Effect of nuclear motion on molecular harmonic intensity and attosecond pulse generation

经过20多年强场动力学研究，高次谐波已经成为研究最为广泛的一种现象^[1]。其主要应用于探测原子、分子或固体内的超快电子运动及产生孤立阿秒脉冲^[2-4]。

基于CORKUM提出的半经典“电离-加速-回碰”三步模型^[5]，谐波截止能量在I_p+3.17U_p处, I_p是体系电离能，其与选择的体系有关；U_p是电子有质动力势能，其与激光强度成正比，与激光频率平方成反比。

除了谐波截止能量，谐波辐射强度也是一个非常重要的参量，其对阿秒脉冲的强度有很大影响。一般来说，原子辐射谐波强度与电离几率和基态占有率有关^[6]。但是，对于分子体系，其更多的自由度会产生更多的物理现象，因此，分子谐波辐射与原子相比有很多不同的地方。这里以最为简单的双原子分子离子H₂⁺及其同位素分子为例。ZUO与其合作者^[7]发现, H₂⁺的电离几率会随着核间距R增大而出现一个非常明显的增强区域, 分析表明, H₂⁺这一区域时电子会从基态激发到激发态进而增大电离几率，即电荷共振增强现象。在此基础上, LIU等人^[8]发现H₂⁺的电离过程随着核间距增大可以大致分为3个阶段，即:(1)当核间距较小时(R < 4.0a.u.)，H₂⁺发生直接电离，但这需要较强的激光光强；(2)随着核间距延伸(4.0a.u. < R < 10.0a.u.)，H₂⁺进入电荷共振增强区域，进而电离几率明显增强；(3)随着核间距继续增大(R>10.0a.u.)，H₂⁺进入离解态，进而部分电子在离解态发生电离。这里a.u.表示原子单位(atomic units), 若无特别说明，本文中a.u.均表示原子单位。由上述分析可知，H₂⁺谐波辐射过程主要由三部分组成，即直接电离区、电荷共振增强区以及离解态电离区。利用这一现象，FENG等人^[9]采用抽运-探测激光形式增强了H₂⁺分子谐波辐射效率。当然，由于分子核运动的影响，H₂⁺及其同位素分子的谐波辐射光谱会产生频率移动^[10]和振幅移动^[11]的现象。利用H₂⁺同位素分子谐波辐射不同频移的现象，HE等人^[12]提出了一种探测同位素分子的方法。

虽然H₂⁺同位素分子谐波辐射频率移动和振幅移动已经有所研究，但其都是基于固定不变的激光条件，对于不同激光条件下分子谐波辐射强度的变化少有报道。同时，除了分子谐波辐射频移现象可以作为探测同位素分子的方法外，分子谐波辐射强度变化也是一种潜在的方法，也鲜有报道。因此，本文中通过研究不同脉宽激光驱动下H₂⁺和T₂⁺谐波截止能量附近强度的变化，给出了H₂⁺和T₂⁺谐波辐射强度的变化规律，进而提供了一种探测同位素分子的方法。随后利用这种规律，在半周期激光的协助下可以获得高强度的谐波平台区，进而获得高强度阿秒光源。

激光场与分子相互作用的薛定谔方程为^[13-16]:

式中，m_p为H或T的核质量；R为核间距; z为电子坐标; t表示时间; ψ(z, R, t)为波函数; V(z, R)为势能项，其可表示为:

式中，E(t)为激光场，其可表示为:

式中，E, ω₁和τ分别为激光振幅、频率和脉宽。

高次谐波谱图可表示为:

式中, $a\left( t \right) = - \left\langle {\psi \left( {z, R, t} \right)\left| {\partial V\left( {z, } \right)/\partial z + E\left( t \right)} \right|\psi \left( {z, R, t} \right)} \right\rangle $为偶极加速度。

方程求解采用2阶分裂算符的方法，具体参见参考文献[13]。谐波截止能量附近强度选择为谐波截止附近30阶谐波强度的平均值。

图 1中给出了H₂⁺与T₂⁺在10fs和20fs激光驱动下截止能量附近的谐波辐射强度。激光波长为800nm，激光光强为400TW。由图可知，在10fs短脉宽激光驱动下谐波强度满足H₂⁺>T₂⁺；而在20fs长脉宽激光驱动下谐波强度满足T₂⁺>H₂⁺。

Figure 1.  Harmonic intensity of H₂⁺ and T₂⁺ driven by different pulse durations

为了解释同一激光驱动下H₂⁺和T₂⁺谐波辐射强度的差异，图 2中给出了驱动激光波形, H₂⁺和T₂⁺电离几率、核间距随时间的变化及谐波辐射时频分析图^[17]。首先，在10fs驱动场下(见图 2a~图 2c)，谐波截止能量区域主要由谐波辐射能量峰P₁~P₃贡献产生。对于质量较轻的H核，其P₁~P₃的强度明显高于质量较重的T核的情况(见图 2b和图 2c)，这是导致这一区域谐波强度满足H₂⁺ > T₂⁺的直观原因。同一激光驱动同位素分子为什么会产生谐波辐射差异，为了解释这一现象的根本原因，本文中对H₂⁺和T₂⁺电离几率及核运动做了进一步分析。对于H₂⁺分子，在P₁~P₃的区域，核间距从平衡位置逐渐进入电荷共振增强电离区域，如图 2b所示。因此，H₂⁺在此区域具有更大的电离几率，如图 2a所示。这是导致谐波辐射能量峰P₁~P₃具有较大强度的根本原因。反观T₂⁺分子，由于其原子核较重运动较慢，在P₁~P₃的区域，其核间距还未进入电荷共振增强电离区域，如图 2c所示，因此导致T₂⁺在此区域具有较小的电离几率，如图 2a所示。这是T₂⁺谐波辐射能量峰P₁~P₃具有较小强度的根本原因。其次，在20fs驱动场下(见图 2d~图 2f)，谐波截止能量区域主要由谐波辐射能量峰P₁~P₄贡献产生。虽然H₂⁺的P₁和P₂峰强度要比T₂⁺的要强，但是后续的P₃和P₄峰的强度却是T₂⁺要略高于H₂⁺(见图 2e和图 2f)。因此，总体来说T₂⁺的P₁~P₄峰的强度要略高于H₂⁺的强度，这是导致这一区域谐波强度满足T₂⁺ > H₂⁺的直观原因。分析电离几率及核间距变化可知，对于H₂⁺分子来说，其较轻的原子核质量和较快的运动速度导致H₂⁺在t=9.25T(T表示800nm激光场的光学周期)之后就逐渐进入电荷共振增强电离区域，这导致能量峰P₁和P₂区域具有较大的电离增强趋势和较强的谐波辐射效率。但是，随着核间距继续增大，H₂⁺逐渐进入离解态电离区域，此时电离几率增幅较慢，这导致能量峰P₃和P₄强度减小。对于T₂⁺分子来说，其较重的原子核质量和较慢的运动速度导致T₂⁺在t=10.0T之后逐渐进入电荷共振增强电离区域，因此在能量峰P₁和P₂区域, T₂⁺也具有较强的电离增强趋势。但是，其电离增强趋势小于H₂⁺分子，因此，T₂⁺的能量峰P₁和P₂强度要略小于H₂⁺体系。但是，由于T₂⁺较慢的核运动速度，T₂⁺在能量峰P₃和P₄区域依然处在电荷共振增强电离区，因此导致P₃和P₄依然具有可观的电离增长趋势，这是导致P₃和P₄具有较强强度的原因。总的来说，H₂⁺和T₂⁺在同一激光驱动下不同谐波辐射强度的原因是由于不同核运动导致进入电荷共振增强电离区域的时间不同所引起的。

Figure 2.  The laser profiles, ionization probabilities, time-dependent internuclear distances and time-frequency analyses of harmonics from H₂⁺ and T₂⁺

根据图 2中的谐波强度分析，下面通过引入半周期激光场(half-cycle pulse, HCP)来实现由单一谐波能量峰贡献而产生的谐波连续区。首先，对于10fs驱动场的情况，虽然最大谐波截止能量由P₁贡献产生。但是，P₁强度太低，这导致其在谐波光谱中贡献很小。反观P₂和P₃，虽然其辐射能量略小于P₁，但其强度远高于P₁，这比较有利于获得高强度谐波连续区。对于10fs驱动场只选取H₂⁺为例，因为在短脉冲激光驱动下T₂⁺谐波强度变化与H₂⁺类似，但T₂⁺谐波强度更小，因此其不利于产生高强度阿秒光源。分析图 3a和图 3c激光包络图及图 2谐波辐射时频分析图可见，P₂峰来自负向激光驱动(E < 0), 而P₃峰来自正向激光驱动(E < 0)。因此，当在适当位置引入半周期激光场时，会对特定位置的激光波形进行增强，进而使电子在加速中获得更多的能量，进而起到延伸P₂和P₃峰的作用。具体来说，本文中采用3.0fs的半周期激光场，光强为基频场一半^[18]。目前，随着激光技术的不断发展，类似这样的半周期激光场可由啁啾调频技术来获得^[19]。对于调控P₃峰而言，采用正向半周期激光场并且其与基频场的延迟时间为5.7T；对于调控P₂峰而言，采用负向半周期激光场并且其与基频场的延迟时间为5.0T。当上述2种激光场分别驱动H₂⁺时，谐波能量峰P₃和P₂得到了延伸，如图 3b和图 3d所示。但是，由于P₃峰较P₂峰更强，因此，引入正向半周期激光时其产生的谐波连续区强度要高于引入负向半周期激光的情况。

Figure 3.  Laser profiles of 10fs combined fields and time-frequency analyses of harmonic from H₂⁺

对于20fs驱动场的情况，H₂⁺与T₂⁺谐波强度变化不同，因此需要分开讨论。首先对于H₂⁺，其谐波最大辐射能量来自于P₁，而且P₁具有较强的辐射强度。因此，调控P₁来获得高光子能量的谐波连续区是可行的。通过分析图 4a可知，P₁来自于正向激光驱动。因此，当引入正向半周期激光场，并且延迟时间为9.8T时，谐波能量峰P₁得到延伸，如图 4b所示。对于T₂⁺，虽然其最大辐射能量来自于P₁，但其强度太低不利于产生高强度谐波连续区。因此，调控辐射强度较强但是光子能量稍小的P₃峰是可行的。通过分析图 4c可知，P₃来自于正向激光驱动。因此，当引入正向半周期激光场，并且延迟时间为10.8T时，谐波能量峰P₃得到延伸，如图 4d所示。这里需要指出，如果采用负向半周期激光场来调控P₂峰(针对H₂⁺)或者P₄峰(针对T₂⁺)，也可以获得高光子能量的谐波连续区。但是辐射光子能量要略小于调控P₁峰和P₃峰的情况。

Figure 4.  Laser profiles of 20fs combined fields and time-frequency analyses of harmonic

通过对图 3和图 4的分析可知，利用H₂⁺和T₂⁺不同的谐波辐射强度可以通过适当引入半周期激光来调控特定的谐波能量峰，进而获得高强度高光子能量的谐波连续区。以20fs激光场为例，因为长脉宽激光场更有利于实验操作。分析图 4b和图 4d可知，当谐波辐射能量大于100ω₁时，谐波连续区只由单一的能量峰P₁或者P₃贡献产生，这非常有利于获得单个阿秒脉冲。因此，当采用上述半周期组合激光场分别驱动H₂⁺和T₂⁺时，通过叠加谐波连续区的100ω₁~200ω₁谐波可以获得脉宽在37as的单个阿秒脉冲，如图 5所示。注意，为了使H₂⁺和T₂⁺产生的阿秒脉冲同时出现，人为对T₂⁺产生的阿秒脉冲做了T时间的迁移。

Figure 5.  Time-profiles of attosecond pulses

本文中通过研究不同脉宽激光驱动下H₂⁺和T₂⁺谐波截止能量附近强度的变化，给出了H₂⁺和T₂⁺谐波辐射强度的变化规律，进而提供了一种探测同位素分子的方法。具体来说，短脉宽驱动下谐波强度满足H₂⁺>T₂⁺；而长脉宽驱动下谐波强度满足T₂⁺>H₂⁺。随后利用这种规律在半周期激光的协助下可以获得高强度的谐波连续区，进而获得脉宽在37as的单个阿秒脉冲。

基于三步模型理论，想要获得高光子能量的超短阿秒脉冲，更大的谐波截止能量和更强的谐波辐射效率是必要条件。基于原子模型辐射高次谐波，研究人员已经做了大量的研究，并且得到了许多有效的方法。但是对于分子模型或者固体模型，多出的自由度以及不同的辐射机制会对谐波辐射光谱有很大的影响。因此，基于分子模型和固体模型的高次谐波和阿秒脉冲研究逐渐成为最近的研究热点。