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随着5G、大数据和云计算等现代技术的快速发展[1]，全球互联网流量正在急速增长。由于传统单模光纤的非线性效应，其系统容量已达到香农极限[2]，不能应对目前的“容量危机”，因此必须寻找新的复用维度，即空间维度。空分复用在光纤领域的主要实现技术方法有两种，即基于多芯光纤的空分复用技术[3-4]和基于少模光纤的模分复用技术[5-6]。基于少模光纤的模分复用技术可以极大地扩展通信容量，但同时传输过程中会出现模式耦合、差分模式群时延(differential mode group delay，DMGD)、色散等问题，从而影响接收数据的准确性[7-8]。将无线领域的多输入多输出(multiple-input multiple-output，MIMO)均衡[9-10]思想引入光纤领域，可以有效解决这一问题。常用的MIMO均衡算法有递推最小二乘法(recursive least square，RLS)算法、最小均方(least mean square，LMS)算法和恒模算法(constant modulus algorithm，CMA)，RLS和LMS是非盲均衡算法，需要训练序列，而CMA是盲均衡算法，不需要训练序列。CMA根据发送信号的统计量就可迭代更新均衡器的抽头系数，实现信号的恢复，这是它的一大优势。CMA被广泛应用于恒模信号[11]，效率高、实时性好、具有良好的收敛性[12]。
目前已有大量的工作研究CMA算法在各类系统中的应用。例如，ZHANG等人[13]在典型的电话信道上研究比较CMA和变步长CMA的性能，变步长CMA能较好地平衡收敛速度和剩余误差。XUE等人[14]在无线信道上比较CMA和修正的恒定模数算法(modified constant modulus algorithm，MCMA)的均衡效果，结果表明，MCMA可以加快收敛速度。QIN等人[15]研究CMA对100 Gbit/s双偏振正交相移键控(dual-polarization quadrature phase shift keying，DP-QPSK)光信号传输系统中色散的补偿作用，证明该算法具有良好的收敛性能和收敛速度。JIN等人[16]建立2×2的弱耦合少模复用系统，并利用频域CMA和MCMA算法进行均衡，结果表明，频域CMA和MCMA算法均适用于模分复用系统的均衡，并且频域MCMA的均衡性能优于频域CMA。不同于参考文献[16]，本文中采用强耦合6模复用系统，发送端模式数增加，需要将时域CMA和MCMA算法扩展为12×12的MIMO结构，另外由于相同滤波器权值和迭代步长下，强耦合使算法收敛难度增大，因此, 需要利用传输参数对均衡滤波器进行粗略初始化，并重新调整滤波器权值和迭代步长。
本文作者采用具有强模式耦合的3模光纤作为传输通道。在考虑色散、群延迟和模式串扰的前提下，研究在模分复用系统中CMA和MCMA对输出信号均衡性能的影响，其中传输信号由3个双偏振的正交相移键控信号组成，光纤通道为3模光纤。
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经过CMA均衡后的输出信号可能存在一定的相位误差，单独使用时，需要加入相位恢复模块。MCMA可以修正CMA造成的相位旋转，同时能在误比特率方面得到一定改善。本文作者在基于强耦合少模光纤的模分复用系统中比较了CMA和MCMA的均衡效果。接下来分别对两种算法的原理进行介绍。
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CMA的基本思想[17]如下：恒模信号通过理想光纤信道传输后仍具有恒模特性，但实际的光纤信道存在损耗、色散等损伤，需要使用算法更新均衡器的抽头系数，使信号重新具有恒模特性。
图 1所示是CMA的示意图[18]。图中，x(n)表示发送信号，h(n)表示传输信道的脉冲响应，n(n)表示加性高斯白噪声，y(n)表示经过信道传输后的接收信号，即均衡器的输入信号，w(n)表示均衡器的抽头系数，z(n)表示均衡器的输出信号，(n)表示判决器的输出信号。
CMA的代价函数为[19]：
$ J(n)=E\left[\left(|z(n)|^2-R_2\right)^2\right] $
(1) 式中：E[·]是期望函数；R2为CMA模值，是一个常数。R2可表示为：
$ R_2=\frac{E\left[|x(n)|^4\right]}{E\left[|x(n)|^2\right]} $
(2) 由式(1)可知，代价函数只包含了接收信号的幅度信息，没有包含相位信息。因此，发送信号通过复数信道后会出现相位偏移。
误差函数表示为：
$ e(n)=z(n)\left(|z(n)|^2-R_2\right) $
(3) 根据梯度下降法，可得均衡器w(n)的权向量迭代过程如下：
$ \begin{gathered} w(n+1)=w(n)-\mu \cdot \nabla J(n)= \\ w(n)-\mu \cdot z(n)\left(|z(n)|^2-R_2\right) \cdot y^*(n)= \\ w(n)-\mu \cdot e(n) \cdot y^*(n) \end{gathered} $
(4) 式中：μ表示迭代步长; y*(n)表示对y(n)进行共轭运算。CMA的迭代步长μ是常数，其大小决定算法的收敛速度。
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MCMA算法的原理是把式(1)的代价函数的实虚部分开，再分别计算[20]：
$ J(n)=\operatorname{Re}(J(n))+\operatorname{Im}(J(n)) $
(5) 其中：
$ \operatorname{Re}(J(n))=E\left[\left(|\operatorname{Re}(z(n))|^2-\operatorname{Re}\left(R_2\right)\right)^2\right] $
(6) $ \operatorname{Im}(J(n))=E\left[\left(|\operatorname{Im}(z(n))|^2-\operatorname{Im}\left(R_2\right)\right)^2\right] $
(7) 式中：Re(·)和Im(·)分别表示实部、虚部。Re(R2)、Im(R2)可以表示为：
$ \operatorname{Re}\left(R_2\right)=\frac{E\left[|\operatorname{Re}(x(n))|^4\right]}{E\left[|\operatorname{Re}(x(n))|^2\right]} $
(8) $ \operatorname{Im}\left(R_2\right)=\frac{E\left[|\operatorname{Im}(x(n))|^4\right]}{E\left[|\operatorname{Im}(x(n))|^2\right]} $
(9) 误差函数定义如下：
$ e(n)=\operatorname{Re}(e(n))+\operatorname{Im}(e(n)) $
(10) $ \begin{gathered} \operatorname{Re}(e(n))= \\ \operatorname{Re}(z(n))\left[|\operatorname{Re}(z(n))|^2-\operatorname{Re}\left(R_2\right)\right] \end{gathered} $
(11) $ \begin{gathered} \operatorname{Im}(e(n))= \\ \operatorname{Im}(z(n))\left[|\operatorname{Im}(z(n))|^2-\operatorname{Im}\left(R_2\right)\right] \end{gathered} $
(12) MCMA的代价函数同时包含信号的幅度和相位信息，能够有效修正信号经过复信道后引起的相位旋转。
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收敛速度和均方误差(mean square error，MSE)是盲均衡算法的两个主要性能指标[21]，这两个指标都可以从MSE曲线得到。通常情况下，MSE被定义为期望数据和均衡后数据对应点误差的平方和的均值，用σ表示，表达式如下：
$ \sigma(n)=E\left[e^2(n)\right]=E\left\{[\hat{z}(n)-z(n)]^2\right\} $
(13) 在CMA和MCMA算法中，σ(n)一般定义为e(n)。
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为了分析CMA和MCMA的性能，利用VPI仿真软件，基于功率耦合理论搭建了一个3模模分复用系统，系统结构如图 2所示。在仿真中，6×56 Gbit/s的DP-QPSK信号通过模式复用器在具有LP01、LP11, a和LP11, b光纤模式的3模光纤中传输，3种模式之间只发生强耦合。该系统的传输距离为80 km，光信号在传输过程中还受到色度色散、偏振模色散和模式群时延的影响，具体参数值如表 1所示。最后，信号经过一个放大器和一个模式解复用器，接收机得到受损信号。在本次仿真中，激光器线宽被设置为100 kHz。
图 2 基于少模光纤的模分复用系统
Figure 2. Mode-division multiplexing system model based on few-mode fiber
表 1 参数设置
Table 1. Parameter settings
parameter name parameter value bit rate 56 Gbit/s bit sequence length 32768 total fiber length 80 km fiber dispersion coefficient 20 ps/(nm·km) polarization mode dispesion 0.05 ps/(km)1/2 DMGD (LP11, a, LP11, b-LP01) 130 ps/km 对于传输后的受损信号需要进行一系列数字信号处理(digital signal processing，DSP)，才能恢复原始信号，主要包括模数转换(analog-to-digital converter，ADC)、色散补偿(CD compensation)、MIMO均衡和载波相位估计(carrier phase estimation)。DSP的实现流程如图 3所示。其中，MIMO均衡是本文中的研究重点。
图 3 DSP流程图
Figure 3. Flow chart of DSP
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CMA对接收端的受损信号进行均衡补偿，其中传输信号为DP-QPSK信号，光信噪比(optical signal-to-noise ratio，OSNR)为20 dB。算法的稳态误差大小和收敛速度快慢受迭代步长的影响。图 4所示是选择不同迭代步长时CMA的MSE曲线。其中均衡器的长度为122，迭代步长分别为0.0007、0.0005和0.0001。为方便起见，这里只显示LP01, x的MSE曲线。
图 4 不同迭代步长的CMA算法曲线图
Figure 4. Convergence curves of CMA for different iteration steps
由图 4可知，当迭代步长较大时，收敛速度较快，但稳态误差也较大; 当迭代步长较小时，稳态误差小，但收敛速度也较慢。因此，在选择迭代步长时，需要在收敛速度和稳态误差之间权衡。
图 5所示是使用CMA均衡前后的信号星座图的比较结果。基于上述分析，步长选择为0.0005，均衡器的长度为122。
图 5 信号星座图
Figure 5. Signal constellation diagram
图 5a描述了均衡前的接收信号的星座图。在色散、模式耦合和模式时延的影响下，6个信号都出现了严重的振幅和相位失真，信号星座点分散，信息无法被有效传输。图 5b显示了CMA均衡后信号的星座图。与图 5a相比，CMA成功恢复了模式信号。计算了星座图的色散程度，即计算4个相位状态中每个相位的均方根误差(root mean square error，RMSE)，结果如图 6所示。图 6中的数值表明，RMSE值都接近0.2，低于最大值2，可以判断6路模式信号的RMSE值很小，说明数据比较集中。
图 6 不同模式的RMSE值
Figure 6. RMSE values for different modes
下面将MCMA的均衡性能与CMA的均衡性能进行比较，其中传输信号为DP-QPSK信号，OSNR为19 dB，选择的步长为0.0005，均衡器的长度为122。
图 7所示是分别使用CMA和MCMA均衡后的MSE收敛曲线。比较结果可知，使用MCMA均衡产生的稳态误差较小。为方便起见，只显示LP11, a, y的MSE曲线。
图 7 CMA和MCMA收敛性能的比较
Figure 7. Comparison of CMA and MCMA convergence performance
图 8a所示是使用CMA均衡后的信号星座图，可以看出，信号基本恢复，但仍有大量散点。图 8b所示是使用MCMA均衡后的信号星座图，比较可知，星座图散点减少，信号恢复更理想。
图 8 均衡后信号星座图
Figure 8. Constellation diagrams after equalization
接下来，继续用RMSE来衡量CMA和MCMA均衡后的星座图的离散程度，如图 9所示。比较图 9a和图 9b可以看出，MCMA均衡后的信号的离散程度比CMA均衡后的信号低，数据更集中。
图 9 CMA, MCMA均衡后不同模式的RMSE值
Figure 9. RMSE values for different modes after CMA, MCMA equalization
图 10所示是CMA和MCMA分别用于均衡时，误比特率(bit error rate，BER)随OSNR的变化曲线。在相同的OSNR下，MCMA在误比特率方面优于CMA；对于10-3的误比特率，CMA需要17.5 dB，MCMA需要16.6 dB，即MCMA比CMA提高了0.9 dB。
图 10 80 km传输距离下平均误比特率与光信噪比
Figure 10. Average BER vs. OSNR at 80 km transmission distance
当传输距离增加到120 km，对CMA和MCMA均衡性能进行了比较，如图 11所示。随着传输距离的增加，系统误比特率随之增大，但与CMA相比，MCMA仍能提高系统性能。对于10-3的误比特率，CMA需要18.6 dB，而MCMA需要17.6 dB，即MCMA与CMA相比有1.0 dB的改善。
图 11 120 km传输距离下平均误比特率与光信噪比
Figure 11. Average BER vs. OSNR at 120 km transmission distance
DMGD的大小会影响模分复用系统的信号传输质量。当选定传输距离为100 km，比较了DMGD长度对性能的影响，如图 12所示。随着DMGD从130 ps/km增加到260 ps/km，系统性能有所下降，但MCMA在误比特率方面仍然优于CMA。这表明在DMGD方面，MCMA比CMA有更好的均衡性能。
图 12 100 km传输距离下平均误比特率与光信噪比
Figure 12. Average BER vs. OSNR at 100 km transmission distance
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利用VPI仿真平台建立强耦合6×6模分复用系统并传输DP-QPSK信号，在接收端应用CMA和MCMA算法对信号进行均衡，通过增加传输距离和DMGD，比较了CMA和MCMA的均衡效果。结果表明，MCMA的均衡效果优于CMA，主要体现在收敛曲线、RMSE和误比特率方面。与CMA相比，MCMA可以得到较小的稳态误差和较小的RMSE值。此外，对于10-3的误比特率，MCMA与CMA相比表现出约1.0 dB的改善。研究结果还表明，在长距离模分复用系统中，CMA是一种有效的对抗强模式耦合的均衡算法，而MCMA的均衡效果优于CMA。
模分复用系统中盲均衡算法的均衡性能研究
Research on equalization performance of blind equalization algorithms in mode-division multiplexing system
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摘要: 恒模算法(CMA)是一种广泛应用于模分复用系统的算法, 可对系统中模式耦合、差分模式群时延和色散等损伤因素进行均衡补偿, 进而得到理想信号。为了研究CMA算法在强耦合模分复用系统中的均衡性能, 采用功率耦合理论搭建6×6模分复用系统模型, 并在接收端使用CMA和修正的恒定模数算法(MCMA)对系统输出信号进行均衡, 获得了星座图、均方根误差(RMSE)值和误比特率(BER)。结果表明, 在星座图方面, MCMA可以减少散点, 使星座点更紧凑; 在RMSE方面, MCMA均衡后的信号的RMSE值小于CMA均衡后得到的RMSE值, 说明MCMA均衡后的数据离散程度较低; 在BER方面, 当BER为10-3时, MCMA要求的光信噪比比CMA低1.0 dB, 因此, MCMA的均衡效果优于CMA。该研究结果为强耦合模分复用系统中的均衡算法提供了一些参考。Abstract: The constant modulus algorithm (CMA) is a popular algorithm for mode-division multiplexing systems to equalize and compensate for impairments such as mode coupling, differential mode group delay, and dispersion in the system to obtain the desired signal. In order to study the equalization performance of the CMA in the strong coupling mode-division multiplexing system, the power coupling theory was used to build a 6×6 mode-division multiplexing system model and use the CMA and modified constant modulus algorithm (MCMA) at the receiving end to equalize the system output signal and obtain the constellation diagrams, root mean square error (RMSE) values and bit error rate (BER). The results show that in terms of the constellation diagram, MCMA can reduce scatter points and make constellation points more compact; in terms of RMSE, the RMSE value of the signal after MCMA equalization is smaller than the RMSE obtained after CMA equalization, indicating that the data dispersion level after MCMA equalization is low; in terms of BER, when BER is 10-3, the optical signal-to-noise ratio required by MCMA is 1.0 dB lower than that of CMA, therefore, MCMA equalization outperforms CMA. The results of this study provide some references for the equalization algorithm in the strong coupling mode-division multiplexing system.
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Key words:
- optical communication /
- blind equalization /
- mean square error /
- bit error rate
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图 2 基于少模光纤的模分复用系统
Figure 2. Mode-division multiplexing system model based on few-mode fiber
图 5 信号星座图
a—均衡前b—CMA均衡后
Figure 5. Signal constellation diagram
a—before equalization b—after CMA equalization
图 8 均衡后信号星座图
a—使用CMA b—使用MCMA
Figure 8. Constellation diagrams after equalization
a—with CMA b—with MCMA
图 9 CMA, MCMA均衡后不同模式的RMSE值
Figure 9. RMSE values for different modes after CMA, MCMA equalization
图 10 80 km传输距离下平均误比特率与光信噪比
Figure 10. Average BER vs. OSNR at 80 km transmission distance
图 11 120 km传输距离下平均误比特率与光信噪比
Figure 11. Average BER vs. OSNR at 120 km transmission distance
图 12 100 km传输距离下平均误比特率与光信噪比
Figure 12. Average BER vs. OSNR at 100 km transmission distance
表 1 参数设置
Table 1. Parameter settings
parameter name parameter value bit rate 56 Gbit/s bit sequence length 32768 total fiber length 80 km fiber dispersion coefficient 20 ps/(nm·km) polarization mode dispesion 0.05 ps/(km)1/2 DMGD (LP11, a, LP11, b-LP01) 130 ps/km 
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图(12) / 表(1)
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