit{\boldsymbol{\hat e}}_1} $和$ {\mathit{\boldsymbol{\hat e}}_2} $是垂直于波矢k+G的正交单位矢量, h是介质周期分布经过傅里叶变换后的系数，下标λ表示沿不同倒格矢方向且λ=1, 2。倒格矢可以定义为：

式中, δ_ij是狄拉克函数, b_j是倒格矢空间x, y, z 3个方向的矢量。介质的分布函数ε(r)可以表示为傅里叶变换形式:

式中，G′表示与倒格矢G垂直的一个矢量。下文中，加注“′”均表示与G′相关。η(G)是ε(r)的傅里叶逆变换，G可以用b₁, b₂和b₃来表示，即:

式中，l₁, l₂和l₃是整数。那么η(G)可以表示为:

式中, V为单元结构的体积。如果单元结构中含有n个填充物，那么η(G)可以写为:

式中，η_i(G)表示第i个填充物在位置r_i处的介电常数的傅里叶变换，而对于立方体晶格而言，显然i=1;δ_{G, 0}表示与倒格矢G相关的狄拉克函数。将(3)式和(6)式代入(1)式中可以得到:

式中, ε_{G, G′}^-1=η(G-G′)。显然，要求解(9)式，确定η(G-G′)成为了关键。

式中, 。

(9) 式中的h_{G, λ}可以表示为:

显然，(10)式可以写成关于傅里叶变换系数A(k|G)的方程:

式中, 。对于常规的3维介质光子晶体而言，沿着第一不可约布里渊区边缘求解(12)式，即可以得到色散曲线。而对于3维函数光子晶体而言，求解(10)式将与求解常规3维介质光子晶体的技术略有不同。为了说明该求解过程，ε_a(r)的表达式选取与参考文献[16]中给出的形式相同，即ε_a(r)=I·r+b，其中I与b是常数，这里r为标量。则该3维函数光子晶体介电常数的函数表达式为:

那么，3维函数光子晶体的η(G)根据(10)式可以表示为:

显然，求解(14)式成为了获得3维函数光子晶体的关键。显然，得到(14)式的解析解是非常困难的，可以采用ZHANG等人^[21-22]提出的基于网格剖分的PWE方法来进行计算，当剖分的网格数量足够大时，所得的结果与解析解的相对误差将小于1%^[21-22]。因此，联立(12)式和(14)式就可以得到3维函数光子晶体的色散曲线。值得注意的是，为了提高计算η(G-G′)时的收敛性，可以根据HO等人^[23]提出的方法来实现，即求取ε_{G, G′}的逆来得到。LI^[24]证明该方法不仅正确，而且能很好地回避了介质不连续分布时产生的Gibbs振荡现象。

为了便于研究，频域用ωa/(2πc)进行归一化。3维函数光子晶体的初始参量设为：背景介质为空气，即ε_b=1；晶格结构为立方体晶格；填充的介质球的填充率f=0.48，且其介电常数满足关系式ε_a(r)=I·r+b, (0≤r≤R₁, b=14)。图 2中给出了I=0时，该3维函数光子晶体的带隙结构。由图 2可知，I=0时，该3维函数光子晶体可以等效为一个常规3维介质光子晶体。在频域0~0.38(2πc/a)的范围内，第五能带和第六能带间存在着1个带宽较窄的PBG，其频率范围是0.3304(2πc/a)~0.3328(2πc/a)，带宽为0.0024×(2πc/a)。这主要是因为3维立方体晶格具有很强的对称性，且ε_a的值很小，因此，该3维介质光子晶体不利于得到带宽较大的PBG。该结果与参考文献[25]中的结论相同。

Figure 2.  Band structures of 3-D function photonic crystal with I=0

为了研究3维函数光子晶体的禁带特性，图 3中给出了I≠0且I分别等于-5, 15, 75和90时的3维函数光子晶体的色散曲线。由图 3可知，3维函数光子晶体PBG的位置和数量能够通过改变ε_a(r)中I的大小来进行调谐。由图 3a可知，当I=-5时，在频域0~0.38(2πc/a)的范围内将不存在PBG；但是随着I的增大，如I=15(如图 3b所示)时，3维函数光子晶体有1个PBG，且禁带的上下边缘将发生红移(向低频方向移动)，且此时PBG的带宽得到了明显的拓展，频率范围变为0.28357(2πc/a)~ 0.29274(2πc/a)，带宽为0.00917(2πc/a)。当进一步增大I的值时，如I=75(如图 3c所示)时，此时PBG的数量由1个变成2个，除了在第五能带和第六能带间存在的PBG外(称为PBG Ⅰ)，在频率0.36(2πc/a)附近还会出现一个新的PBG(称为PBG Ⅱ)。此时，PBG Ⅰ覆盖0.19735(2πc/a)~0.20153(2πc/a)，带宽变为0.00419(2πc/a)。而PBG Ⅱ位于0.36984(2πc/a)~0.37781(2πc/a)，带宽为0.00797(2πc/a)。比较图 3c与图 3b中的结果可知，随着I值的增大，PBG Ⅰ的上下边缘不仅发生红移，而且其带宽将变小。同时，PBG的数量同样会随着I值的增大而增加，即由1个变成2个。如果继续增加I的大小(如图 3d所示)，PBG Ⅰ和PBG Ⅱ的上下边缘都将发生红移。PBG Ⅰ和PBG Ⅱ将分别位于0.18571(2πc/a)~0.18942×(2πc/a)和0.34724(2πc/a)~0.35613(2πc/a)，带宽分别为0.00371(2πc/a)和0.00889(2πc/a)。该结果与图 3c相比，PBG Ⅰ的带宽变小了，而PBG Ⅱ的带宽变大了。由图 3a~图 3d中的结果可知，3维函数光子晶体的PBG的大小、位置和数量可以被参量I所调谐。通过对函数系数I的调谐，3维函数光子晶体PBG的带宽不仅能够被拓展，而且PBG的数量也能由1个增加到2个。通过改变函数系数I的大小，3维函数光子晶体的PBG的上下边缘也将发生红移。

Figure 3.  Dispersion curves of 3-D function photonic crystal with different I

为了进一步研究参量I对3维函数光子晶体PBG的影响，图 4中给出了3维函数光子晶体在其它参量不变的情况下，参量I与PBG的关系图及PBG相对带宽与参量I的关系图。相对带宽用δω/ω_i表示，其中δω表示PBG的带宽，ω_i表示PBG的中心频率。由图 4a所示，函数系数I对PBG有明显地调谐作用。随着参量I的增大，3维函数光子晶体的PBG的上下边缘都将向低频方向移动。对于PBG Ⅰ而言，当I > 0时，该3维函数光子晶体更容易产生PBG；当I < 0时，PBG Ⅰ将消失。随着参量I不断地增大，PBG Ⅰ的带宽将先增大后减小。当I=15时，PBG Ⅰ的带宽达到最大，此时PBG Ⅰ的频率范围是0.28357(2πc/a)~0.29274(2πc/a)，带宽为0.00917(2πc/a)。与I=0时相比，PBG Ⅰ的带宽增加了0.00677(2πc/a)。当I的值增加到75时，该3维函数光子晶体的PBG的数目将由1个增加到2个。PBG Ⅱ的带宽变化与PBG Ⅰ类似都是先增大后减小。当I=90时，PBG Ⅱ的带宽达到了最大值，其值为0.00889(2πc/a)，位于0.34724(2πc/a)~0.35613(2πc/a)。与PBG Ⅰ相比，PBG Ⅱ的带宽更大。由图 4b可知，该3维函数光子晶体PBG的相对带宽都是先增大后减小，随着参量I的变化趋势也相同，即先增大后减小。PBG Ⅰ和PBG Ⅱ相对带宽的最大值分别为0.0318和0.0251，此时I分别等于15和90。显然，较I=0时，PBG的相对带宽明显得到了增加。值得注意的是，当I=75时，PBG Ⅰ和PBG Ⅱ的相对带宽相等，该值为0.0207。较PBG Ⅱ而言，PBG Ⅰ相对带宽的最大值更大。

Figure 4.  a—relationship between parameter I and frequency of PBGs b—relationship between parameter I and relative bandwidths of PBGs

为了研究参量R₁对该3维函数光子晶体的影响，图 5中给出了介质球半径R₁与PBG Ⅰ的关系图及PBG Ⅰ相对带宽与介质球半径R₁的关系图。此时I与b的取值分别为15和14。由图 5a可知，改变参量R₁的大小对PBG Ⅰ有明显的调谐作用。当R₁ < 0.4a时，PBG Ⅰ将不会出现，会消失。显然，要得到PBG Ⅰ，介质球要保持一个较大的填充率。随着R₁的增大，PBG Ⅰ的上下边缘将发生红移，PBG Ⅰ的带宽将先增大后减小。PBG Ⅰ带宽的最大值为0.01966×(2πc/a)，此时R₁=0.4324a，PBG Ⅰ的频率范围为0.28941(2πc/a)~0.30907(2πc/a)。与R₁=0.51a时相比，PBG Ⅰ的带宽增加了0.0018(2πc/a)。图 5b中给出了参量R₁与PBG Ⅰ相对带宽的关系图。由图 5b可知，PBG Ⅰ的相对带宽将随着R₁的增大而先增大后减小。当R₁=0.4324a时，δω/ω_i具有最大值，且等于0.0496。与R₁=0.4857a(f=0.48)时相比，相对带宽增加了0.03。因此，介质球的半径R₁对于该3维函数光子晶体而言是一个非常重要的参量，可以人为地对介质球半径的大小进行优化以获得更好的PBG特性。

Figure 5.  a—relationships between parameter R₁ and frequency of PBG Ⅰ b—relationship between parameter R₁ and relative bandwidth of PBG Ⅰ

综上所述，3维函数光子晶体的PBG特性可以通过改变函数系数I和参量R₁的大小进行调谐。改变参量I的大小不仅可以拓展PBG的带宽，而且可以改变PBG的数量，PBG上下边缘的位置也会随之发生变化。改变参量R₁的大小可以对PBG的带宽进行调谐，当R₁超过一定阈值时，3维函数光子晶体的PBG将会消失。值得注意的是，由于本文中采用了对称性较强的立方体晶格结构，而且为了便于计算和分析采用了球形作为介质的填充外形，所以得到的3维函数光子晶体的PBG的带宽和相对带宽都不是很大，当改变函数系数I时，PBG特性的改善也不是很明显。只要采用对称较弱的晶格和介质填充结构来构成3维函数光子晶体，就能够都到更好的PBG特性。

采用PWE方法对3维函数光子晶体的PBG特性进行了研究。该3维函数光子晶体采用立方体晶格，且填充方式为介质球填充空气背景。介质球的介电常数满足关系式ε_a(r)=I·r+b, (0≤r≤R₁, b=14)，推导了用PWE方法计算该3维函数光子晶体PBG的公式，研究了函数系数I和介质球半径R₁对PBG特性的影响。研究结果表明：改变参量I和R₁的大小都能够实现对PBG的调谐。当I < 0时，该3维函数光子晶体将不能产生PBG。随着I的增大，PBG的上下边缘将发生红移, PBG的带宽和相对带宽都将先增大后减小。当I增大到一定值时，PBG的个数目将会由1个增加到2个。因此，改变函数系数I能够实现对PBG上下边缘的位置、带宽和数量进行调谐。改变参量R₁的大小同样能够实现对PBG的调谐。增加R₁的大小，PBG的上下边缘将同样发生红移，PBG的带宽和相对带宽也将先增大后减小。因此，可以人为地通过改变R₁的大小来实现对PBG特性的改善。3维函数光子晶体与常规的3维介质光子晶体相比，不仅能够得到可调谐的PBG，而且能够产生带宽更宽的PBG。显然，研究3维函数光子晶体的PBG特性是非常有意义的，这为设计开发新型微波和光学器件奠定了理论基础。