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虚拟现实技术(virtual reality，VR)是一种利用计算机模拟生成带有多感官体验的虚拟数字环境的综合性技术，而头戴显示器(head-mounted display，HMD)作为一种集光学、机械、电子于一体的可穿戴近眼显示设备，是VR技术中的关键设备，已经广泛地应用到军事、教育、航天、医学、建筑设计和消费电子等领域[1-5]。
近十几年来，随着设计方法、光学技术以及制造工艺的不断进步，HMD的性能得到了显著的提升，出现了各类型的光学结构，使得HMD朝着减小体积、减轻重量、增大视场角、提高成像质量的方向发展，随着信息处理技术的发展，HMD智能化程度越来越高，拓宽了HMD的应用领域和范围。
HOWLETT[6]首次提出应用于虚拟现实型头戴显示器的光学系统。1995年，MISSIG等人[7]采用折/衍混合透镜设计了一种HMD。2016年，中国科学院长春光学精密机械与物理研究所的WANG等人[8]研制了一种用于航天员空间环境仿真训练的VR HMD。2018年，苏州大学的CHEN[9]采用iPhone 6手机屏幕为图像源，设计了一种同轴对称视场光学系统结构。2019年，美国Maxim Integrated公司的研发人员[10]设计了一种用于VR HMD的折/衍混合单透镜。
目前市面上的VRHMD产品多采用单片透镜以降低成本和加工难度，但是其边缘视场的像质不高，视场角和像质都不能满足日益增长的需求；有一些产品的成像质量虽然较好，视场角也能满足要求，但是体积、价格都不能满足要求。本文中根据特定的要求，设计一款轻小型VRHMD，考虑到难以得到性能满足要求的特殊光学元器件，选用非球面透镜进行设计。
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本项目的轻小型VRHMD的目标参量由客户决定，经过项目任务分解后，光学方面的部分要求如下：(1)视场角。对角线的视场角不小于75°，水平像素不少于1200个，垂直方向像素不少于900个，每个像素都是矩形；(2)成像质量。全视场畸变小于5%；(3)出瞳距离和出瞳直径。光学系统的出瞳直径为6mm，出瞳距离为12mm；(4)总长和重量。光学系统包含两个单目光学通道，每个光学通道的总长不大于65mm，透镜的直径不大于45mm，两个通道的光学系统总重量不超过50g。
设计过程包括多个步骤，首先从任务要求出发确定图像源；然后根据目标参量寻找合适的初始结构，使用光学设计软件经过迭代优化，逐步调整各个参量，直到满足设计要求。图 1是VR HMD光学结构设计思路流程图。
Figure 1. VR HMD optical structure design
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根据用户的需求选择合适的图像源，图像源应能满足分辨率和颜色的要求，应具有较轻的重量；图像源的亮度应该满足HMD的要求；对于大视场角的VRHMD而言，所采用的图像源的显示区域尺寸越大越有利于光学结构的设计，但是采用大尺寸的图像源会增加光学系统的体积重量；使用小尺寸图像源设计大视场光学系统会存在一些困难。选择图像源时，应该兼顾整个光学系统的设计加工难度和体积重量。
本文中选用了两个对角线为6.35cm的彩色液晶屏作为图像源，每个图像源的像素为1440pixel×1600pixel，两个图像源分别对应两只眼睛，图像源的像素数量能够满足水平方向和垂直方向的像素要求。在后续的光学设计中，作者充分利用所有的像素，按照对角线对应80°视场角设计。本文中选用的图像源部分参量如表 1所示。
Table 1. Some parameters of the image source
specification parameter resolution 1440pixel×1600pixel the pixel size 30μm×30μm display brightness 150cd/m2 physical dimension 46.6mm×55.5mm×2.49mm contrast 600∶1 frame frequency 90Hz display color gamut 70% color gamut support color 16.7 million color 根据显示区域的尺寸计算出每个区域对角线的尺寸为64.577mm，采用逆向光路设计的方法，系统的半像高是图像源对角线长度的一半，则每个区域的半像高为32.289mm。利用下式可以计算出系统的焦距为38.480mm：
$ f' = \frac{{y'}}{{\tan \omega }} $
(1) f′是VR HMD的焦距，y′为半像高，ω为全视场角的一半(40°)。
一般有两种选择初始结构的方式[11-12]: 第1种方法是利用像差理论求解初始结构；第2种方法是查阅相关文献或者专利，从中筛选与所设计指标接近的镜头作为初始结构。考虑到项目的进度，本文中采用第2种方式，首先通过分析目镜的光学结构和特点，结合VR HMD的光学参量，从目镜中选取合适的初始结构；然后逐步修改初始结构的光学参量，并利用多个非球面对系统的像差进行校正和平衡；最后对优化结果进行分析，得出最终的光学结构。
根据设计参量，该光学系统的出瞳距离为12mm，约为0.3f′。该出瞳距离与冉斯登目镜的出瞳距离相近，冉斯登目镜由两片平凸透镜组成，结构比较简单紧凑，符合轻小型头戴显示器的设计要求，本文中选取冉斯登目镜结构为初始结构。
图 2是冉斯登目镜的光路图。最大视场角为35°，有效焦距为20mm，出瞳距离为7.5mm，出瞳直径为2.5mm，显然初始结构的光学参量远不能达到设计指标的要求，需要进行较大的改变才能满足设计要求。
Figure 2. Initial structure light path diagram
由于目镜视场较大，出瞳远离透镜组，使得轴外光线入射到透镜组表面的高度较高，轴外像差(彗差、像散、场曲、畸变、垂轴色差)校正的难度较大[11]。
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优化时采用逆向光路设计的方法，即以实际系统的出瞳作为入瞳，以图像源作为像面[13]。
为了达到视场角和出瞳直径的要求，在光学设计软件中逐步增加它们的数值。在增加视场角或增加出瞳直径时，会出现几种光线无法通过光学系统参与成像的现象[14]：第1种是保持视场角不变只增加出瞳直径，如将图 3a中所示的出瞳直径BD变为图 3b中所示的出瞳直径AE，会导致E点发出的光线发生全反射而无法通过曲率较大的透镜，不能参与成像；第2种是保持出瞳直径不变，只增加视场角，如图 3a所示，保持出瞳直径BD不变，增加的视场角由绿色的光线表示，由图可知，光线变得更加倾斜，部分光线也在曲率较大的透镜表面反射；第3种是同时增加出瞳直径和视场角，会增加光学系统的通光口径和光线的倾斜度，当通过曲率较大的透镜时，也会导致部分光线无法通过光学系统参与成像的现象。
Figure 3. The phenomenon that light cannot participate in imaging through the optical system
为了达到设计的光学系统焦距，利用软件的缩放功能(lens scales)，将初始结构的焦距改为38.480mm。使用ZEMAX软件进行3个阶段的优化。
(1) 设置透镜的曲率半径、透镜之间的距离为变量，以ZEMAX中的默认评价函数spot radius和焦距作为主要评价标准，逐步增加视场角和出瞳直径，随着视场角的增加入瞳距离也会相应的增加，需要手动调整入瞳距离的数值为12mm左右，通过手动改变部分透镜的曲率，使全部光线平滑地通过光学系统，并控制光学系统的畸变小于10%。
(2) 将透镜的球面改为偶次非球面，并将其曲率半径、非球面系数作为优化过程中的变量，仍然以ZEMAX中的默认评价函数spot radius和焦距作为主要评价标准，在评价函数中加入自定义的畸变操作数、垂轴色差操作数、场曲操作数和调制传递函数(modulation transfer function，MTF)操作数，控制畸变不大于5%和控制MTF值在12.5lp/mm处不小于0.2，进一步优化系统。针对某些视场角MTF较小的问题，采用弧矢和子午的调制传递函数的平均值操作数和操作数大于结合的方式对MTF值进行约束，继续进行优化。图像源的有效显示区域横向尺寸为48mm，虽然横向实际有1600个像素，但横向只需要1200个像素，按照1200个像素计算得到奈奎斯特频率为12.5lp/mm，同样考虑纵向的像素情况，最终选择空间频率为12.5lp/mm，考察全视场的MTF值。
(3) 由于前两步只用了单色光进行优化，没有考虑色差，系统的工作波长为可见光波段，需要考虑色差，在上一阶段的评价函数中加入以镜头长度单位为单位的轴向色差操作数控制轴向色差，加入在像面y方向测定的相对于主光线的垂轴像差操作数等操作数控制垂轴色差。ZEMAX优化后透镜材料分别为聚甲基丙烯酸甲酯(pol ymethyl methacrylate，PMMA)，其折射率Nd=1.49，阿贝数Vd=57.44；聚碳酸酯(polycarbonate，PC)，其折射率Nd=1.58，阿贝数Vd=29.9，两种材料的密度都约为1.2g/cm3。
最终的VRHMD光学结构如图 4和图 5所示。光学系统有两个通道，每个通道由2片透镜和1个图像源组成，其中透镜L1为正透镜，透镜L2为负透镜。每个通道最大视场角为80°；出瞳直径为6mm，出瞳距离为12mm；光学系统的总长为54.24mm，在ZEMAX中透镜的最大直径不超过38mm；图像源的红绿蓝颜色都是8位；这些参量都满足要求。单通道光学结构中的透镜重量小于11.5g，双通道光学结构中的透镜总重量小于23g，两个图像源的重量为17g，在不考虑机械外壳的情况下，光学部分的总重量不超过40g，小于设计要求的50g。所有的参量都达到了要求。后期在机械结构中加入瞳距调节装置，以满足不同瞳距的要求，根据图像源的水平尺寸，得到瞳距最小为55.5mm。
Figure 4. Monocular optical structure light path diagram
Figure 5. Optical path diagram of binocular optical structure
表 2中列出了优化后的VRHMD光学结构的部分参量。表 3中列出了优化后的非球面透镜的系数，S1~S4分别表示透镜的4个表面。
Table 2. Some parameters of optimized VR HMD optical structure
surface radius/mm thickness/mm glass stop infinity 12 S1 -2422.720 10 PMMA S2 -8.014 1.5 S3 24.201 4 PC S4 7.232 image infinity Table 3. Aspheric surface coefficients after optimization
surface the 4th order the 6th order the 8th order the 10th order the 12th order the 14th order S1 -9.352×10-5 5.318×10-7 -5.284×10-10 -1.681×10-12 -3.999×10-18 5.696×10-20 S2 -1.913×10-4 6.892×10-7 -1.769×10-9 4.752×10-12 -7.960×10-19 -9.741×10-21 S3 -1.765×10-4 7.118×10-7 -1.490×10-9 7.770×10-13 2.932×10-20 2.632×10-22 S4 -4.840×10-5 1.741×10-7 -2.336×10-10 2.180×10-14 4.358×10-21 1.356×10-22 -
图 6为本文中设计的光学结构的点列图。弥散斑均方根半径最小值为33.585μm，最大值为53.573μm，均方根半径小于两个像素的尺寸。图 7是光学结构在ZEMAX中逆向光路设计仿真得到的场曲和畸变图。从图中可以看出, 光学系统的最大畸变小于4.7%，虽然场曲较大，但是像散较小。图 8是该光学系统的垂轴色差曲线。由图可知, 垂轴色差小于一个像素尺寸，校正的也较为理想。图 9是优化后的调制传递函数曲线。从图中可以看出，各个视场的MTF曲线分布比较均匀，并且各视场的MTF值在12.5lp/mm处均高于0.28，边缘视场质量较好，可以满足光学系统成像质量要求。
Figure 6. Point diagram of the optical system
Figure 7. Field curvature and distortion of the optical system
Figure 8. Vertical axis chromatic aberration curve of the optical system
Figure 9. MTF curve of optical system
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在完成VRHMD光学系统设计以后，需要进行公差分析，以保证即使有一定的加工公差和装配公差的情况下制造出的产品也能够满足用户的要求。ZEMAX具有较强的公差分析功能，能够分析多种因素造成的影响。本文中在兼顾成像质量、加工水平和装配水平等因素的情况下，完成公差分配，表 4中给出了VR HMD光学系统的主要公差值。
Table 4. Main tolerance value of light and small HMD optical system
the tolerance category tolerance value lens curvature tolerance/mm ±0.01 lens thickness tolerance/mm ±0.05 separation tolerance of two lenses/mm ±0.05 lens eccentricity tolerance/mm ±0.02 lens tilt tolerance/(°) ±0.02 the refractive index of the lens ±0.005 abbe number of lens ±0.005 使用参考文献[14]~参考文献[15]中的分析方法，首先确定现有的光学元件的加工公差和装配公差的大致水平，然后将公差数值加入到光学模型中，利用蒙特卡洛算法计算全视场MTF和点列图，可以得出不同公差引起的光学系统性能变化情况；采用ZEMAX和MATLAB联合编程的方法分析高次非球面面形精度公差，通过进行灵敏度分析，以该光学方案中的奈奎斯特频率(9.13lp/mm)处的MTF值为评价依据，进行20次蒙特卡罗分析，根据蒙特卡罗分析的结果，对产品的合格率进行预估，判断光学系统的可行性。表 5中是蒙特卡洛运算后的结果。由表可知，根据该光学结构的设计方案和公差分析结果进行设计加工，生产出来的光学系统在奈奎斯特频率处的对应的MTF值能够满足使用要求的概率。
Table 5. Probability after Monte Carlo calculation
probability MTF value ＞90% 0.50351155 ＞80% 0.51340196 ＞50% 0.53436387 ＞20% 0.54631653 ＞10% 0.55040656 从表 5蒙特卡洛运算后的概率的分析结果可知，如果按照表 4中光学系统公差值的范围进行加工装配，轻小型HMD光学系统在奈奎斯特频率处的对应的MTF值大于0.50351155的概率是90%，该设计满足加工要求。
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完成了一种轻小型虚拟现实头戴显示器的光学设计，选用彩色液晶屏作为双目结构的图像源，以冉斯登目镜为初始结构，使用ZEMAX软件对初始结构进行优化，通过引入非球面面型，仅使用2片透镜，视场角达到80°，光学系统的总长为54.24mm，设计的透镜口径为38mm，每个通道中的透镜重量小于11.5g，公差分析结果证明该设计满足加工要求，实现了设计目标，具体加工和制作由项目组的其他人员完成。
本文中的设计结果与参考文献[16]中的头戴显示器相比，增加了视场角，减小了体积，具有更多的像素，改善了MTF值；在成像质量、视场角、体积等方面达到了较好的优化。
轻小型头戴显示器的光学设计
Optical design of light and small head mounted display
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摘要: 目前头戴显示器体积大、重量大、视场角小，为了满足用户对轻小型头戴显示器的使用需求，以冉斯登目镜为初始结构，采用ZEMAX软件对其优化，并进行了像质评价和公差分析。结果表明，双目系统中的每个通道仅使用两片透镜，光学系统的最大视场角为80°，总长为54.24mm，最大畸变小于4.7%，两片透镜重量小于11.5g，与相关研究比较，增加了视场角和像素数量，减小了体积，提高了调制传递函数。该头戴显示器具有一定的市场前景，能够为轻小型头戴显示器的光学设计提供参考。Abstract: Aiming at the problems of the current head-mounted display with large volume, large weight, and small field of view, in order to meet the user's demand for light and small head-mounted displays, the Ranston eyepiece was used as the initial structure, and then was optimized by using ZEMAX software. Image quality evaluation and tolerance analysis were then carried out. The result shows that each channel in the binocular system uses only two lenses, the maximum field of view of the optical structure is 80°, the total length is 54.24mm, the maximum distortion is less than 4.7%, the weight of the two lenses is less than 11.5g. Compared with related research, the field angle and the number of pixels are increased, the volume is reduced, and the modulation transfer function is improved. The head-mounted display has certain market prospects, and can provide a reference for the optical design of the light and small head-mounted display.
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Key words:
- roptical design /
- virtual reality /
- head mounted display /
- aspheric surface
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Figure 3. The phenomenon that light cannot participate in imaging through the optical system
a—increase the field of view b—increase exit pupil diameter
Table 1. Some parameters of the image source
specification parameter resolution 1440pixel×1600pixel the pixel size 30μm×30μm display brightness 150cd/m2 physical dimension 46.6mm×55.5mm×2.49mm contrast 600∶1 frame frequency 90Hz display color gamut 70% color gamut support color 16.7 million color 
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Table 2. Some parameters of optimized VR HMD optical structure
surface radius/mm thickness/mm glass stop infinity 12 S1 -2422.720 10 PMMA S2 -8.014 1.5 S3 24.201 4 PC S4 7.232 image infinity
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Table 3. Aspheric surface coefficients after optimization
surface the 4th order the 6th order the 8th order the 10th order the 12th order the 14th order S1 -9.352×10-5 5.318×10-7 -5.284×10-10 -1.681×10-12 -3.999×10-18 5.696×10-20 S2 -1.913×10-4 6.892×10-7 -1.769×10-9 4.752×10-12 -7.960×10-19 -9.741×10-21 S3 -1.765×10-4 7.118×10-7 -1.490×10-9 7.770×10-13 2.932×10-20 2.632×10-22 S4 -4.840×10-5 1.741×10-7 -2.336×10-10 2.180×10-14 4.358×10-21 1.356×10-22
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Table 4. Main tolerance value of light and small HMD optical system
the tolerance category tolerance value lens curvature tolerance/mm ±0.01 lens thickness tolerance/mm ±0.05 separation tolerance of two lenses/mm ±0.05 lens eccentricity tolerance/mm ±0.02 lens tilt tolerance/(°) ±0.02 the refractive index of the lens ±0.005 abbe number of lens ±0.005
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Table 5. Probability after Monte Carlo calculation
probability MTF value ＞90% 0.50351155 ＞80% 0.51340196 ＞50% 0.53436387 ＞20% 0.54631653 ＞10% 0.55040656
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图(9) / 表(5)
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