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随着有限能量Airy光束的生成，因其具有无衍射性、自加速性、自愈性的特点[1-3]，引起了研究人员的广泛兴趣。近年来，在Airy光束的传输轨迹、光束强度、无衍射传输距离、光束特性、光束生成方法等方面[4-11]有了进一步的研究成果, 其中具有自聚焦特性Airy光束的实验实现[12-13]推进了Airy光束在强度方面的研究。自聚焦Airy光束在传播过程中强度几乎保持不变，但在接近焦点(Airy光束自聚焦强度最大的位置)时峰值强度可突然增加几个数量级。Airy光束阵列[14]是自聚焦光束的一类，同样具有强度突增的特性，合成方式简单高效，对其强度方面的研究也是科研人员研究的重点方向。
2010年，HU等人[15]通过仿真和实验证明高斯光束在频域的位移，可以实现对2-D Airy光束峰值强度位置的调控，但对Airy光束阵列强度的调控需要进一步研究。2013年，ZHANG等人[14]在实验上实现了1-D Airy光束阵列合成自聚焦光束，实现了光束强度在焦点的扩展。2014年，CHEN等人[16]研究发现横向尺度因子可以控制Airy光束阵列自聚焦位置处强度的大小。2016年，EZ-ZARIY等人[17]推导了高斯光束阵列, 生成了Airy光束阵列的表达式，并仿真实现了高斯光束阵列到Airy光束阵列的转换。2018年，WU等人[18]通过控制横向尺度因子实现了2-D Airy光束阵列自聚焦位置的移动。2019年，DAFNE等人[19]通过仿真和实验证明: 施加线性和二次扰动因子，可以对Airy光束阵列能量分布实现控制。2022年，XU等人[20]通过对衰减因子、缩放因子的研究，实现了对自聚焦Airy光束强度、聚焦位置等的控制。以上研究表明，通过对光束或相位图不同参数的控制，实现Airy光束阵列强度的控制，在仿真或实验过程中，需要通过软件实时编码控制光束参数或相位图参数、在液晶空间光调制器上实时更换相位图，过程复杂，并且对于一定焦点处Airy光束阵列强度的增强还需要进一步的研究。
本文作者研究了高斯光束在频域上的移动对2-D Airy光束阵列焦点处强度的控制。首先介绍了Airy光束阵列的研究背景、意义；然后理论分析了高斯光束对2-D Airy光束阵列焦点处强度调控的原理；最后分别对2-D Airy光束峰值强度位置的调控、光束阵列的初始光强以及自聚焦过程、2-D Airy光束阵列焦点处强度的增强进行了数值仿真和讨论。该光束阵列调控方法操作简单，在激光光束能量的扩展，以及激光通信信号的稳定、激光医疗等方面具有一定的研究价值。
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2-D Airy光束阵列如图 1所示。由4个单独的2-D Airy光束组成，其中间隔距离2c[21]表示2-D Airy光束阵列的光束间距。
图 1 2-D Airy光束阵列示意图
Figure 1. Schematic diagram of 2-D Airy beam array
以点(c, c)为中心的2-D Airy光束的有限能量函数方程为[1]：
$ \begin{gathered} \phi\left(s_x, s_y, \xi\right)=\phi\left(s_x, \xi\right) \times \phi\left(s_y, \xi\right)= \\ A\left[s_x-\left(\frac{\xi}{2}\right)^2+\mathrm{i} \alpha \xi\right] \times A\left[s_y-\left(\frac{\xi}{2}\right)^2+\mathrm{i} \alpha \xi\right] \times \\ \exp \left[\alpha s_x-\frac{\alpha \xi^2}{2}-\mathrm{i}\left(\frac{\xi^3}{12}\right)+\mathrm{i}\left(\frac{\alpha^2 \xi}{2}\right)+\mathrm{i}\left(\frac{s_x \xi}{2}\right)+\right. \\ \left.\alpha s_y-\frac{\alpha \xi^2}{2}-\mathrm{i}\left(\frac{\xi^3}{12}\right)+\mathrm{i}\left(\frac{\alpha^2 \xi}{2}\right)+\mathrm{i}\left(\frac{s_y \xi}{2}\right)\right] \end{gathered} $
(1) 式中: ϕ()为电场包络；A[·]为Airy函数；sx=(x+c)/x0和sy=(y+c)/y0为无量纲的横向坐标；x0和y0为横向尺度因子；ξ=z/(kx02)为归一化的传输距离，k=2π/λ为波束，λ为真空中波长；α为衰减因子，且0 < α ≪ 1。
因此，根据式(1)，基于旋转矩阵理论[22]生成2-D Airy光束阵列，其函数方程为：
$ \begin{gathered} \mathit{\Phi }\left(s_x, s_y, \xi\right)=\phi\left(s_x, s_y, \xi\right)+\phi\left(s_x, -s_y, \xi\right)+ \\ \phi\left(-s_x, s_y, \xi\right)+\phi\left(-s_x, -s_y, \xi\right) \end{gathered} $
(2) 通过高斯光束在频域的位移原理，实现2-D Airy光束阵列焦点处强度的调控。为了便于理解高斯光束位移的理论，首先考虑1-D Airy光束生成高斯光束的位移，根据式(1)对于1-D有限能量Airy光束在频域的傅里叶谱[1]可以表示为: exp(－αω2)exp[i(ω3－3α2ω－iα3)/3]，其中ω是频域归一化的波数。在频域上移动高斯光束，其傅里叶谱变为exp[－α(ω－ωG)2]×exp[i(ω3－3α2ω－iα3)/3]，而ωG表示高斯光束在频域的归一化位移。因此产生的1-D有限能量Airy光束新的电场包络ϕ1(sx, z)[15]为：
$ \begin{gathered} \phi_1\left(s_x, \xi\right)=f\left(s_x, \xi\right) A\left[s_x-\left(\frac{\xi}{2}\right)^2+\right. \\ \left.\mathrm{i} \alpha\left(\xi-2 \omega_{\mathrm{G}}\right)\right] \exp \left(-\alpha \omega_{\mathrm{G}}{ }^2-\mathrm{i} 2 \alpha^2 \omega_{\mathrm{G}}\right) \end{gathered} $
(3) $ \begin{gathered} f\left(s_x, \xi\right)=\exp \left[\alpha s_x+\mathrm{i} s_x \frac{\xi}{2}+\right. \\ \left.\left(\mathrm{i} \frac{\alpha^2}{2}+\alpha \omega_{\mathrm{G}}\right) \xi+\left(\frac{-\alpha}{2}\right) \xi^2-\mathrm{i} \frac{\xi^3}{12}\right] \end{gathered} $
(4) 从式(3)可以看出, 1-D有限能量Airy光束新的峰值强度位置为ξ－2ωG=0，当ωG=0时，在z=0处光强最大；当高斯光束的位移ωG≠0时，对峰值强度的位置产生变化，所以在频域移动高斯光束对1-D Airy光束的强度分布会产生影响。
类似的，2-D情况下，高斯光束位移后的2-D有限能量Airy光束新的电场包络为ϕ1(sx, z)×ϕ1(sy, z)，高斯光束在(x, y)方向的位移表示为(DG, x, DG, y)，其中DG, x和DG, y分别为高斯光束在x和y方向的归一化位移。2-D Airy光束峰值光束强度位置为$\xi-\sqrt{2} D_{\mathrm{G}}=0$，同样的高斯光束的位移也会影响2-D Airy光束强度分布。根据式(2)以及式(3)，高斯光束位移后的新2-D Airy光束阵列函数为：
$ \begin{gathered} \mathit{\Phi }_1\left(s_x, s_y, \xi\right)=\phi_1\left(s_x, s_y, \xi\right)+\phi_1\left(s_x, -s_y, \xi\right)+ \\ \phi_1\left(-s_x, s_y, \xi\right)+\phi_1\left(-s_x, -s_y, \xi\right) \end{gathered} $
(5) -
典型的Airy光束生成系统如图 2所示。高斯光束首先由液晶空间光调制器加载的相位图调制，然后通过傅里叶变换透镜，焦距为f，在傅里叶透镜的后焦面上生成Airy光束。通常高斯光束、相位图和傅里叶透镜被设置为沿z轴同轴，在傅里叶透镜的后焦面放置CCD相机，用于记录Airy光束的强度模式。如图 3所示，可通过在液晶空间光调制器上加载2-D Airy光束的相位图，在傅里叶透镜的后焦面上生成2-D Airy光束。图中红点表示高斯光束的位置。
图 2 Airy光束生成系统示意图
Figure 2. Schematic diagram of Airy beam generation system
图 3 单个2-D Airy光束相位图及高斯光束在频域的位置示意图
Figure 3. 2-D Airy beam phase diagram and the position of Gaussian beam in frequency domain
根据式(3)和式(4)，对高斯光束在频域位移对2-D Airy光束强度的影响进行仿真分析。图 4为不移动高斯光束(DG, x=DG, y=0)，2-D Airy光束分别在z为0 mm、125 mm、190 mm、250 mm时，光束强度仿真以及对应的3-D图。仿真参数设定为：高斯光束波长λ=1550 nm，x0=80 μm，y0=80 μm，α=0.01，c=0 mm。
图 4 高斯光束无位移时的2-D Airy光束强度
Figure 4. Intensity of 2-D Airy beam without Gaussian beam displacement
如图 4a所示，当在频域不移动高斯光束(DG, x=DG, y=0)时，z=0 mm处无衍射峰值光束强度为0.28，此时2-D Airy光束强度最强；如图 4b所示，2-D Airy光束传播到z=125 mm时，2-D Airy光束强度为0.25，光束强度衰减约10%，2-D Airy光束仍可无衍射传播一段距离；如图 4c所示，2-D Airy光束传播到z=190 mm时，2-D Airy光束强度为0.21，光束强度衰减约25%，此时光束强度衰减超过无衍射传播距离的18%，对于在激光通信应用研究中，光束强度受大气湍流影响[23-27]，接收端光束强度减弱，影响信号的接收；如图 4d所示，2-D Airy光束传播到z=250 mm时，2-D Airy光束强度为0.17，相较于图 4a，此时光束强度衰减了约40%。从图 4e~图 4h的3-D仿真图可以明显地看出, 随着传播距离的增加，2-D Airy光束强度在衰减。通过对高斯光束在频域的位移仿真了2-D Airy光束峰值强度位置的变化，在激光通信应用中，可以在一定距离内使峰值光束强度传播到接收端。
图 5为移动高斯光束(DG, x=DG, y=4)，2-D Airy光束分别在z为0 mm、125 mm、190 mm和250 mm时，光束强度仿真以及对应的3-D图。将初始光强衰减18%时的传输距离，作为2-D Airy光束的无衍射传输距离[23]。如图 5a所示，当移动高斯光束(DG, x=DG, y=4)时，在z=0 mm处峰值光束强度为0.20，与图 4a相比，光束强度衰减，峰值光束强度的位置发生了改变，不再位于初始距离处；如图 5b所示，调控后的2-D Airy光束传播到z=125 mm时，此时2-D Airy光束强度为0.26，光束强度随传播距离的增加而增加；如图 5c所示, 在z=190 mm时，2-D Airy光束强度为0.28，恢复峰值光束强度，通过高斯光束在频域的位移实现了2-D Airy光束峰值强度位置的变化，利用高斯光束的位移调控，可以将峰值强度传播到目标点；如图 5d所示, 调控后的2-D Airy光束传播到z=250 mm时，2-D Airy光束强度为0.27，仍然保持了2-D Airy光束的特性，可在此基础上继续无衍射传播一段距离。从图 5e~ 图 5h对应的3-D仿真图可以明显地看出, 高斯光束位移后2-D Airy光束峰值强度位置的变化，并且峰值光强恢复后2-D Airy光束继续无衍射传播，不影响2-D Airy光束的特性。
图 5 高斯光束有位移时的2-D Airy光束强度
Figure 5. Intensity of 2-D Airy beam with Gaussian beam displacement
由公式$\xi-\sqrt{2} D_{\mathrm{G}}=0$可知，随着高斯光束的位移，峰值光束强度的位置逐渐远离初始位置z=0 mm。如图 6所示, 仿真在z=190 mm时，高斯光束不同位移对2-D Airy光束强度有影响。从图中可以看出，随着高斯光束位移的增加，在z=190 mm处2-D Airy光束强度不断增强，直至恢复无衍射峰值光束强度，但是高斯光束的移动范围需在相位图大小的范围内。
图 6 高斯光束的不同位移对2-D Airy光束强度影响
Figure 6. Effect of different displacements of Gaussian beam on the intensity of 2-D Airy beam
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对2-D Airy光束阵列的自聚焦特性以及初始光强进行仿真分析。2-D Airy光束阵列的相位图如图 7所示。将图 2的Airy光束生成系统中相位图换成图 7的2-D Airy光束阵列相位图，在傅里叶透镜的后焦点生成2-D Airy光束阵列。
图 7 2-D Airy光束阵列的相位图
Figure 7. Phase diagram of 2-D Airy beam array
根据式(5)对2-D Airy光束阵列自聚焦过程进行仿真，c=1 mm，DG, x=DG, y=0，如图 8所示。图 8分别是z为0 mm、125 mm、180 mm和190 mm时, 2-D Airy光束阵列强度的仿真以及对应的3-D图，可以更直观地对光束强度进行观察。
图 8 2-D Airy光束阵列自聚焦过程示意图
Figure 8. Schematic diagram of the self-focusing process of 2-D Airy beam array
图 8a在z=0 mm处，2-D Airy光束阵列的4个2-D Airy光束主瓣都指向阵列中心，且每个主瓣中心到阵列中心的距离相同，从图 8a对应的3-D图可以看出，每个2-D Airy光束强度为0.28，与图 4a中2-D Airy光束在z=0 mm时的光束强度一致，2-D Airy光束阵列中的单个2-D Airy光束仍然保持了2-D Airy光束的特性。
图 8b为传播一段距离后，在z=125 mm处的光束聚焦情况，可以看出，相较于在z=0 mm，光束间隔变小，但光束还未接触，4个2-D Airy光束仍保持各自的光学特性，继续向阵列中心传播。将图 8e和图 8f做比较，在传播125 mm后，因2-D Airy光束的无衍射性，在聚焦之前，4个2-D Airy光束基本保持其初始强度。
如图 8c所示，在光束传播到z=180 mm时，4个2-D Airy光束相互接触, 但还未融合; 如图 8g所示，此时Airy光束阵列强度还未突增。
如图 8d所示，在光束传播到z=190 mm时，4个2-D Airy光束相互融合完成了自聚焦，此时光束强度突增为0.56，与图 4c和图 5c相比，实现了2-D Airy光束阵列强度在焦点的提高。此时，在经过4个2-D Airy光束传输一段距离后实现的自聚焦光束初始强度为0.85。
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从图 4和图 5可以看出, 通过对高斯光束在频域的位移调控，仿真实现了2-D Airy光束峰值强度位置的变化；从图 8可以看出, 2-D Airy光束阵列的自聚焦可以在焦点实现光束强度的突增，相比单个2-D Airy光束强度更高，但在焦点完成自聚焦之前，阵列中每个2-D Airy光束仍要传播一段距离才能完成自聚焦，随着阵列中每个2-D Airy光束的传播，光束强度会损失一部分，通过对高斯光束在频域的位移调控可实现2-D Airy光束阵列焦点的强度的增强。图 9为高斯光束在2-D Airy光束阵列频域的位移示意图。图中红点表示高斯光束的位置，箭头表示高斯光束的位移方向。
图 9 高斯光束在2-D Airy光束阵列频域的位移示意图
Figure 9. Schematic diagram of the displacement of Gaussian beam in frequency domain of 2-D Airy beam array
在频域移动高斯光束时，2-D Airy光束阵列各象限光束强度调控的仿真结果如图 10所示。在第一象限沿45°方向移动高斯光束(DG, x=DG, y=d，d>0)，当高斯光束发生位移时，对于4个象限中每个2-D Airy光束的位移都不同。下面首先仿真了高斯光束位移(DG, x= DG, y=1)时，在z=0 mm初始平面处，对每个象限中的2-D Airy光束强度的影响，图 10分别是2-D Airy光束阵列在第一象限、第二象限、第三象限、第四象限的光束强度仿真图，以及对应的2-D Airy光束阵列强度的3-D图。
图 10 高斯光束位移DG, x=DG, y=1时，2-D Airy光束阵列各象限强度的仿真
Figure 10. Intensity of each quadrant of 2-D Airy beam array at Gaussian beam displacement DG, x=DG, y=1
如图 10所示，高斯光束位移DG, x=DG, y=1时，第一象限的2-D Airy光束强度为0.281；第二象限2-D Airy光束强度为0.270；第三象限2-D Airy光束强度为0.259；第四象限2-D Airy光束强度为0.271，高斯光束位移对2-D Airy光束阵列中的每个光束强度产生不同的影响，从而在频域位移不同距离的高斯光束对焦点处自聚焦的2-D Airy光束阵列强度产生不同影响。
通过高斯光束的位移可以控制2-D Airy光束阵列焦点的强度，图 11为移动高斯光束，即(DG, x, DG, y)取不同值时, 在z=190 mm 2-D Airy光束阵列自聚焦处，Airy光束阵列强度的仿真结果以及对应的3-D仿真结果。
图 11 高斯光束位移后2-D Airy光束阵列焦点的强度仿真
Figure 11. 2-D Airy beam array intensity in focus simulation after Gaussian beam displacement
从图 8d可以看出, 在不移动高斯光束，即DG, x= DG, y=0、z=190 mm时，2-D Airy光束阵列强度为0.85。如图 11a所示, 移动高斯光束，DG, x=DG, y=1，2-D Airy光束阵列自聚焦强度为0.96；如图 11b所示，DG, x=DG, y=2，2-D Airy光束阵列自聚焦强度为1.04；如图 11c所示，DG, x=DG, y=3，2-D Airy光束阵列自聚焦强度为1.1。随着高斯光束的移动，对焦点处自聚焦的2-D Airy光束阵列强度进行了调控，实现了2-D Airy光束阵列强度的增强。
因2-D Airy光束阵列中每个光束在自聚焦之前保持了Airy光束的光学特性，通过高斯光束位移对每个2-D Airy光束强度的调控，实现了2-D Airy光束阵列焦点处强度的调控，在2-D Airy光束阵列焦点固定的情况下，可灵活方便地对2-D Airy光束阵列强度进行调控，且过程简单。
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因Airy光束的无衍射特性，对大气湍流具有一定的抑制能力，2-D Airy光束阵列强度的调控使焦点汇聚的能量更强，为光束抵抗大气湍流提供了一种新的方法，通过模拟2-D Airy光束阵列强度在大气湍流中的调控，分析了此方法对2-D Airy光束阵列光强的影响，如图 12所示，模拟了湍流条件下2-D Airy光束阵列强度调控的效果。
图 12 中等湍流条件下，2-D Airy光束阵列焦点强度的仿真图
Figure 12. Simulation of focal intensity of 2-D Airy beam array under moderate turbulence conditions
通过功率谱反演法生成随机湍流相位屏，将2-D Airy光束阵列通过生成的随机湍流相位屏，进行大气湍流的强度仿真，仿真参数为：大气折射率结构常数Cn2=8×10－14 m－2/3，x0=11 mm，y0=11 mm，λ=1550 nm，c=1 mm，α=0.01，光束在1 km处聚焦。图 12为中等湍流强度下，在z=1 km 2-D Airy光束阵列自聚焦处，Airy光束阵列强度仿真图以及对应的3-D仿真结果。如图 12a所示，没有湍流、不移动高斯光束、DG, x=DG, y=0和z=1 km时, 2-D Airy光束阵列强度为1.09;此时在不移动高斯光束的情况下，加入湍流，光束强度仿真结果如图 12b所示，2-D Airy光束阵列强度为0.85，因为大气湍流的影响，光束强度降低；通过移动高斯光束, 使DG, x=DG, y=1.43，如图 12c所示，在z=1 km处，加入湍流的情况下，2-D Airy光束阵列自聚焦强度增强为1.03，提高了2-D Airy光束阵列抵抗大气湍流的能力，使光束在焦点处的强度增强。
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理论分析了2-D Airy光束阵列焦点处强度调控的原理，并对其进行了仿真研究。通过仿真发现：在高斯光束的调控下，2-D Airy光束峰值强度可以由初始位置z=0 mm处调控到z=190 mm处，实现了对2-D Airy光束峰值强度位置的调控；在2-D Airy光束峰值强度调控的基础上，对2-D Airy光束阵列焦点处的强度实现了增强，在未调控的情况下，2-D Airy光束阵列焦点处的初始光强为0.85，经过高斯光束在频域的调控，焦点处的光强增加为1.1，实现了2-D Airy光束阵列焦点处强度的增强；大气湍流条件下，通过强度调控，在z=1 km处2-D Airy光束阵列强度由0.85增强到1.03，对抵抗大气湍流具有一定的作用，在激光通信增强接收端信号方面具有重要的研究价值。
2维Airy光束阵列强度的调控技术研究
Research on the technique of regulating the intensity of 2-D Airy beam array
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摘要: 为了控制2-D Airy光束阵列在焦点的强度, 利用高斯光束在频域移动可以进行调控的原理, 对其在大气湍流中的效果进行了仿真。结果表明, 通过高斯光束在频域的位移, 实现了2-D Airy光束阵列焦点处强度从0.85增强到1.1, 且操作灵活方便, 不需要通过重复编码相位图增加光束数目就可增强光束在焦点的强度; 在中等湍流强度下, 光束强度可从0.85增强到1.03。该研究对激光在大气中抵抗大气湍流、提高激光通信的质量, 具有一定的参考意义。Abstract: In order to control the intensity of the 2-D Airy beam array at the focal point, a simulation study was conducted using the principle of modulation of the Gaussian beam moving in the frequency domain. The results show that the intensity enhancement from 0.85 to 1.1 at the focal point of the 2-D Airy beam array is achieved by shifting the Gaussian beam in the frequency domain, and the operation is flexible and convenient without increasing the number of beams by repeatedly encoding the phase diaphragm to enhance the intensity of the beam at the focal point, and its effect in atmospheric turbulence is simulated, beam intensity enhancement from 0.85 to 1.03 at moderate turbulence intensity. The modulation is of research significance for the laser to resist atmospheric turbulence in the atmosphere and improve the quality of laser communication.
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Key words:
- physical optics /
- Airy beam /
- intensity modulation /
- beam array
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图 3 单个2-D Airy光束相位图及高斯光束在频域的位置示意图
Figure 3. 2-D Airy beam phase diagram and the position of Gaussian beam in frequency domain
图 4 高斯光束无位移时的2-D Airy光束强度
Figure 4. Intensity of 2-D Airy beam without Gaussian beam displacement
图 5 高斯光束有位移时的2-D Airy光束强度
Figure 5. Intensity of 2-D Airy beam with Gaussian beam displacement
图 6 高斯光束的不同位移对2-D Airy光束强度影响
Figure 6. Effect of different displacements of Gaussian beam on the intensity of 2-D Airy beam
图 8 2-D Airy光束阵列自聚焦过程示意图
Figure 8. Schematic diagram of the self-focusing process of 2-D Airy beam array
图 9 高斯光束在2-D Airy光束阵列频域的位移示意图
Figure 9. Schematic diagram of the displacement of Gaussian beam in frequency domain of 2-D Airy beam array
图 10 高斯光束位移DG, x=DG, y=1时，2-D Airy光束阵列各象限强度的仿真
Figure 10. Intensity of each quadrant of 2-D Airy beam array at Gaussian beam displacement DG, x=DG, y=1
图 11 高斯光束位移后2-D Airy光束阵列焦点的强度仿真
Figure 11. 2-D Airy beam array intensity in focus simulation after Gaussian beam displacement
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